在周长一定的封闭图形中，圆的面积最大。证明过程如下：

第一步：证明j是凸图形，用反证法。（所谓凸图形，即过曲线边上任意一点作切线 或延长多边形任一边，则图形全部位于切线或边的延长线的同侧。——刘注）

若j是一个凹图形, 那就一定可以在它上面找到两点A、B, 连线落在图形外部。

以AB为轴，曲线AmB对称到另一侧，成为曲线Am'B，

图形AmBC与图形Am'BC的周长相等，而后者面积较大，这与Υ有最大面积矛盾。故j只能是凸图形。

第二步:证明平分周长的弦也一定平分面积。（对于凸图形，一定存在能平分周长的弦。因为设弦的一端点为A，另一端点在图形边界上运动，则分周长为两部分，一部分从0连续增大，另一部分从周长连续减小，必存在一点使两部分长度相等。——刘注）

用反证法，设凸图形j有最大面积，AB平分它的周长且弦AB把j分成两部分S1、S2，

若S1¹S2，不妨设S1>S2，以AB为轴把ACB对称到另一侧AC'B处，则周长ACBC'A=j的周长，

但面积ACBC'A>j的面积，与j有最大面积矛盾。

第三步：证明平分周长、面积的弦一定是直径，从而j为圆。

设AB平分j的周长与面积，在j的边界上任取一点C，只须证ACB为半圆。

用反证法, 若不然，ÐACB≠90°，将图中的S1、S2剪下来，贴成另一个图形，其中A'C'=AC，B'C'=BC，ÐA'C'B'=90°，

这两个图形中，曲线ACB的长等于曲线A'C'B'的长，但后者面积较大，与j有最大面积矛盾。（因为ÐACB≠90°，ÐA'C'B'=90°，A'C'=AC，B'C'=BC，所以三角形ABC面积<三角形A'B'C'面积，ABC整体面积<整体A'B'C'面积。另外这里并未事先假定S1和S2的边界是圆弧，而是证明了j上的任意一点C都在半圆上。——刘注）

故ACB为半圆，从而j是圆。

（《等周定理及其应用》，王三宝著，《数学通讯》，上海教育出版社，1997年第7期，P43。这一证明是基于“等周长图形中必然存在面积最大的图形”这一假设的，并不严格，参见《等周定理证明史》，张江华，《广西民族学院学报》，1995年6月，第一卷第1期，P111。——刘注）