刘瑞祥

　　众所周知，三角形内角和是１８０度（或者说是直角的二倍），更进一步的，这个结论是在平行公理的基础上得到的。所谓平行公理，指的是“过直线外一点，最多可以作一条直线与已知直线平行”。换言之，平行公设给出的是平行线的唯一性，而非存在性。那么到底是不是存在平行线呢？这一点是可以证明的。

　　首先要说明一点，前面对平行公理的表述，等价于“同旁内角不互补则两直线不平行（即两直线平行则同旁内角互补）”，或者“两直线平行则同位角（或内错角）相等”，但不等价于“同旁内角互补则直线平行”及“同位角（或内错角）相等则直线平行”。

　　证明平行线的存在性需要用到外角定理——三角形外角大于不相邻的内角：

　　以上证明没有用到平行公理，只应用到了希尔伯特公理体系中的结合公理、顺序公理和合同公理，亦未用到连续公理（或者说是阿基米德公理）。在前述命题的基础上可以证明平行线的存在性：

　　但是，三角形内角和等于１８０度依赖于“平行公设”：

　　前面加粗的部分就是应用了平行公理的地方。

　　那么，如果不用平行公理，我们能对三角形内角作出什么判断呢？事实上，本文第一个命题的一个直接推论就是三角形里任两个角的和小于１８０度。而更引人注目的是所谓勒让德定理：

　　这其中第一定理是基础，在其证明中要用到阿基米德公理（也称欧多克斯-阿基米德公理）：任给两条线段，总可以使其中一条重复有限次之后，长度超过另一条线段。具体证明过程略。

　　希尔伯特的《几何基础》里提到：若引进阿基米德公理，则平行公理就能用下面的定理替代：一个三角形的三个内角的和等于两直角。

　　注意，这里强调了阿基米德公理与三角形内角和命题合在一起才与平行公理等价。那么，如果没有阿基米德公理，单纯从“三角形内角和是１８０度”能不能推论出平行公理呢？答案是不行。

　　要明确这一点，最合适的方法还是模型法，即建立一个模型，在此模型内阿基米德公理不成立，但三角形内角和命题成立，看看平行线的唯一性是不是成立。如果在这个模型里平行公理不成立，那么就得到了前面所说的结论。这样的模型是很容易找到的，比如下面的模型：

　　设想我们研究的范围只包括圆内部分，除平行线的定义外其它概念都和通常的几何一致，但现在的“平行”是指“两条直线如果不在圆内相交，即为平行”。容易看出，在这个模型里，阿基米德公理显然不成立，但三角形内角和仍然是１８０度，而平行公理不成立。这就证明了单纯从“三角形内角和１８０度”这一点推不出平行公理。

　　前面的证明还可以给我们一个启示，那就是，看似是互为逆命题的两个命题，两者也都分别成立，但其公理基础不一定相同。以本例而言，“若平行线是唯一的成立，则三角形内角和１８０度”与“若三角形内角和１８０度，则平行线是唯一的”二者互为逆命题，但前者不需要阿基米德公理，而后者需要。更一般地，互为逆命题的两个命题不是等价的，其中一者成立另一者未必成立，但我们的分析表明，即使互为逆命题的两个命题均成立，但其公理基础也可能不同。（当然也有一些互为逆命题的命题，其公理基础是相同的，比如勾股定理逆定理的证明就用到了勾股定理本身，显然这说明原命题和其逆命题公理基础相同）