加载中…三角形全等命题之ASS成立的几种情况
(2018-05-24 08:01:50)
标签：
全等角边边 |
分类： 数学 |
刘瑞祥
提要：一般来说，三角形全等命题包括所谓的“边角边（SAS）”、“边边边（SSS）”、“角边角（ASA）”及“角角边（AAS）”，并不包括“角边边（ASS）”，但是在某些特殊情况下“角边边”也可能成立，比如直角三角形的“斜边直角边（HL）”。值得注意的是，有些对于HL的证明利用到了勾股定理，这是不正确的。
早在两千多年以前的古希腊，欧几里得的《原本》就证明了三角形全等命题“边角边”、“边边边”、“角边角”及“角角边”，它们分别是《原本》第一卷的命题４、命题8、命题26（其中命题26包括角边角和角角边两种情况）。值得注意的是，无论是直接还是间接，这些命题都没有用到平行公设（即所谓的第五公设）。比如在命题26中，角角边并不是角边角的直接推论，尽管这样一来证明会简洁得多，但这需要用到所有三角形内角和均相等，于是会间接用到平行公设。这说明，全等命题无须平行公设。
众所周知，一般情况下“角边边”并不成立，这可以从下面的图中看出：
但是在某些特殊情况下呢？下面我们先来证明一个引理：三角形外角大于不相邻的内角。这个引理是《原本》第一卷的命题16：
设ABC是一个三角形，延长边BC到点D。则可证外角ACD大于内角CBA、BAC中的任一个。
设AC被二等分于点E，连接BE并延长到点F，使BE等于EF。连接FC，延长AC到G。
那么，因为AE等于EC，BE等于EF，两边AE、EB分别等于两边CE、EF，又角AEB等于角FEC，因为它们是对顶角。
所以，底AB等于底FC，且三角形ABE全等于三角形CFE，余下的角也分别等于余下的角，即等边所对的角。（边角边定理）
所以，角BAE等于角ECF。
但是，角ECD大于角ECF。所以，角ACD大于角BAE。
这个命题有一个重要的推论，那就是：三角形的两个内角的和小于二倍直角。这就是《原本》第一卷的命题17。
请注意，前面的证明始终没有用到平行公设。
下面我们在其它三角形全等命题以及前面引理的基础上来研究角边边。先来看斜边直角边命题。
已知三角形ABC和DEF中，角A和角D都是直角，AC等于DF，BC等于EF，求证两个三角形全等。
则角A等于角D，因为二者是直角，
又因为AC等于FD，角ACG等于角F，所以三角形ACG全等于三角形DFE。（角边角定理）
即边CG等于边FE。
又因为BC等于FE，则BC等于GC。所以，角B等于角CGB。
因为角CGA是三角形ABG的外角，所以角CGA大于角CBA。（参见引理）
所以，角CGA大于角CGB。
又因为角CGA与角CGB的和等于二倍直角，
所以角CGA大于直角。
而角A是直角，又角CGA大于直角，
所以三角形ACG的两个内角的和大于二倍直角：这是不可能的。（参见引理的推论）
所以，角ACB等于角F。
又，直角A等于直角D，边AC等于DF，
所以三角形ABC和DEF全等。（角边角定理）
网络上的一些证明用勾股定理来证明BC等于EF，然后应用边边边定理证明全等，这是不够好的，因为勾股定理是平行公设的推论，这样一来其证明的适用性就变小了。
在前面证明过的“斜边直角边”的基础上，我们可以证明，如果已知的一对相等角是钝角，命题也是成立的。
若两个三角形ABC和DEF，角A等于角D，AC等于DF，BC等于EF，且角A和角D都是钝角，则这两个三角形全等。
过C、F向对边作高线CG、FH，容易知道点G落在BA的延长线上，否则三角形ACG的两个内角BAC和CGA一是直角，一是钝角，二者之和大于两个直角，这是不可能的。（引理的推论）
同理，点H也落在ED的延长线上。
因为角BAC和角EDF相等，所以角CAG和角FDH相等，
又CA等于FD，角CGA等于角FHD，二者都是直角，
所以三角形CGA和三角形FHD全等，CG等于FH，GA等于HD。（角角边定理）
又CB等于FE，
所以直角三角形CGB全等于三角形FHE，GB等于HE。（斜边直角边定理）
所以AB等于DE，
又因为AC等于DF，BC等于EF，
所以三角形ABC全等于三角形DEF。（边边边定理）
如果所给的一对等角都是锐角，但分别是各自三角形内最大的，其它条件不变，则命题也成立。这是因为既然最大的角是锐角，那么三角形的其余内角也就是锐角，即两个三角形都是锐角三角形，再次利用引理可以证明三角形的高线CG和FH的垂足分别落在线段AB和DE的内部，其余证明过程和前面对于钝角情况的类似。
因为三角形的两个内角和不大于二倍直角，所以以上可以统一表述为：如果两个三角形有一组内角和两组边分别对应相等，且这组内角是各自三角形内最大的，则这两个三角形全等。
“角边边”还有其它情况吗？回顾本文开始所给的图，我们发现角Ｂ和角Ｅ一个是锐角一个是钝角，如果我们限制这两个角都是锐角或者都是钝角呢？显然，那就足以保证其全等了。这方面的证明和上面的类似，就不再重复。也许，角边边还有其它情况，就有赖于大家继续挖掘了。
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