《模拟方法---概率的应用》教学设计

                                   数学组    王让平

【教材分析】

       本课教学内容选自北京师范大学出版社出版的普通高中课程标准实验教科书《数学》(必修3)第三章§3 《模拟方法---概率的应用》一节，在此之前，学生已经学习了《古典概型》的特征和概率计算公式，这为本课题的学习奠定了一定的基础。在古典概率的学习中，我们已经知道，可以通过做大量的重复试验，用随机事件发生的频率来估计概率。但是，人工进行试验费时、费力，并且有时很难实现。因此，我们常常借助模拟方法来估计随机事件发生的概率。模拟方法是一种非常有效而且应用广泛的方法。当现实中的试验难以实施或不可能实施时，模拟可以给我们提供一个方案。与此相关的几何概型是古典概型基础上的另一类等可能性概型，学习它主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要，它是高中数学中与现实生活联系非常密切的一部分，在历年的高考中占一定的比重。通过用模拟方法解决具体问题，使学生体会数学知识与现实世界的联系，确认数学就在我们身边，学会用数学的眼光看世界，用数学的思维认识世界，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，崇尚数学的理性精神，逐步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。

【学情分析】

⑴学生已有的知识经验

    《模拟方法---概率的应用》是北师大版教材《数学》必修3第三章的第3节，它是高一学生第二学期期中考试前的最后一节新课，高一新生通过高一第一学期高中阶段的学习与生活，基本上适应了高中阶段的学习，加之前一节刚学习了古典概型概率的计算公式。由于用几何概型求解的概率问题与古典概率的思想是相同的，同属于“比例解法”，即随机事件 发生的概率等于 的面积与 的面积（也可以为体积、长度、角度）之比。所以几何概率的计算应该较容易掌握。困难就在于用随机模拟试验估计随机事件的概率，由于模拟方法比较抽象，学生又没有这方面的基础知识储备，所以实施起来有一定的难度。因此，教师可以通过对具体例题的详尽剖析，选用学生便于操作的模拟方法，指导学生分组进行模拟实验，然后汇总相关数据，统计模拟结果，计算相应的频率，最后用频率作为概率的近似值。这样，就可化解难点，逐步掌握用随机模拟试验估计随机事件的概率的方法。进而可借助相关概率求得某些不规则图形的近似面积。

⑵学生的特点

    高一学生正处于青春发育期，生理和心理都发生了很大变化，渴望获得别人的肯定与尊重，却不太乐意表达自己的思想情感。因此，遇到困难不轻易声张，有问题也不问，导致积累的问题越来越多，由此而怀疑自己的学习能力，进而产生对高中数学学习恐惧不安的情绪。同时与初中数学相比较，随着高中数学课程在深度和难度上的增加，相应的新的科学学习方法的尚未掌握，令不少学生饱受失败和挫折的考验。因此，对刚进入高中阶段的高一学生来说，在教学中，应循循善诱，小梯度设置问题，为他们搭建好“脚手架”，引导他们积极参与到教育教学活动中来，使他们获得成就感，重新树立起学习的自信心。使他们进一步认识到，“耕耘了并不一定会有收获，但不耕耘肯定不会有收获”。遇到问题，要不耻下问，只有不懈的努力才有可能换取成功的喜悦。  

【教学目标】

（一）知识与技能：

    在师生共同探究的基础上，形成如下知识点：

①正确理解几何概型的概念；

②掌握几何概型的概率公式：

  

其中： 表示区域 的几何度量； 表示子区域A的几何度量

③会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判断某种试验是古典概型还是几何概型；

④会用随机模拟的方法估计随机事件发生的概率。

（二）过程与方法：

     通过师生共同探究，学生自己动手和直观教学，使学生在实验、探究活动中获取原始数据，从感知经表象到认识，正确理解所学知识的含义，体会数学知识的形成过程，体会数学知识与现实世界的联系，学会应用数学知识来解决实际问题，培养逻辑推理能力，自觉养成乐于动手、动脑、动口的学习习惯。

（三）情感、态度与价值观

     通过揭示本节知识的背景，激发学生善于分析、乐于探求的学习态度和学习兴趣，通过学习，使学生弄清古典概型的定义与几何概型间的区别与联系，并对其有一个全新的认识，从而构建一个有逻辑结构的知识网络，以便于今后在需要时随时提取；通过师生共同探究和学习《模拟实验方法》的过程，培养学生从有限向无限探究的意识，增强学生灵活运用数学知识的能力、逻辑推理能力和综合分析能力。

【教学重点】

⑴ 理解几何概型的概念、特点，会用公式计算几何概率；

⑵ 掌握用随机模拟方法估计概率的步骤，会用随机模拟试验估计随机事件的概率。

【教学难点】

 ⑴ 几何概型与古典概型的区别与联系；

⑵ 把实际问题转化为可用模拟试验中的随机数（或数组）等模拟方法来刻画影响随机事件结果的量。

【教学关键】

(1) 建立概率模型；       (2) 进行模拟实（试）验；

(3) 统计实（试）验结果；（4）分析实（试）验数据，得出所需结论。

【教学方法】

    本节课的教学主要采用“任务驱动”、“问题解决”的教学模式，让学生在已掌握《古典概型》的特征和概率计算公式知识的基础上，来学习《模拟方法---概率的应用》，重新建构知识体系，培养学生自主探究学习的能力。

启发式教学法、类比法、讲授法、练习法、实（试）验法。

【学法指导】

    有关几何概型的应用题，由于它与现实生活联系非常密切，有时表述比较抽象，如何将其转化，需通过对具体实例的详尽分析，帮助学生弄清楚这类问题的算理和算法，然后引导学生根据实际问题的情况，建立相应的数学模型，合理设置参数；其关键是构造出符合随机事件 所对应的几何图形，利用几何图形的度量来进行随机模拟实验；有时还需要建立适当的直角坐标系，把随机试验的结果一一对应成该坐标系中的一系列点（或区域），便可形成所需的度量区域。最后，数形结合利用线性规划的相关知识使问题得以解决。

通过自主探究、合作学习，使学生进一步掌握联系变化的观点，并会利用这种观点来分析问题，根据具体问题情境，选择适当的方法进行模拟实验；通过与古典概型作类比将新知识同化，促使学生重新建构新的知识体系，培养学生自主探究学习的能力。

【课前准备】

    教师课前准备好授课内容、多媒体课件及教具。学生作好复习、预习，并准备好学具。

【教具】

多媒体，转盘2个，芝麻粒1大包

【学具】

转盘2个，芝麻粒1小包

【教学过程预设】

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

教学 环节	教学内容	教师活动	学生活动	设计意图
情  趣 境  味 引  感 入  知	复习： 1.古典概型的定义 2.古典概型的特征	教师提问，引导学生回顾。	学生思考后，一人回答，其余同学补充。	通过复习，使学生正确理解和掌握古典概型的定义及其特征，以便学生今后能根据具体情况正确分析和应用。 选用多媒体来辅助教学，以形象、具体的图、文、像来创设教学情境，使抽象的内容具体化、使学生的思维活跃、兴趣盎然，有利于调动学生学习的主动性和积极性。 带着疑问，引出本节课题，激发学生强烈的求知欲。 通过教师与学生一起分析4个引例的特点，探究模拟方法的基本思想和原理。使学生既懂算理，又懂算法。
	模拟方法是一种非常有效而且应用广泛的方法。当现实中的试验难以实施或不可能实施时，模拟方法给我们提供了一个解决问题的方案。下面介绍模拟方法的基本思想。 通过对4个引例的分析，来阐明模拟方法的基本思想。                             A B	多媒体播放题目。   问题提出： 问题（1） 如图所示，在边长为 的正方形内有一个不规则的阴影部分，那么怎样求这阴影部分的面积呢？ 问题（2） 从前面几节的学习中，我们已经知道，可以通过做大量的重复试验，用随机事件发生的频率来估计概率。但是，人工进行试验费时、费力，并且有时很难实现。 为此，我们常常借助模拟方法来估计某些随机事件发生的概率。   优点：可以在短时间内完成大量的重复试验。	自主学习： 阅读课本 3个引例。并思考补充的1个引例。     学生认真倾听，积极参与，分析4个引例，自主探究模拟实验方法的基本思想和原理；发挥学生学习的主体作用。 既懂算理，又懂算法。
讲 授 新 课	1.几何概型的概念   向平面上有限区域（集合） 内随机地投掷点 ，若点 落在区域 的概率与 的面积成正比，而与 的形状、位置无关，即 = 则称这种模型为几何概型.	合作探究   通过对3个引例中图形间关系的分析，抽象概括出几何概型的定义。             教师启发引导，发挥教师的主导作用。             教师讲解公式的意义。	合作探究       具体来说，先启发学生积极参与，认真思考；然后分小组讨论、探究模拟实验方法的基本思想和原理、算理和算法；最后由一名学生归纳总结，最后由师生共同完善。         学生自己归纳总结几何概型的特征，并比较它与古典概型的区别与联系。	学习几何概型是为了更广泛地满足随机模拟的需要。 学习几何概型，变单纯的教师教为师生的合作探究式学习。     有比较才有鉴别。 通过学习几何概型的特征及概率计算公式，并与古典概型作比较，提高学生的思辨能力。
	2.几何概型的特征：  ①结果无限； ②每个结果等可能.
	3.几何概型的概率计算公式： = 几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比，也可以为角度之比。
应 用 举 例	1.课本 阅读理解	多媒体投影题目。 1.利用随机数表产生随机数组 来模拟。 2.引导学生选择模拟的工具； ①用以下两个转盘来模拟：       ②用随机数表或计算机产生随机数模拟。 3.帮助学生读框图，分析题意。	1.仔细研读所采用的模拟方法。   2.课前让每个学生自制两个转盘。   学生分组进行模拟实验，同桌二人各转动一个转盘，一个模拟晚报送达时间，一个模拟晚餐开始时间。两个转盘各转动一次并记录下结果就算完成了一次模拟。每人各转动50次。 最后，由学习委员汇总相关数据，统计模拟结果，计算相应的频率，然后用频率作为概率的近似值。 3.依据程序框图，理解题意，看是采用什么途径和方法进行模拟的。	让学生学会用模拟实验法估计不易求得的不规则图形的面积，体验探究的乐趣，培养学生的动手实践能力。 利用实物模型教具，让每一个学生自己动手操作，大家一起参与，以增加学生的基本生活经验，也符合新课标的精神，使学生相信模拟结果的真实性。在这个过程中，让学生体会在一次试验中，试验结果的随机性和大量重复试验中，试验结果的稳定性特征。 等下一节学习了几种类型的简单的几何概型的概率计算后，就可通过计算相关的几何概率来印证模拟结论的可靠性及可信度。从而阐明模拟试验的意义所在。
	2. 课本动手实践 3.高考链接   （陕西高考2012 理10） 如下图1是用模拟方法估计圆周率值的程序框图，表示估计结果，则图中空白处应填入（   ） .. ..
随 堂 练 习	课本 练习1,2题 补充练习：选自《数学》 高三年级（试用本） 上海教育出版社 用随机投点法求抛物线 与 轴组成的封闭图形的面积。	教师巡视，检查学生的设计方案。	学生自行设计，然后分小组讨论，最后各小组委派一名代表陈述所设计的模拟方法。 其他组同学赏析并点评。	通过学生自己设计---小组讨论---派代表陈述---其他组学生点评，以此来检查学生对模拟试验方法的理解、掌握的程度。
课 堂 小 结	1. 几何概型的概念； 2. 几何概型的特征：      ①结果无限； ②每个结果等可能. 3. 几何概型的概率计算公式： = 4.用模拟试验方法估计随机事件的概率；估计不规则图形的面积。	教师引导学生总结。先让学生自己总结，一学生陈述，然后其余同学、教师补充。	学生回顾总结本节课所学知识点。一学生陈述，然后其余同学、教师补充、完善。	通过大屏幕将小结内容展示出来，使学生对所学内容有一个全面系统的认识。   通过小结，来落实新课标中的“四基”，使学生学会对所学知识进行归纳整理、重组，养成善于总结的习惯，以此来优化、构建自己的知识网络，使知识与能力得到同步提高。
布 置 作 业	课本 习题1,2题 补充题：1.用模拟方法估计无理数 的值。 2.（2010年高考数学课表卷文科14题） 设函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有 ，可以用随机模拟方法计算由曲线 及直线 ， ， 所围成部分的面积 ，先产生两组（每组 个）区间 上的均匀随机数 和 ，由此得到 个点 ，再数出其中满足 的点数 ，那么由随机模拟方法可得 的近似值为		巩固新知，通过独立完成当天的作业来检验本节课的“三基”掌握情况。	巩固新知，通过批改作业，教师可及时发现教学中的不足，从而反思自己的教学过程。不断提高自己的教育教学工作水平。

课后拓展训练

1.       （西安市2013年4月份高三模拟八校联考 5）

图2中所示的是一个矩形，长为5，宽为2. 在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为（    ）

图2

  .         .          .         .

   ( 、 、 类学生做)

 

 

 

 

 

2. 两人相约7时到8时在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时即可离去，试选用合适的模拟方法估计两人能会面的概率。

( 类学生选做、 类学生必做)

 

 

 

 

 

3.下面提供三个图形，请你任选一个，仿照高考连接中（高考陕西2012 理  第10）题的格式，写出用模拟方法估计圆周率 值的程序框图。

( 类学生选做、 、 类学生必做)

 

 

x

y

o

图3

1

1

x

o

图4

y

1

1

-1

-1

y

x

1

1

1

-1

o

图5

  

 

 

 

 

 

 

板书设计

一、复习导入 二、讲授新课 1.引例 2.几何概型的概念 3.几何概型的特征

4.几何概型的概率计算公式 5.几何概型与古典概型的联系与区别 三、应用举例 1.       阅读理解 2.       动手实践

3.高考链接 四、随堂练习 五、课堂小结 六、布置作业

 

【教学反思】

        纵观本教案的设计流程，注重凸显了新课标所要求的四基：即基础知识、基本技能、基本的数学思想方法和基本的生活经验，体现了新课改的核心理念：以学生发展为本，“学生主体，主动探索，培养能力”。本节课学生在对四个引例的讨论中，主要是利用分组合作实验、探究方法研究数学知识，感悟出模拟实验的基本思想，学生理解和掌握了相关的算理和算法；同时，在这个探究过程中，学生还学会了怎样用所学的数学知识，设计方案、选择合适的途径与方法进行模拟实验，亲身体验了模拟实验过程，感知模拟实验的意义，增强了学生的参与意识，让学生真正尝试到探索的喜悦、成为教学的主体。

      评价时注重探究和解决问题的全过程，鼓励学生的探索精神，引导学生对问题进行的正确分析与思考，关注学生提出问题、参与解决问题的全过程，关注学生的创新精神和动手实践能力，注重学用结合，着眼全面发展，使学生真正成为学习的主人。