以上两种形式的Hölder不等式，你熟悉吗？尽管它们应用广泛，但因其表达式复杂，使得我们首次使用时感到混乱。但仔细一想，不论什么不等式，我们不都是从陌生走向熟悉，从生硬模仿走向熟练运用吗？

初始均值不等式时，你说“平均”就平均吧，怎么非要搞那么多形式？光是记H(n)、G(n)、A(n)、Q(n)的形式就费了好大劲，但最后你不也能灵活运用了吗？初始柯西不等式时，你抱怨怎么涉及那么多数，两个数组，2n个数，什么“平方和的乘积”、“乘积和的平方”，啊，我晕！初始排序不等式时，你叹其灵活多变，数组还需自己构造，乱序积啊乱序积，到底该怎么个乱法才能把题目证出来呢……

现在到了Hölder不等式，请收起你的犹豫，相信自己能尽快掌握它！请你相信Hölder不等式真实有效并容易使用，许多困难的问题使用Hölder不等式将变得非常简单！先给出Hölder不等式的两个直接推论，以期读者尽快熟悉Hölder不等式的结构形式。

这个证法实在是巧，秦庆雄和范花妹老师曾撰文《不等式的证明——构造“数字”法》（数学通讯，教师刊，2011年第1期）专门论述此法，有兴趣的读者可参考。

要想揭示其中的奥秘必须提及不等式的齐次化，《不等式的秘密》一书将其称为规范化技术。

剥去构造“数字”法的神秘外衣，上升到齐次化的理论高度，就可得柯西不等式的证明如下：

证1先做整体代换，后做三角代换，揭示了试题的内在背景；证2巧妙变形，借用柯西不等式一步到位，可谓简洁．

回到第8个有趣不等式问题，证1显然已经失效，证2呢？尝试再用柯西不等式证，未果．是不是也应该把柯西不等式推广呢？

有人说，可用赫尔德（Hölder）不等式来证，这确是柯西不等式的推广。下面进行介绍，还是从柯西不等式的一种巧妙证法说起．