20200512的奥数五年级课堂笔记

1、 若 4 个连续正整数的乘积是 358800，则这 4 个数的和是__________。

 

方法1：分解质因数，再凑成4个连续的自然数的乘积。

方法2：根据题目的特别性进行估算。末尾2个0，说明这个数是25的倍数，四个连续的自然数最多几个数含有质因数5？答：1个数含有质因数5即是5的倍数。

说明5的倍数的数在这里是25的倍数。

25的倍数有哪些？25、50、75、100……

如果说是50，那么四个数最小为50、49、48、47，乘积50×49×48×47＞40×40×40×40=2560000＞358800，所以四个自然数其中一个是25。

22、23、24、25；

23、24、25、26

24、25、26、27

25、26、27、28

分析：如果含有27则是9的倍数，但是358800不是9的倍数，所以不含有27 。

因为358800不是11的倍数，所以不含有22 。所以只能是23、24、25、26，四个数之和：（23+26）×4÷2=98 。

 

2、 4个连续整数的和是 5 的倍数。下列论述中一定正确的序号是__________。

4 个整数的和的最后一位数是 5； 最大的一个整数的最后一位数是 9；

最小的一个整数是奇数； 没有任何一个数是 5 的倍数；

有一个数的最后一位数是 3。

 

分析：等差数列和=（首项+末项）×项数÷2

      末项=首项+（项数-1）×公差

假设第一个自然数为x，那么最后一个为X+1×（4-1）=X+3 。

四个自然数的和=（X+X+3）×4÷2=（2X+3）×2=5的倍数。

（2X+3）×2=5的倍数，（2X+3）×2一定是偶数，所以四个自然数的和的个位一定是0 。

∴是错的。

分析：

和是（2X+3）×2是5的倍数，其中2和5互质，所以2X+3一定是5的倍数，且2X是偶数，所以2X+3是奇数，所以2X+3个位是5，所以2X个位是2，所以X个位是1或者6 ，所以个位可以是：1、2、3、4或者6、7、8、9，所以不一定是9，所以不成立。

分析：如果是个位为6、7、8、9的情况，则最小为偶数，所以不完全正确。

分析：按照个位为1、2、3、4或者6、7、8、9看，没有任何一个数是5的倍数，所以是完全正确的。

分析：如果是6、7、8、9结尾的四个数则不成立，所以不完全正确。

所以答案为： 。

实际上这种题目，找到一个反例就可以证明是不对的。

 

 

3、P 和 Q 是正方形 ABCD 外两点，并且ADP 和CDQ 都是等边三角形。那么 ∠

PQD=__________度。

 

 

∠1=90°，∠2=∠3=60°，∠6=360°-90°-60°-60°=150°，∠4=∠5=（180°-150°）÷2=15°。

 

4、

 

严格按照题目要求，把A点六个位置找出来，发现A1和A6是重的，一开始是两个实心的六边形，所以可以确定A1的位置。

 

 

 

 

5、 编号 1～100 的 100 名同学依次围成一圈，从 1 开始连续报数，凡是报出合数的同学自动离队，直到只剩下一名同学为止，那么最后剩下的同学是___37_____号。

分析：连续不断报数，记住是圆圈，不是直线，所以100之后报101、102、103……

如何判断一个是不是质数？

用这个数去除以从小到大的每一个质数，当得到的商比除数更大时，还没有找到一个可以整除的，则证明了这个数是质数。

举例子   103是不是质数？

103÷2×  103÷3×   103÷5×   103÷7×  103÷11=9……4×，且商比除数11更小了，所以不要再除下去了，证明103是质数。

100以内质数有25个，且1不是质数也不是合数，所以第一轮后还剩下25+1=26个数。

 

掌握方法，按照题目的要求，熟练操作。每年都有这样的题目，考察动手能力。

 

6、有一个正十二面体如图所示，每一面是一个正五边形。这个正十二面体中棱的数量和顶

点个数之积为________。

 

正十二面体：指的是有12个一样的正五边形组成的立体图形，12面指的不是12条边，是12个五边形。

正五边形：一个图形，有5条边，每条边长度相等，五个角大小相等。

正N边形的内角和怎么算？

内角和：（N-2）×180°。

每个内角：（N-2）×180°÷N 。

 

 

图中“红色部分”的棱属于2个五边形的面，1条棱会算2次。其他棱也是一样的，每条都属于2个面，都计算了2次。

12个五边形，棱一共有：5×12=60条，因为每条都算了2次，所以60÷2=30条。

 

 

图中红色顶点，属于1、2、3三个面，在每个面都算了一次，1个点算成了3个点。12个面，每个面5个点，所以点一共有：5×12=60个，每个点算了3次，所以实际的顶点个数为：60÷3=20个。所以棱数×顶点数=30×20=600。答案：600。

 

 

 

分析：

1=2，3=4，5=6 三对。还有7=8，9=10 。还有2对，共3+2=5对。

 

 

 

 

图一，共边定理。中点，则左右面积相等，是1：1。

图二，沙漏模型。其中AB平行ED（前提条件）。存在什么道理？

（1）AB：ED=AC:CD=BC:CE------两个三角形按照一致的方向，边成比例。

（2）SABC：SEDC=AB²：ED²=AC²：CD²=BC²：CE² 。比号=÷号。

 

 

因为AO:OB=1：1所以SACO：SBDO=1²：1²=1：1相等的。

 

8、A、B、C 三人被安排坐入排成一列的 6 个座位中，若任意两人的座位都不相邻，共有

_____24____种不同的入座方式。

座位号码为1、2、3、4、5、6六个座位。

三个人坐入：

分类：

（1） 与1有关的：

1、3、5；----------把A\B\C三个人放入三个位置，就是3×2×1=6种。

  1、3、6；-----6

  1、4、6；----6

（2）与2有关的：

 2、4、6-----6

一共6×4=24种。

技巧：分类，再排列。

全排列：若干个人或者数或者其他物体（每个物体都不一样），排成一行，没有任何限制条件，问有几种排法？假设有N个物体，那么有：N×（N-1）×（N-2）×……×3×2×1种；其实也叫做N！,读作N的阶乘。也写作，从N个物体中，把所有的物体都选出来，没有任何限制条件，排成一行，就是，怎么计算？N×（N-1）×……×2×1种。

比如5个人排成一行，有几种方法？

5×4×3×2×1=120种

5!=120种

=3×2×1=6种。

 

分析：先看行，共5行，一共5个和，5个和=1+2+3+……+24+25=325，这个325是一个奇数。（我们知道，若干个数相加，和是奇数还是偶数，取决于什么？取决于奇数的个数，奇数个数为奇数个，和为奇数，奇数的个数为偶数个，和为偶数。和的奇数还是偶数的这个性质与偶数的个数无关，即偶数无论奇数个还是偶数个都不影响最后和的奇数还是偶数的性质。）

五行五个和是325，是一个奇数，说明5个和中奇数的和有奇数个。奇数的和可以是1、3或5个，要偶数和最多，那么奇数和最好是1个，所以5行即5个和中最多有4个偶数。同理，5列也是5个和，总和还是325，所以5列即5和中最多也有4个偶数。所以五行五列即10个和中最多有4+4=8个偶数。

 

 

 

每行5数和为偶，奇数2个或者4个或者0个，因为奇数共13个，偶数共12个，几乎一样多，所以尽量每行2个奇数和3个偶数先填。不然奇数和偶数个数或许不会平衡。

 

 

 

 

分析：CD²+BD²=CB²，AC²+CB²=AB²

CD=4,DB=12，AC=3,所以CB²=4²+144=160

AB²=3²+160=169=13²，所以AB=13。

技巧：构造勾股定理求出线段的长度，2次使用勾股定理，只要最后一步是可以求出来就行，中间的CB²=160求不出没有关系。

 

 

 

 

∠1=90÷2=45°，正12边形一个角：（12-2）×180÷12=150°，∠1+∠2=150÷2=75°。所以∠2=75-45=30°。∠X=∠Y=90-75=15°，∠5=30°。做辅助线DG垂直于CB，EH垂直于GB，连接EG，做AM垂直于DE，假设三角形ADE是等边三角形，则∠6+∠7=60度，所以余下在A点附近的两个小角为：90-60=30°，30÷2=15度，证明了：AD=DC。AE=EB。所以满足这个要求。

如图，三角形CGD与三角形AMD的底和高一样，底是CG和AM，高是DG和DM。所以面积相等，为什么一样，主要是因为都是30、60、90度的直角三角形，且斜边都是CD和AD等长的，同时，三角形CDA和EDG面积也一样，底都是CD和ED，高是AF和DG，所以面积也相等，所以小梯形面积等于正方形一半面积的一半，设梯形面积为1份，则正方形为4份，4份中有1+2=3份为阴影，所以阴影占3/4，所有的小正方形中阴影都是3/4，所以答案为3/4 。