小学奥数之抽屉问题A（童老师原创详细解析版）

一、直接用公式进行解题

（1）求结论

【例 1】6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子。对吗？

分析：苹果：鸽子。抽屉：笼子。6÷5=1只……1只，1+1=2只

所以至少有2只鸽子在一个笼子，是正确的。

【巩固】教室里有5名学生正在做作业，现在只有数学、英语、语文、地理四科作业试说明：这5名学生中，至少有两个人在做同一科作业。

分析：苹果：学生。抽屉：作业类型。5÷4=1人……1人，1+1=2人，所以至少有2个人在做同一科目作业。

【例2】向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？

分析：苹果：学生，抽屉：日期，365或者366人。考虑到最少，那么抽屉选择最大366天。

730÷366=1人……364人，至少：1+1=2人，所以至少2个人的生日在同一天。

【巩固】人的头发平均有12万根，如果最多不超过20万根，那么13亿中国人中至少有人的头发的根数相同。

分析：头发最少0根，最多20 0000根。苹果：13 0000 0000人，抽屉：20 0001种头发根数的种类。

13 0000 0000÷20 0001=6499根……193501根

6499+1=6500人，所以至少有：6500人的头发根数一样多。

【例3】四个连续的自然数分别被3除后，必有两个余数相同，请说明理由。

分析：

方法1：

因为除数3的余数有0、1、2三种类型。

苹果：4个自然数。抽屉：3种余数种类。

即把4个“自然数”放入3个“抽屉中。

4÷3=1个……1个

1+1=2个，所以至少2个数对于除数3是余数相同的。

方法2：

设四个数从小到大分别为A、B、C、D。

A÷3余数可能是0、1、2三种可能。

（1）当A÷3余数为0时，B÷3余数为1，C÷3余数为2，D÷3余数为0，所以有两个数A和D除以3的余数相同。

（2）当A÷3余数为1，那么B÷3余数为2，C÷3余数为0，D÷3余数为1，所以有两个数A和D除以3余数相同。

（3）当A÷3余数为2，那么B÷3余数为0，C÷3余数为1，D÷3余数为2，所以有两个数A和D除以3余数相同。

综上可以知道，连续四个自然数中一定存在2个数除以3得到的余数相同。

方法3：

根据连续自然数除以3的余数依次增加1同时结合除数为3余数周期为三个为一周，可能是0、1、2或1、2、0或者2、0、1 。

（1）连续四个自然数的分别除以3余数共有4个；

（2）4÷3=1（组）……1（个）-----有1个余数周期，还多了一个，多的这个是第二个余数周期的第一个与第一组的第一个一样，所以证明了第一个和第四个数的余数是一样的。

所以可以说明：连续四个自然数中有2个数除以3余数是相同的。

【巩固】在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？

分析：

原理，对于同一个除数同余的两个数的差一定是这个除数的倍数。

因为除数3的余数有0、1、2三种类型。

苹果：4个自然数。抽屉：3种余数种类。

即把4个“自然数”放入3个“抽屉中。

4÷3=1个……1个

1+1=2个，所以至少2个数对于除数3是余数相同的。

所以把这2个余数一样的数选择出来，两个数的差就是3的倍数。

 

 

 

（2）求抽屉

【例4】把十只小兔放进至多几个笼子里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔？

分析：求”抽屉”类型的第一题，我给做出详细的分析，为后面做题找到规律，迅速拿分。

（1）当“苹果数÷抽屉数=商……余数”中，也可以是“物体数÷抽屉数=商……余数。”中。当余数为0时，抽屉数=物体数÷商。当余数不为0时，抽屉数=（物体数-余数）÷商，所以余数取最小值1，同时“商=至少-1”代入。那么到底是哪一种会取到抽屉个数的最大值，经过证明，发现当抽屉数为1个时，两种情况抽屉数相等，当抽屉数＜1个时，没有余数即余数为0时得到的抽屉数更大，显然抽屉数不可以＜1，所以得到结论：余数为1，商=至少-1时，可以得到抽屉个数的最大值，即抽屉个数最大值=（苹果数-1）÷（至少-1）得到答案。

（2）回到本题。苹果数=10只兔子，至少：2只，商=至少-1=2-1=1，抽屉数即笼子个数的最大值=（10-1）÷（2-1）=9个抽屉。

（3）所以笼子最多有9个。

【巩固】袋中有外形安全一样的红、黄、蓝三种颜色的小球各10个，每个小朋友只能从中摸出1个小球，至少有______个小朋友摸球，才能保证一定有两个人摸的球颜色一样。

分析：苹果数：人数。抽屉：球的颜色分为3种类型球。

苹果数最少为：（1）抽屉数≥2时，有余数且余数为1时，商=至少-1时，物体数最少。

人数=（2-1）×3+1=4人。

或方法2：

至少又要保证，考虑最不利，那么小朋友拿球尽量不要重叠。那么三个抽屉，三种颜色，那么最多可以满足3个小朋友拿球各不相同，所以至少需要去4个人才能保证有2个人拿的球一样。

所以至少4个人。一个是公式一个推理说明。

【例5】把125本书分给五班的学生，如果其中至少有一个人分到至少4本书，那么，这个班最多有多少人？

分析：书的本数：苹果数。学生人数：抽屉数。

人数最大值=（125-1）÷（4-1）=124÷3=41人……1人，所以人数最多为41人。

技巧：当余数取1为最小的抽屉数，但是抽屉数为整数，所以抽屉数≤理想状态下的抽屉数即本题的（124÷3=41.333333……个。）

【巩固】某次选拔考试，共有1123名同学参加，小明说：“至少有10名同学来自同一个学校。”如果他的说法是正确的，那么最多有多少个学校参加了这次入学考试？

分析：苹果数=学生人数=1123人，抽屉数=学校个数。学校最多也就是求抽屉个数最大值。

抽屉个数最大值=（苹果数-余数1）÷（至少-1）=1122÷9=124所……6人。实际抽屉数即学校个数≤理想状态下的学校个数即1122÷9=124.66666……个，所以学校最多为124个。

（3）求苹果

【例6】班上有50名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书？

分析：

求苹果个数考虑的是最不利。前面也讲到了如何算苹果个数的最小值。当抽屉数≥2时，且余数为1，因为抽屉数=1没有余数的。可以最小值。苹果数即书本数最少为：商×抽屉数+余数=（至少-1）×抽屉数+余数1=（2-1）×50+1=51（本）。

本题中，书的本数：苹果数。人数：抽屉数。

方法2：

按照最不利原则来分析也可以：最有利为拿2本书直接丢给某位同学，就满足了1个小朋友有2本书的要求；

最不利的话就是，大家都尽量不要出现2本书，先每个小朋友都分发1本，接下来人手1本之后，老师再拿出1本来分发给任何人都可以使得这个人的书为2本，所以老师至少准备:50+1=51本。

【巩固】班上有28名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书？

分析：

（1）根据上题方法，可以得到，（2-1）×28+1=29本。

（2）或也可以按照最不利分析，每个小朋友先各拿一本28本，再分发1本，无论给谁都可以满足1个人拿到2本书。

（3）所以至少拿29本书。

【例7】一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣1分，不答不得分。问：要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？

分析：最低分：10题全错，扣1×10=10分。得分：10-1×10=0分。最高分：10+10×3=40分。即得分包含了得分和基础分一起最高40分。所以得分范围在0分到40分之间，那么其中还有哪些得分不存在呢？

（1）对10题，得分10+10×3=40分；

（2）对9题，得分9×3+10=37分，余下1题错则扣除1分，不答则不得分，所以可以得到37-1=36分或者是37分两种，所以得分38分和39分不可以得到；

（3）对8题，得分8×3+10=34分，余下2题，都不答不再得分，都答错，再扣2分，一个错一个不答，再扣1分。所以可以得到：34-2=32分，34+0=34分，34-1=33分。所以35分不可以得到；

（4）对7题，得分7×3+10=31分，余下3题，全错扣3分，错2个扣2分，错1个扣1分，不错不扣分，所以31-3=28分，31-2=29分，31-1=30分，31-0=31分。

（5）对6题，得分3×6+10=28分，余下4题，按照错0个，1个，2个，3个，4个分别扣分为0、1、2、3、4，依次得到分数为：28、27、26、25、24分。

（6）对5题，得分3×5+10=25分，余下5题按照错题个数依次扣分0分到5分，所以25分依次减去0分到5分得到分数依次为：20分到25分；

（7）对4题，得分3×4+10=22分，余下6题按照错题个数依次扣除0分到6分得到分数依次为：16分到22分；

（8）对3题，得分3×3+10=19分，余下7题可能扣分0到7分，得到12分到19分；

（9）对2题，得分3×2+10=16分，余下8题扣分可能为0分到8分，得到分数为：8分到16分；

（10）对1题，得分3+10=13分，余下9题扣除0分到9分可以得到：4分到13分。

（11）对0题，得分为10分，余下10题可以扣0分到10分，所以分数可能是：0分到10分。

所以综上可以得到，从0分到40分中，只有：35、38、39分三种分数不可以得到，其他的40-0+1-3=38种分数都可以得到。

参赛人数：苹果数；

得分种类：抽屉数；

苹果数最小值=（4-1）×38+1=115（人）。

所以至少需要115人才能保证有4个人得分情况一样。

本题难度在于：梳理抽屉个数，确定与排除需要时间。

【巩固】一次测验共有10道问答题，每题的评分标准是：回答完全正确，得5分；回答不完全正确，得3分，回答完全错误或不回答，得0分。至少____人参加这次测验，才能保证至少有3人得得分。

分析：最低分：全错或者不回答，0分。最高分：全对，5×10=50分。那么0分到50分之间哪些分数是没有的呢？

对10题，得50分。

对9题，得45分，余下1题，3分或者0分，得分为：45分或者45+3=48分。

对8题，得40分，另外2个，得3分，6分或者0分，得分为：40、43、46分。

对7题，得35分，另外3个，得0分，3分，6分，9分，得分为：35、38、41、44分。

对6题，得30分，另外4个，得0、3、6、9、12分，得分为：30、33、36、39、42分；

对5题，得25分，另外5个得分0、3、6、9、12、15分，得分为：25、28、31、34、37、40分；

对4题，得20分，余下6个得分0、3、6、9、12、15、18分，得分为：20、23、26、29、32、35、38分；

对3题，得15分，余下7题得分0到21分；得分为：15、18、21、24、27、30、33、36分；

对2题，得10分，余下8题得分0分到24分，得分为：10、13、16、19、22、25、28、31、34分；

对1题，得5分，余下9题得分为0分到27分，得分为：5、8、11、14、17、20、23、26、29、32分。

对0题，得0分，另外10题得分为0分、3分、6分到30分。依次得分为0、3、6、9、12、15、18、21、24、27、30分。

综上可以知道，1、2、4、7、47、49这6种分数不可以得到，所以分数种类共：50-0+1-6=45种。

苹果数：人数。抽屉数：分数种类。参加考试人数至少为：

（3-1）×45+1=91人。最少91人参加考试可以得到要求。

或者：

每种分数先各有2个人，再来一个人，则一定满足至少有2+1=3人分数一样。

所以： 2×45+1=91人。

二、构造抽屉

【例 8】 学校里买来数学、英语两类课外读物若干本，规定每位同学可以借阅其中两本，现有4位小朋友前来借阅，每人都借了2本．请问，你能保证，他们之中至少有两人借阅的图书属于同一种吗？

分析：数学数学、英语英语、数学英语。共3种借法。

苹果数：学生数。抽屉数：借书种类选择。

4÷3=1人……1人

1+1=2人，至少2个人一样得。

【巩固】 11名学生到老师家借书，老师的书房中有文学、科技、天文、历史四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本．试说明：必有两个学生所借的书的类型相同。

分析：借1本：4种选择。借2本：3+2+1=6种或者4×3÷2=6种。共4+6=10种。

苹果数：学生人数11人。抽屉数：10种借法。

11÷10=1人……1人

1+1=2人，至少2个人借书一样。

【例 9】 红、蓝两种颜色将一个2×5 方格图中的小方格随意涂色，每个小方格涂一种颜色。是否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？

分析：每一列都是2个小方格，上面第一个小方格有2种颜色可以涂，下面第二个小方格有2种颜色可以涂，所以一列2个格子共有2×2=4种涂法。

苹果数：5列。

抽屉数：4种涂色情况。

5÷4=1列……1列，1+1=2列，至少有2列颜色一样。

【巩固】 将3×9的方格中，每一个小方格涂上红色、黄色或蓝色．（每一列的三小格涂的颜色不相同），不论如何涂色，其中至少有两列，它们的涂色方式相同，你同意吗？

分析：每列三个格子，每个格子各有2种共2×2×2=8种涂法。

苹果数：9列要涂色。抽屉数：8种涂法。

9÷8=1列……1列，1+1=2列，至少有2列一样的。

三、最不利原则

【例10】有一个布袋中有40个相同的小球，其中编上号码1、2、3、4的各有10个，问：一次至少要取出多少个小球，才能保证其中至少有3个小球的号码相同？

分析：苹果数：球数。抽屉数：四种号码。

球数最少为：（3-1）×4+1=9个。

或者，每种号码先各取2个，再任取1个，则2×4+1=9个。

所以，至少拿出9个可以满足要求。

【巩固】有一个布袋中有5种不同颜色的球，每种都有20个，问：一次至少要取出多少个小球，才能保证其中至少有3个小球的颜色相同？

分析：每种先拿2个，再任取1个，5×2+1=11个，或者（3-1）×5+1=11个。

至少取出：11个球

课堂检测

【随练1】在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是3的倍数？

分析：除以3余数可以是0、1、2三种，5个自然数那么至少有2个数余数一样呢？

5÷3=1……2

至少有1+1=2数的余数相同。

至少有2个数的余数相同，含有如下几种可能：

（1）5=2+2+1即，余数相同的为2个数；

（2）5=3+1+1=3+2即余数相同的有3个数；

（3）5=4+1即余数相同的数有4个数；

（4）5=5即余数相同的有5个数；

设三个数除以3余数都是相同的设为X，那么这三个数的和一定也是3的倍数，因为3A+x+3B+X+3C+X=3(A=B+C+X)是3的倍数。

所以除以3同余的三个数的和一定是3的倍数。所以第（2）、（3）、（4）种都成立。

三个数的余数各不相同，分别余数为0、1、2时，三个数的和也是3的倍数，因为余数之和为0+1+2=3,3÷3=1，所以第（1）种也是成立的。

所以任何五个自然数中一定可以找到三个数之和是3的倍数。

【随练2】100个苹果最多分给多少个学生，能保证至少有一个学生所拥有的苹果数不少于12个。

分析：抽屉数最大值问题。根据前面题目中老师总结的算法，可以得到：

（100-1）÷（12-1）=99÷11=9人，所以最多可以分给9个学生，保证至少有人有12个苹果。