试题研究1：

48人参加数学竞赛，试卷中有三道解答题。做对第一题有40人，做对第二题有33人，做对第三题的有27人，那么，这三题全对有至少有多少人？

一道容易做不到的小学四年级奥数痛斥原理试题的一题多解。

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48人参加数学竞赛，试卷中有三道解答题。做对第一题有40人，做对第二题有33人，做对第三题的有27人，那么，这三题全对有至少有多少人？

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武汉童老师分析解答：

方法一

同时做对第一题和第二题的至少：40+33-48=25（人）；同时做对“一二题”和“三题”的至少有多少人：25+27-48=4人。所以这个是可以总结出类似的规律的：40+33+27-48×（3-1）=4人。也就是先把每项单独的人数加起来，再减去“项目数-1”倍总人数就是同时参加所有项数人数的最小值。（作为老师不仅需要会解题，还需要会出题编题，更多的是需要总结归纳出类似规律，不然题海战术，手要断的！！！）

方法二

同时做对三道题的人要最少，那么要使得每个题尽量不出现同样的人做对的情况。也就是尽量使得一个题只有一个人做对或者二个人做对，也可以没有人做对，尽量不要出现题被3个人做对就满足要求了。

做对第一题的有40人，那么安排1到40号做对第一题；

做对第二题的有33人， 那么先安排没有做对第一题的第41到48号的8个人最对第二题，剩下的33-8=25人做对第二题，只能从做对第一题的1-40号来选择，选择谁无所谓，所以就选择1到25同时做对第二题。这个时候做对情况为：做对第一和第二题的是1到25号，其他剩下的人要么做对第一题要么做对第二题，换句话说，后面的26-48共48-26+1=23人是不可能满足三个题都对的情况。

做对第三题的27人，我们先从不同时做对一二题的26-48中选择全部选择共23人，另外还需要选择27-23=4人，必须从同事做对一二题的1到25人中选择4个，所以至少有4个人同时会做对一二三题。这个方法二，我们每一步时刻都是按照人数最少的目标在做选择，满足了三个题都做对的最少的人数选择，为4个人。

方法三：利用逆向思维来思考。

做对第一题的有40人，做错第一题的有48-40=8人；

做对第二题的有33人，做错第二题的有48-33=15人；

做对第三题的有27人，做错第三题的有48-27=21人；

又因为人分为四种：错3个，错2个，错1个，错0个（三个都对的），进而分成两类：错题的人，全对的人两种，要使得全对的人最少，那么错题的人越多越好，所以尽量使得做错第一题，第二题，第三题的人数分散，也就是尽量错不同的题，那么就可以使得错题人数最多，全对人数最少。

因为8+15+21=44人＜48人，说明完全可以使得这44人分散开来，使得这44人完全不同，没有一个人是重复的，所以错题的人有44人，那么这个时候全对的人数最少为：48-44=4人。如果对于小朋友们不好理解，我们可以假设一个场景来加以理解它：比如现在有三个教室，在分别写上错第一题，错第二题，错第三题，老师再让对应的错的学生进入自己的房间，是不是满足同一时间每个房间都有：8人，15人，21人。完全可以。比如：1到8号在错第一题的房间。9到23号在错第二题的房间。24到44号在错第三题的房间。所以错题的人最多有：44人，全对的人最少有：48-44=4人。