容斥原理

容斥原理：包含两种类型，第二种类型包含一种新题型（我把它看成第三类）。

第一种类型：是两项比赛的。

参加总人数=参加A比赛的人数+参加B比赛的人数-两项比赛都参加的人数

全班总人数=参加总人数+什么都不参加的人数

两项比赛都参加的人数=参加A比赛的人数+参加B比赛的人数-参加总人数

两项比赛都参加的人数=参加A比赛的人数+参加B比赛的人数-（全班总人数-什么也不参加的人数）

所以上面两种比赛的题型，需要看清楚，到底是全班所有人都参加了，还是有一部分人什么都不参加的。

简而言之：

全班总人数=参加人数+不参加人数

参加人数=A+B-同时A、B

同时A、B=A+B-参加人数或者A+B-（全班总人数-不参加人数）

第二种类型：参加三项比赛的。

全班总人数=参加人数+不参加人数

参加人数=全班总人数-不参加人数

参加人数=A+B+C-同时A、B-同时A、C-同时B、C+同时A、B、C

第三种类型：如果题目当中出现了“只参加某某比赛”出现了“只”这个字眼。那么都是需要通过画出图来标上字母，再把题目的条件翻译成含有字母的方程，然后再通过扩倍，加减等方式算出题目的字母，进而求出答案。我一般说成：1、把文字翻译成方程、2、解方程。

补充拓展

关于方程中字母个数与方程个数的关系

1、当字母个数≤方程个数，那么这个方程可以直接解出来；

2、当字母个数＞方程个数，那么这个方程只能通过讨论，得出解，而且必须结合实际的条件，比如说是整数啊，什么范围啊。

上面的第三类，出现了字眼“只”的，一般都是翻译成7个方程，刚好有7个字母，所以是可以解出来的。

7个字母：只参加A的，只参加B的，只参加C的，只参加AB的，只参加AC的，只参加BC的，只参加ABC的，一共是7个不同部分。当然如果出现了，什么都不参加的人，那么就是8个字母，当然也可以对应列出8个方程，所以还是可以直接求解的。