《等差数列前n项和》教案
高新第三中学         苟文利
一、教材分析
● 教学内容
《等差数列前n项和》北师大版高中数学必修5第一章第二节 “等差数列前n项和”的第一课时，主要内容是等差数列前n项和的推导过程和简单应用。
● 地位与作用
    本节对“等差数列前n 项和”的推导，是在学生学习了等差数列通项公式的基础上进一步研究等差数列，其学习平台是学生已掌握等差数列的性质以及高斯求和法等相关知识。对本节的研究，为以后学习数列求和提供了一种重要的思想方法——倒序相加求和法，具有承上启下的重要作用。
二、学情分析 
● 知识基础：高二年级学生已掌握了函数，数列等有关基础知识，并且在初中已了解特殊的数列求和。
● 认知水平与能力：高二学生已初步具有抽象逻辑思维能力，能在教师的引导下独立地解决问题。
● 任教班级学生特点：我班学生基础知识较扎实、思维较活跃，能够很好的掌握教材上的内容，能较好地应用数形结合的方法解决问题，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高。
三、目标分析
1、教学目标
依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：
● 知识技能
    (1)掌握等差数列前n项和公式;
    (2)掌握等差数列前n项和公式的推导过程;
    (3)会简单运用等差数列的前n项和公式。
● 数学思考
(1) 通过对等差数列前n项和公式的推导过程,渗透倒序相加求和的数学方法；
(2) 通过公式的运用体会方程的思想；
(3) 通过运用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力。
● 解决问题
创设由探索1+2+3+……+100的和,推广到探索一般的等差数列前n项和 的求和公式的情景,使学生进一步体会从特殊到一般的数学研究方法, 并使学生在反馈练习的过程中，进一步提高问题解决的能力。
● 情感态度
结合具体模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学习兴趣,并通过对等差数列求和历史的了解,渗透数学史和数学文化。
2、教学重点、难点
　● 重点
等差数列前n项和公式的推导和应用。
● 难点 
等差数列前n项和公式的推导过程中渗透倒序相加的思想方法。
● 重、难点解决的方法策略
本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过范例后的变式训练和教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。
四、教学模式与教法、学法
本课采用“探究——发现”教学模式。
教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导。
 学生的学法突出探究、发现与交流。
五、过程设计：结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节及时间分配如下：

 

             图片欣赏                        数形结合

新课引入                       类比化归
      
        前后呼应                                     公式应用
      

 

              前后呼应                      知识回顾
 
六、教学过程
教学
环节            

活  动
说  明

 

 

创设情境：首先让学生欣赏一幅美丽的图片——泰姬陵。泰姬陵是印度著名的旅游景点，传说中陵寝中有一个三角形的图案嵌有大小相同的宝石，共有100层，同时提出第一个问题：你能计算出这个图案一共花了多少颗宝石吗？
也即计算1+2+3+…..+100=？
 
现实模型： 
① 图片欣赏
② 生活实例
 模  型
直  观
用
实
际
生
活
引
入
新
课。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

认

识

剖

析

公

式

 

 

 

 

 

 

 

议

练

活

动

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

画

龙

点

 睛

 

 

 

 

课
后
强
化

首先认识一位伟大的数学家——高斯，然后提出问题：高斯是如何快速计算1+2+3+4+…..+100？

如果我们只取第1层到第21层，用高斯的算法又如何计算？

高斯的这种首位配对的方法还得分项数为奇数和偶数分别对待。能不能进行优化
设等差数列{ }前n项和为  ,则
问题1：
如何利用倒序相加法求等差数列的前n项的和呢？

方法1：

两式相加得：

方法二
同样利用倒序相加求和法，教材做了如下处理：

 

故得到下面的公式

引导学生带入等差数列的通项公式，换掉   整理得到公式2。

 

问题2：能否给求和公式一个几何解释呢？
  教师提示将求和公式与梯形建立联系。
               

n
                   
               
                        
n

  
剖析公式：

 

教师提示，从方程中量的关系入手。
3、拓展：如果再将公式2进行变形可以得到：

思考作业：如果一个数列的前n项和公式是
那么这个数列一定是等差数列吗？
请试着用定义证明一下吧！
例题解析：
例1：计算
(1) 1+2+3+…+n
（2）1+3+5+…+(2n-1)
(3) 5+9+13+17+21+……+73
 （4）2+4+6+…+2(n+4)
如何算出项数n的？
大显身手
根据下列条件，求相应的等差数列           
中的Sn

 
大显身手
课本17页练习1:第3题的（2）（3）小题

 

 

(1)等差数列前n项和公式:
 
(2)在等差数列前n项和公式及通项公式中有  a1, an, n, d, Sn五个量，已知其中三个可以求出另外两个。
(3）倒序相加求和思想。

 

 

(1) 课本P20页A组11、12、13
(2)  课本P20页B组3
思考作业：如果一个数列的前n项和公式是 学生：1+100=101，2+99=101，…..50+51=101，所以原式=50 （1+101）=5050
学生：1+21=22,2+20=22，…
最后还剩了一个数11，所以想到10 22+11=231，而
2 11=22
学生：（可能部分学生在此会遇到困难，老师做适当的引导。）
   学生观察动画演示，不难发现用倒置的思想来解决此问题。
（由上一问题的解决，学生容易想到倒序相加求和法。）
 学生：利用倒序相加求和法。

利用等差数列的性质：
 

将 中的每一项用等差数列的通项公式进行巧妙的改写，在倒序相加求和时，每一组中的d都被正负抵消了。
学生类比方法一与方法二的联系与区别。

学生自己通过体验感受学习数学的过程美。应用公式解题，体会求和公式的应用。
 

 

学生：将求和公式与梯形面积公式建立联系，而梯形面积公式的推导也正是利用了倒置的思想。
学生：同样将公式2与梯形面积公式建立联系。用“割”的思想将梯形分做一个平行四边形和一个三角形，而梯形面积就是这两部分面积之和。

学生：公式中一共含有五个量，根据三个公式之间的联系，由方程的思想，知三可求二。

 

 

 

学生讨论分析题目所含的已知量，选取了公式进行运算，需要注意的是学生可能会在确定项数n时出现问题，要及时给予指导。

学生进行练习，然后让学生进行分析。
 
 本题想交给学生讨论，产生解题思想后让比较优秀的学生上黑板边讲边写出板书。注意一题多解。

学生自己分析题目的已知条件，找寻最佳的解题方法，快速训练。
在熟记公式的基础上，灵活应用两个求和公式以及等差数列的通项公式进行知3求2是本节的重点！
本环节由学生自主归纳、总结本节课所学习的主要内容，教师加以补充说明．（1）回顾从特殊到一般，一般到特殊的研究方法.（2）体会等差数列的基本元表示方法，倒序相加的算法，及数形结合的数学思想.（3）掌握等差数列的两个求和公式及简单应用。
巩固新知识，提高能力。
让学生在自主训练中内化本节课的知识，体会等差数列前n项和公式的应用。 高斯求和众所周知,学生能快速解答。 
这里的分析时用到了等差数列脚标和性质
 
从高斯算法出发，对项数进行讨论寻找求和公式思路自然，学生容易想到。
对中间项的解决办法的过程中，进一步让学生体会研究数列就是对脚标数学的研究。
但是这种方法并不是最优化的解决办法，提示学生继续思考，引入图像直观的让学生感受倒序相加法，然后再将这种方法应用到等差数列的求和中，并让学生对比两种方法的联系与区别。
倒序相加求和法是重要的数学思想，为
在等差数列前n项和公式的推导过程中，通过问题获得知识。

 

 

 

让学生经历“发现问题—提出问题—解决问题”的过程
通过对实际问题的解决让学生认识到数学来源于生活，同时又服务于生活
利用数形结合的思想，使学生对两个公式有直观的认识，体会数学的图形语言。

 

 

 

 

例1让学生学会公式的简单的应用。
例2在解决了例1的基础上，由浅入深，深化了对公式的理解，体现了方程的思想。
紧扣教材，让学生体会整体应用公式，类比化归的思想方法，同时，为以后综合问题的解答设下伏笔。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

七、教学设计后续
（1）根据以往教学情况，学生比较容易掌握本课知识。在教学过程中，我要重点突出了学生活动，设计了四个活动环节：(1)公式的探究活动；(2)公式的认识(3)公式的应用(4)学生课后的拓展学习。
（2）本课特别强调了几何直观，我不仅对求和公式给出了几何解释，也对部分习题给出了几何解释，体现了数形结合的思想方法。
（3）由于高斯求和法众所周知，于是我想补充我国古代研究数列求和的情况，但由于时间关系不能讲解，所以引导学生课后通过互联网进行了解并且交流学习。
（4）本节课充分利用了多媒体，采用由简到难，由特殊到一般再由一般到特殊的教学过程，符合学生的认知规律，使学生乐意投入到探索性的教学活动中去。
（5）本课注重在课堂教学活动中实现目标。