数学发展简史（石拓/编著）

12.3.5 简短的结语

       积分在函数论中占了很大的比重，一直是数学家们热衷研究的对象。到了19世纪后期，积分理论的研究，分为了两条路线。

       一条路线是，荷兰数学家斯蒂尔切斯（Stieltjes）的，他发现了连分数与定积分之间的关系，从而建立了以他的名字命名的斯蒂尔切斯（Stieltjes）积分。这是积分概念的第一次扩充。

       另一条路线是，根据集合论中的点集，建立了外容量概念，然后从外容量出发，经过皮亚诺（Peano）、约当（Jordan）和波莱尔（Borel）等人的努力，到了20世纪初，由勒贝格（Lebesgue）建立了勒贝格（Lebesgue）测度。从而在勒贝格（Lebesgue）测度的基础上，建立了勒贝格（Lebesgue）积分。勒贝格（Lebesgue）积分，是积分概念的第二次扩充。

       斯蒂尔切斯（Stieltjes）积分，是一个全新概念上的积分，与黎曼（Riemann）积分及勒贝格（Lebesgue）积分，有着本质上的区别。

       勒贝格（Lebesgue）积分是因为要解决，19世纪出现的各种奇怪函数。这些奇怪函数给函数论提出了很多问题。为了处理这些问题，先后出现了外容量的概念，测度的概念，最后定格在了勒贝格（Lebesgue）的测度论上。从而建立了勒贝格（Lebesgue）积分。

       20世纪的奥地利数学家拉东（Radon，1887——1956年），推广了勒贝格（Lebesgue）积分和斯蒂尔切斯（Stieltjes）积分，建立了拉东（Radon）积分，即勒贝格—斯蒂尔切斯积分，或者直接称斯蒂尔切斯（Stieltjes）积分。

       19世纪后期，关于积分学研究的两条路线，即斯蒂尔切斯（Stieltjes）积分和勒贝格（Lebesgue）积分，在20世纪的拉东（Radon）积分意义下，终于汇合了，使得积分学更为成熟。

       现代社会的工程技术领域，积分理论得到了广泛的应用。这些应用不仅制造出了新的机器，提高了人们的生活质量，而且开扩了人类视野，发展了人们对于自然的认识。

       （待续）