7.2谐振子（质点振动）(2)
2022-04-21 10:00:02
标签： 原创科技著作
量子力学笔记（石拓/著）
7.2 谐振子（质点振动）（2）
下面的谐振子运动的讨论，均在一维X—坐标轴（空间）中讨论。设F是作用力，K是弹性系数，x是位移，根据胡克（Hooke）定律，谐振子受到的力是（1）：
（1）
F=-Kx
相应的势能V(x)为（2）：
再设m是粒子的质量，ω0是谐振子振动（荡）的角频率，那么根据经典力学有（3）：
假设谐振子的振动以原点x=0为中心对称的左右振动，振动位移为x1-0=-x0和x2-0=x0（见图7.4）。因此有下列的（4）：
（4）
V(x1)=V(x2)=E
根据（2），得：
因此有下列的（5）：
第二式中的x0=
x0(E)。再根据粒子在势阱中能量E的函数g(E)（见7.1.4.2），将（2）和（5）的第二式代入g(E)，得（6）：
令：x=x0sinθ => dx=
x0cosθdθ，于是得到（7）：
因为g(E)=(n+(1/2))πh（7.1.4.2中的（29）式）代上式（7），得：
由此得到谐振子能量量子化的近似式（8）：
（8）
En=(n+(1/2))hω0
其中n=0，1，2，…。
（待续）
7.2谐振子（质点振动）(2)
量子力学笔记（石拓/著）
7.2 谐振子（质点振动）（2）
下面的谐振子运动的讨论，均在一维X—坐标轴（空间）中讨论。设F是作用力，K是弹性系数，x是位移，根据胡克（Hooke）定律，谐振子受到的力是（1）：
（1） F=-Kx
相应的势能V(x)为（2）：
再设m是粒子的质量，ω0是谐振子振动（荡）的角频率，那么根据经典力学有（3）：
假设谐振子的振动以原点x=0为中心对称的左右振动，振动位移为x1-0=-x0和x2-0=x0（见图7.4）。因此有下列的（4）：
（4） V(x1)=V(x2)=E
根据（2），得：
因此有下列的（5）：
第二式中的x0= x0(E)。再根据粒子在势阱中能量E的函数g(E)（见7.1.4.2），将（2）和（5）的第二式代入g(E)，得（6）：
令：x=x0sinθ => dx= x0cosθdθ，于是得到（7）：
因为g(E)=(n+(1/2))πh（7.1.4.2中的（29）式）代上式（7），得：
由此得到谐振子能量量子化的近似式（8）：
（8） En=(n+(1/2))hω0
其中n=0，1，2，…。
（待续）