聚合物材料可靠性分析原理

                        石拓·著

 

4.2.1.4老化寿命估算公式与安全系数

 

由于老化寿命t是个随机变量，具有不确定性，因此，把有关老化寿命的计算，称为估算。下面是关于聚合物材料，在可靠性意义下的老化寿命估算的几个公式以及老化寿命的安全系数。

 

1.可靠老化寿命t的估算公式

 

设n是性能失去的临界值，λ_估算是λ的MLE估计值，r= R(N_m，t)是设计要求达到的老化寿命t的可靠度，0＜r＜1。定义可靠度是r时的老化寿命，为可靠老化寿命，用符号t_r表示。

 

从（4-8）得到，可靠老化寿命t_r的估算方程（4-18）：

 

（4-16）r=exp(-λ_估算t_r)∑[(λ_估算t_r)^m/m!]|m:0→n，0＜r＜1

 

方程（4-16）是一个超越方程，没有解析解，但可用数值解的方法得到近似解，用近似解估算可靠度为r，0＜r＜1时的老化寿命t_r。

 

2.特征老化寿命t_特征估算公式

 

在（4-8´）：

 

（4-8´） R(N_m,t)=exp(-λ_估算t)∑[(λ_估算t_r)^m/m!]|m:0→n

 

中，定义n=λ_估算t=1时的老化寿命t，为特征寿命，记为t_特征，即下式：

 

t_特征=n/λ_估算，n=1

 

把n=λ_估算t_特征=1代入（4-8´）算得t_特征的可靠度：

 

R _t特征= R(N_m,t_特征)=exp(-n)∑(n^m/m!)|m:0→n

=exp(-1)∑(1^m/m!)|m:0→1=exp(-1)(1+1)=2exp(-1)

 

由此得到特征老化寿命t_特征的估算公式（4-17）：

 

（4-17）       t_特征=1/λ_估算，R _t特征=2exp(-1)

 

其中R _t特征=2exp(-1)≈2×0.3679=0.7358。（4-19）表明，聚合物材料老化特征寿命的可靠度是R _t特征≈0.7358=73.58%。

 

3.老化寿命t及临界寿命t_临界估计公式

 

对（4-6）的(λt)求一阶导数得（a）：

 

P_m(m,t)/d(λt)

={m[(λt)^(m-1)/m!]-[(λt)^m/m!]} exp(-λt)  （a）

 

因为（a）的二阶导数：

 

P_m^2(m,t)/d(λt)^2

={[(m-1)m(λt)^(m-2)/m!]-[m(λt)^(m-1)/m!]}

 exp(-λt)-{[m(λt)^(m-1)/m!]-[(λt)^m/m!]}exp(-λt)

={[(m-1)m(λt)^(m-2)/m!]-[2m(λt)^(m-1)/m!]+[(λt)^m/m

!]}exp(-λt)

={[(m-1)m(λt)^m/((λt)^2m!)]

-[2m(λt)^m/((λt)m!)]+[(λt)^m/m!]}exp(-λt)

=[(λt)^m/m!]{[(m-1)m/(λt)^2]

-2m/(λt)+(λt)/(λt)}exp(-λt)

=[(λt)^m/m!]{[(m-1)m/(λt)^2]-(2m-λt)/(λt)}exp(-λt)

 

当λt＞1，(λt) ≈m时，上式中的：

 

[(m-1)m/(λt)^2]-(2m-λt)/(λt)

=[(m^2-m)/(λt)^2]-(2m-λt)/( λt)

=[m^2-m-2m(λt)+(λt)^2]/( λt)^2＜0，所以：

 

                P_m^2(m,t)/d(λt)^2＜0，

 

因此，（a）在λt＞1，(λt)～m附近有极大值，令（a）=0，得（b）：

 

{[(m(λt)^(m-1)/m!]-[(λt)^m/m!]}exp(-λt)=0  （b）

 

解（b）得到（c）：

 

λt=m                （c）

 

（c）说，当λt=m时，（4-6）有一个极大值。

 

用λ的MLE估计值λ_估算，替代（c）中的λ，于是就得到（d）：

 

                   λ_估算t=m               （d）

 

因为，老化速率λ的MLE的估计值λ_估算为（4-15）：

 

（4-15）           λ_估算=m_平均/t_试验

 

所以，有理由把（4-15）中的λ_估算，替代整个老化过程的老化速率λ。把（4-15）代入（d），于是就得到老化寿命t的估算公式（4-18）：

 

（4-18）t=t_试验m/m_平均 或 m=λ_估算t，λ_估算由（4-15）给出

 

（4-18）的第1式表示，材料失去性能的值是m的老化寿命t；第2式表示，在老化寿命t时，失去性能的值是m。其中的t_试验是被测量的样品老化试验的时间，m_平均是被测量的样品在t_试验内，失去性能的平均值，

 

如果材料性能失去的值m=n是临界值，这时，临界寿命估算公式是（4-18´）：

 

（4-18´）       t_n=t_试验n/m_平均 或 λ_估算t_n=n

 

其中的t_n被定义为临界寿命，λ_估算由（4-15）给出。因此，临界寿命的意思是：聚合物材料在老化过程中，到达临界点n所用时间t_n，具有最大的概率。

 

把（4-18）和（4-18´）代入（4-8´），可以求出老化寿命t，及临界寿命t_n的可靠度R_临界。

 

由于材料性能下降的临界值n，是按照设计要求来设定的，所以对材料任意失去性能值n的临界寿命t_n，均可用（4-18´）来估算。

 

4.安全系数β

 

在（4-18´）中

 

（4-18´）            t_n≈t_试验n/m_平均

 

不难看出，比值n/m_平均（＞1）的大小决定了t_n的大小。因此把比值(n/m_平均) ＞1，定义为安全系数，用β表示，即（4-19）：

 

（4-19）              β=n/m_平均

 

由于（4-19）中的m_平均与老化试验时间t_试验有关，因此在得到被测样品的测量数值后，安全系数β被n唯一确定。由此可知，安全系数与可靠度是等价的。

 

值得注意的是，在4.2.1中全部的数学推导和分析过程中，没有对聚合物材料老化的环境加以限制，所以4.2.1中的全部公式，具有一般性。

 

（待续）