《点阵中的规律》教学实录

                            执教：郝高峰

【课前组织】

师：相传大禹治水的时候，在洛河之上出现了一只巨大的神龟，龟背上刻着这样一组图案。（多媒体出示“洛书”）你看到了什么？

生₁：我看到了一些像“月牙儿”一样的形状。

生₂：我看到了1、2、3等等一些数字。

师：准确地说，是“数”！能上来给大家具体说说吗？

生₂：一个月牙儿表示“1”，两个月牙儿表示“2”，三个月牙儿表示“3”……

http://s4/mw690/0034B7zigy6ETk9QsCL03&690师：真善于联想！大家觉得他说得有道理吗？（生齐：有！）看来，“数”与“形”一直都有着千丝万缕的联系。可以上课了吗？上课！

【谈话导入】

师：同学们，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家们经常用“摆石子”的方法研究数，他们用一个石子表示“1”，两个石子表示“2”……

生接：三个石子表示“ 3”，四个石子表示“4”……

师：是的。这天，他们摆了这样一组图形。（课件出示石子摆成的一组正方形）你看到了什么？

生：这些石子摆成了正方形。

师：如果把每个小石子看成一个“点”，就成了这样一组图形。（课件出示）你又看到了什么？

生₁：这些点排成了正方形。

 生₂：有规律的！

师：同意吗？（生齐：同意！）是的，我们把像这样，按照一定规律排列的一组点叫做“点阵”（板书：点阵），这节课我们一起研究“点阵中的规律”。（板书课题）

【探究学习】

1、我会学

（1）课件出示学习要求：

师：谁来读一下学习要求。如果你还不敢举手发言，不妨从读题开始。请你来！

生：①观察前4个点阵的排列规律，试着画出第5个点阵。

②尝试用算式表示点阵中点的个数。你发现了什么？

    师：读得真清楚！明白要求之后，请你在学习卡上独立完成，完成后再与同桌交流交流。

（2）学生探究（在学习卡上完成，教师深入课堂，和学生一起学习，寻找合适教学素材）

（3）汇报交流

    生₁：大家请看这里！（实物投影展示作品）我是斜着观察的。发现第1个点阵有1个点、第2个点阵用算式表示为1+2+1、第3个为1+2+3+2+1、第4个是1+2+3+4+3+2+1……谁还有什么问题？

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    生₂：我觉得你讲得很清楚，值得我们学习。

    生₃：按照你的规律，我想问问第10个点阵用算式怎么表示？

    生₁：1+2+3一直加到10，再倒着加到1。

    生₃：谢谢你！

    师：谢谢！谢谢叶老师，也谢谢所有参与交流的同学。掌声送小叶老师！谁还有不同的想法？

    生₄：我是这样横着观察的，发现第几幅图就有几乘几个点。比如第1幅是1个点，第2幅是2×2＝4个点、第3幅有3×3＝9个点，以此类推，第4幅图就有4×4＝16个点。

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    师：以此类推，这句话说得真好！那么第100幅图就有——（生答）对，100×100个点了。（教师示意学生继续）

    生₄：谁还有什么意见？

    生₅：你的声音有点儿小，如果再大些就更好了。

    生₄：谢谢，下次我会注意的（声音还略有点儿小）。

    生₆：我想给讲题的同学提个意见，你说你会注意的，可你的声音还是有点儿小！（其他同学点头表示认可）

    生₄：谢谢你！我会注意的！（显然这次他卯足了劲儿）

    生₇：我觉得你的方法比叶老师的方法要简单一些。

    师：真好！大家看，他已经开始比较两种方法了，注意到了方法的“优化”问题。谢谢你！

    生₄：谢谢你对我的肯定。

 

    师：好，掌声送张老师！还有不同意见吗？

    生₈：大家请看这里！第1个点阵有1个点，第2个比第一个多了3个，所以用1+3=4个，第3个比第2个多5个，用4+5，第4个是9+7，那么第5个就是16+9了。谁还有什么问题？

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    生₉：我同意你的做法。不过我把第3个点阵写成1+3+5，这样第4个就是1+3+5+7，第5个就是1+3+5+7+9等等。

    生₈：你这样也可以。而且好像看起来更有规律一些。

    师：到底有什么样的规律呢？

    生₉：都是奇数！

    师：没错！从1起的连续奇数。还有其他发现吗？

    生₁₀：第几幅图就有几个这样的奇数相加！

    师：是这样吗？孩子们？（生点头同意）照这样说，要是第20幅图，就应该有——（生齐）20个这样的奇数相加了。谢谢惠老师为我们分享他的发现，掌声送惠老师！ 

（4）比较探究方法：

师：孩子们（教师示意学生看黑板），我们来回顾一下这几种方法，你喜欢那种？为什么？

生₁：我喜欢张老师的方法，这样一行一行地观察，非常简单！

生₂：我也喜欢张老师的方法，不过，我觉得能一行一行观察，也能一列一列观察。

师：大家同意吗？的确，简洁是数学永恒的追求！

生₃：我喜欢叶老师。（生笑）不，叶老师的观点（他连忙纠正）。

师：没事！我想我们大家都跟你一样，都喜欢有自己想法的叶老师，不是吗？（众生点头）

生₃：这样斜着观察，规律也非常明显（显然，生₃已经释然了）

生₄：我比较喜欢惠老师的方法，因为——因为——（孩子有些语乏了），虽然它没有第一种简单！

师：是的，你能有自己的想法，老师感到非常高兴！它虽然没有第一种简单，但没有一定观察能力还真发现不了！是吗？（生点头）

师：一行一行看非常简单，斜着观察挺有意思，第三种方法也很有特点。那么，它们有什么共同之处吗？

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生₁：有顺序！有顺序！（他已有些迫不及待了）

生₂：都是按照一定的顺序观察的！（教师板书：有序思考）

师：由于观察的顺序不一样，对于同样一个点阵（教师指向第4个点阵），横着看是4×4，斜着看是1+2+3+4+3+2+1，甚至还可以看成1+3+5+7。看来，我们可以多角度地去观察同一个事物，正所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”啊！

师：其实在算式中也是有许多规律的，同学们下去认真研究研究，可以吗？

1、我会设计

    师：孩子们，通过交流我们发现正方形点阵中有着许多特别的规律，还可能有什么形状的点阵？请你设计一组点阵。谁来读一下设计要求？

    生：①请以小组为单位，按照一定规律设计一组点阵；

        ②用算式表示点阵的排列规律（也可以根据一组有规律的算式设计点阵）；

        ③先独立完成，再组内交流后，选定一名代表全班交流。

师：明白要求了吗？开始！（学生在学习卡上设计，教师参与活动，并适时点拨）

 

师：可以了吗？孩子们。哪个小组先来汇报一下？教师示意一小组先来。

（小组汇报略，附学生作业设计）

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【拓展提高】

师：真得很佩服同学们，大家设计了这么多不同形状的点阵，有三角形、长方形、平行四边形、梯形等咱们学过形状的点阵，还有“直角”状的、“十字”状的、甚至“回字”状等等特别的点阵，着实让老师和同学们眼前一亮。请大家看大屏幕，这是——（课件出示五边形点阵）对！五边形点阵。那就应该有

生：六边形、七边形点阵……

师：（出示六边形点阵）真是这样。这叫——中心五边形点阵。（课件出示）那就有——

生：中心六边形、中心七边形点阵……

师：这是五角星点阵（课件出示），你猜猜还会有——

生：六角形点阵、七角星点阵……

【全课小结】

师：看来，点阵的世界是丰富多彩的，我们只是研究了它的冰山一角。通过这节课的学习，你有什么收获呢？

生₁：我能设计一些简单的点阵了，比如长方形点阵等。

生₂：我知道了要找点阵的规律，需要按一定的顺序观察。

生₃：原来数学这么有意思!

生₄：我明白了数与形是有联系的。

【课后拓展】

师：看来，同学们都有自己的收获！古希腊毕达哥拉斯学派的数学家们不仅研究了许多平面上的点阵，还将研究领域拓展到空间中。（课件出示三棱锥）

请你闭上眼睛想一想，数学家们还可能研究那些立体图形……