《点阵中的规律》教学设计

                   高陵县泾渭镇西营中心小学  郝高峰

 

【教材分析及设计思路】

《点阵中的规律》是义务教育课程标准实验教材北师大五年级上册P₈₂—P₈₃“综合与实践”领域中“尝试与猜测”单元的第二课。教材通过引导学生对正方形点阵的探究，渗透“数形结合”、“有序思考”、“解决问题策略多样化”等思想，尝试、并学会研究三角形点阵、长方形点阵等简单问题。

教材只提到“二千多年前，希腊的数学家已经利用图形来研究数”，自有编者的考虑；我想，为什么我们不能告诉孩子这些数学家就是“毕达哥拉斯学派”的数学家呢？所以，本节课在设计时，我以该学派研究“形数”的历程为经线，从尝试研究正方形点阵到探究自己设计的三角形、长方形等点阵中的规律，再拓展至五边形点阵、五角星点阵，甚至将学生的思维引向空间……使学生初步“经历”形数的研究历程；以“尝试与猜测”为纬线，贯穿每个环节（如研究了正方形点阵，请学生猜猜还可能有什么形状的点阵并自己设计、研究；学生设计出三角形点阵，鼓励学生猜猜第n个是什么样子，用算式如何表示；出示了五边形点阵，引导学生猜猜还可能有什么点阵；给出了三棱锥，猜猜还可能有什么形状等等）。这样经纬交织，螺旋上升，引导学生经历“做数学”的过程。

【学习目标】

1、在观察、操作中，学习按一定顺序寻找点阵中的规律，渗透“数形结合”的思想。

 2、通过尝试与猜测，培养学生的思维能力，体会解决问题策略的多样化。

3、简单了解毕达哥拉斯学派的“形数”理论，体验数学之美。

【学习重点】

在尝试与猜测过程中，探究发现点阵的规律。

【学习难点】

有序思考的策略（多样化），体会多种策略之间的联系。

【课前准备】

（1）    课件、学习卡等

（2）    课前组织（尝试猜测《洛书》中图案表示的意义，初步体会形与数的紧密联系）。

【教学过程】

一、谈话导入

师：古希腊毕达哥拉斯学派的数学家们经常用“摆石子”的方法研究数，他们用一个石子表示“1”，两个石子表示“2”……

生：三个石子表示“3”，四个石子表示“4”……

师：这天，他们摆了这样一组图形。（课件出示石子摆成的一组正方形）如果把每个小石子看成一个“点”，就成了这样一组图形。（课件出示）

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    师：你看到了什么？

 生₁：这是一组用点组成的正方形。

 生₂：这些点是按一定规律排列的。

师：是的，我们把按照一定规律排列的点叫做“点阵”，这节课我们一起研究“点阵中的规律”。（板书课题）

﹝设计意图：今天的课堂中，我们经常会创设一个生活情境（比如，用长方形队列等）来导入新课。而关于“形数”的理论最早可上溯至毕达哥拉斯学派，作为小学生我认为应该了解一些这方面的数学史，因此，我设计了这样的导课，引导学生在“数学史”中学习“数学”，激发他们探究的欲望。﹞

二、探究学习

1、我会学（尝试探究正方形点阵中的规律）。

（1）课件出示学习要求：

师：谁来读一下学习要求。

  ①观察前4个点阵的排列规律，试着画出第5个点阵。

  ②尝试用算式表示点阵中点的个数。你发现了什么？

（2）学生探究（在学习卡上完成，也可以与同桌交流）。

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（3）汇报交流（学生拿着自己的学习卡，利用实物投影交流观点，教师适时板书）

学生可能会出现的思路：

     ①从上往下：第1个点阵有1×1＝1个点、第2个有2×2＝4个点、第3个有3×3＝9个点……每排n个，有n排，共有n×n个点；

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      ②斜着观察：第1个点阵有1个点、第2个有1+2+1＝4个点、第3个有1+2+3+2+1＝9个点……

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  ③ 转着观察：第1个点阵有1个点、第2个有1+3＝4个点、第3个有1+3+5＝9个点……

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（4）比较探究方法：

 ①区别

师：以上几种方法你喜欢那种，为什么？（学生畅谈自己的想法，要求有理有据，教师可适时引导学生猜想第10幅图，甚至第100幅图的样子及算式）

 ②联系

师：一行一行看非常简单，斜着观察挺有意思，第三种方法也很有特点。那么，它们有什么共同之处？

生₁：都是按照一定的顺序观察，寻找规律。（板书：有序思考）

生₂：同一个点阵，横着看是4×4，斜着看是1+2+3+4+3+2+1，还可以看成1+3+5+7

 ③算式中的规律。（引导学生观察算式中的规律，猜想第10组，甚至第100组算式的计算结果）

﹝设计意图：学生是课堂的主人。弗赖登塔尔曾说过：“泄露一个孩子可以发现的秘密那是坏的教法，甚至是罪恶。”正方形点阵，孩子完全可以自己研究。因此，我设计该环节，让学生经历探究正方形点阵规律的过程，体会“有序思考”等策略，善于交流自己的观点，并能比较多种方法之间的异同，发展思维能力。﹞

2、我会设计（学生自主设计点阵）

（1）    课件出示活动要求：

    师：通过研究我们发现正方形点阵中有着许多特别的规律，还可能有什么形状的点阵？请你设计一组点阵。谁愿意读一下设计要求？

     ①请与同桌合作，尝试按照一定规律设计一组点阵；

     ②用算式表示点阵的排列规律（也可以根据一组有规律的算式设计点阵）；

（2）    学生活动。（学生在学习卡上设计，教师参与活动，并适时点拨）

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    （3）汇报交流。（学生利用实物投影展示自己的设计成果，并进行交流，教师及时引导学生评价，并猜想第n个点阵的样子）

    学生可能会出现三角形点阵、长方形点阵、平行四边形点阵、梯形点阵、“ 十”字形点阵……

   ﹝设计意图：书画界有这样一句话“露而不藏便浅薄，愈藏而愈大”。我想，教学也一样，我们应适时“留白”，给学生创造的空间。有了正方形点阵的学习基础，加上孩子的经验，他们完全有能力创造出其他丰富多彩的点阵，并进行研究，我们又何必越俎代庖呢？﹞

三、拓展提高

    师：同学们设计了这么多不同形状的点阵，请大家看大屏幕，这是——（课件出示五边形点阵、六边形点阵、中心五边形点阵、五角星点阵……拓展学生思路，请学生猜想还可能有什么数阵）

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﹝设计意图：孩子的“创造”可能只会局限在长方形、三角形、平行四边形等他们学过的一些平面图形上，因此，我们教师有责任进一步拓展孩子的思路，将他们引向更加广阔的天地。并鼓励学生猜想，还可能有什么样的点阵，培养学生的想象力和创造力。﹞

四、全课小结

1、这节课你有什么收获？（学生畅谈自己的收获及心得）

2、课后拓展：三棱锥数（四面体数）……

师：古希腊毕达哥拉斯学派的数学家们不仅研究了许多平面上的数阵，还将研究领域拓展到空间中。（课件出示三棱锥）

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请你闭上眼睛想一想，数学家们还可能研究那些立体图形……

﹝设计意图：实践证明，学生自己谈收获是一种非常有效的总结方式，但我们绝不能止于此。我试图将学生的思维从平面引向更深的层次——空间，为他们插上想象的翅膀，从课内延伸至课外，进一步激发孩子的探究欲望。﹞

  

附：板书设计

  

                     尝试猜测——                               

有序思考

                               点阵中的规律   

                                                    数形结合

 

                           ①   1×1 ＝        1        ＝ 1        ＝1

                           ②   2×2 ＝      1+2+1      ＝ 1+3      ＝4

                           ③   3×3 ＝    1+2+3+2+1    ＝ 1+3+5    ＝9

                           ④   4×4 ＝  1+2+3+4+3+2+1  ＝ 1+3+5+7  ＝16

                                 …            …             …      …

                                n×n                                ＝n²