近似正多边形作图法的误差分析 

 

唐小牛                2024-03-27 年87

 

在网上看到两篇文章:

一、 正N边形作图法(以正7边形为例) 。无作者姓名，只有一张图及简要说明，但足够看懂其方法了。敬录于下。

 

  

 

二、 任意等分圆周的尺规作图法 (以七等分圆周为例) 。作者:贵州省天柱县高酿镇凸洞小学龙再铃。作图步骤方法为:

1．用等分已知线段的方法，将O的直径AK七等分；

2．以点K为圆心，直径AK为半径画弧，交直径AK的垂直平分线于M、N两点；

3．自点M、N分别向直径AK上的点b、d、f连结并延长，使其延长线分别交O于B、C、D、E、F、G点，则点A、B、C、D、E、F、G将O七等分。

4.依次连结AB、BC、CD、DE、EF、FG、GA即得O的内接正七边形。

 

可见，上述两文的作图步骤与方法，完全相同。而文中有正N边形、任意等分圆周等字样，便使我很兴奋。不是说，正7边形是无法用尺子、圆规作图的吗？不是说，正5边形、正17边形作图还是比较烦琐的吗？而现在竟有这么一个又简单、又统一的方法了，太好了，以后可以用尺规作任意正多边形了。

 

但这个方法是谁发明的呢？怎么没有听说过呢？

因此又引起我的一些疑惑。就想用具体的数值，来计算这些正多边形每边所对的中心角，是否都等于其理论值。例如5边形每边的中心角=360/5=72度、7边形每边的中心角=360/7=51.4285714285度等等。

为此，对3、4、5、7边形各作了数值计算，得到最终结果如下:

 

N  中心角理论值  作图后各中心角 实际值(单位度，取3位)      总和

3   120          120        120        120                360

4    90       89.625   90.375    89.625   90.375           360

5    72     71.691   71.953   71.953   71.691   72.712          360

7  51.428…  50.836  51.382  51.518  51.518  51.382  50.836  52.527  360

 

结论:

3边形的中心角最大误差0秒                   得到正3边形

4边形的中心角最大误差0.375度， 即135秒，  非正4边形

5边形的中心角最大误差0.712度， 即  21秒， 非正5边形

7边形的中心角最大误差1.099度 ，即  66分， 非正7边形

 

所以上面的作图方法，即 先将直径平分N份、定出射线起点，再以射线与圆相交的方法所作的多边形，除N=3外，只能得到近似于正的多边形，不能得到真正的正多边形，但一般肉眼是分不清楚的。当然，这个方法也有优点，即既简便又统一，适合于作略图、作艺术图形等。想出这个方法也真了不起，非我辈所能也 。

 

由于上述两文的标题不精确，可能会引起读者(如我)的误解。因此，我写这篇文稿，标题加上了近似两个字。

下面，只将7边形数值计算的全过程，包括作图方法、射线方程、小圆方程的建立、7边形上各点坐标、弦长及相应中心角等计算结果，罗列出来，供有兴趣、喜较劲的朋友一阅。

 

 

 

近似正7边形尺规作图法的数值验证及最终结论

 

一  尺规作图方法及基础点坐标的确定

 

1  先把任意长作为1份。用圆规在直线上连得7份。得的分点号为0、1、2、3、4、5、6、7(N)。

2  N作为坐标系原点，又是大圆的圆心，大圆半径R=7。

3  以3号4号的中点Q，作为小圆圆心，並以半径r=3.5作小圆。小圆圆心X轴上的Y都=3.5。

4  再作射线的左右起点A、B。A、 B是大圆与小圆心X轴线的交点。

5  B为右侧的射线起点，其圆方程为 X²+Y²=R²，其中R=7、Y=3.5。则有X²+3.5²=7²，得X=6.0621778、Y=3.5。

6  A为左侧的射线起点，其圆方程为 X²+Y²=R²，其中R=7、Y=3.5。则有X²+3.5²=7²，得X= -6.0621778、Y=3.5。A是B的对称点。

 

作图至此，便得射线B1、B3、B5、B7、A1、A3、A5、A7上各点的坐标:

 

   1     3     5     7(N)   小圆圆心Q       B            A     

X    0     0     0     0          0       6.0621778    -6.0621778   

Y    6     4     2     0          3.5         3.5          3.5

 

 

二  各射线方程的计算

 

多边形上的多个点，是用多个射线B1、B3、B5、…与小圆相交得到的。

例如B1射线与小圆相交得到C点。这时，待求点C(坐标为X、Y) 与已知点1(坐标为X1、Y1)、已知点B(坐标为XB、YB)位于同一直线，则有射线方程

(Y-YB)/(X-XB) = (Y1-YB)/(X1-XB)  …(1)

等式后项(Y1-YB)/(X1-XB)=K，其实就是射线的斜率K。代入已知坐标值，得K=(Y1-YB)/(X1-XB)=(6-3.5)/(0-6.0621778)=2.5/(-6.0621778)=-0.41239305

所以 (1) 式成为  (Y-YB)/(X-XB)=K= -0.41239305   …(2)，展开为

(Y-3.5)/(X-6.0621778)= -0.41239305

(Y-3.5)= -0.41239305 *(X-6.0621778) 最后，

射线B1的方程为Y=6 -0.41239305 X  

   同理:

射线B3的方程为Y=4-0.082479 X

射线B5的方程为Y=2+0.2474358 X

射线B7的方程为Y=0.5773503 X

A与B是对称点，X正负相反而Y相等。所以射线A1、A3、A5、A7不必重算了。

 

三  内接多边形的小圆方程的计算

 

小圆心坐标X=0、Y=3.5，半径r=3.5，则

小圆方程  (X-0)²+(Y-3.5)²= r² 展开为

X²+Y²-7Y+12.25=12.25  →  X² -7Y+Y²=0  →   Y=(7±√ (49-4X²))/2

 

 

四  在电子表格上解算射线与小圆的联立方程，得7边形各顶点坐标

 

内接多边形的各个顶点，是各条射线与小圆的交点，其坐标就是两者联立方程的解。

如，射线B1与小圆相交在C，要解联立方程

Y=6 -0.41239305 X          …  (B1射线方程)

Y=(7± √ (49-4X²))/2       … (小圆方程)

得  C点X=-1.548751   Y=6.6386894

 

解射线与小圆的联立方程很麻烦。我就在电子表格Excel上，用连续变动x的方法，求解两个Y。当两个Y相等时便录用。实际上取小数后6位相同就取平均值录用了。如C点的运算过程:

 

    输入X      小圆Y=(7±√(49-4X²))/2   射线B1 Y=6 -0.41239305 X

-1.548750829           6.638689355           6.638689354

-1.548750830           6.638689355           6.638689355  *录用

-1.548750831           6.638689354           6.638689355

最后，C点坐标录用为  X = -1.548751   Y = 6.6386894。

其他点相仿。最后结果汇总于下表。

 

射线 与 小圆的交点        X             Y           注       

B1  与      C       -1.548751     6.6386894    *(详细计见下注)

B3  与      D       -3.4116615    4.2813885    

B5  与      E       -2.739821     1.3220700    

B7  与      N        0            0            

A5  与      F        2.739821     1.3220700    (E的对称点)

A3  与      G        3.4116615    4.2813885    (D的对称点)

A1  与      H        1.548751     6.6386894    (C的对称点)

 

五   7边形各边边长S及相应的中心角β的计算

 

计算公式及计算方法示例:

 

1  多边形各边边长S，即相邻点弦长S=√[(X _D-X _C)²+(Y _D -Y _C)²]

如CD边S=√[ (-3.4116615 + 1.548751)²+(4.2813885-6.63868945)² ]

S=3.0045479。

2  中心角β=ARC SIN(S/2/r) ，r=3.5。

如CDQ ， β=ARC SIN (3.0045479/7)*2 =ARC SIN (0.4292211)*2=

β=25.41814116 * 2 = 50.836282。

3  中心角β误差 = 实际角度 - 理论角度360/7

 

点      已知 X        已知 Y     相邻点弦长S    中心角β     误差 

C    -1.548751     6.6386894     3.0045479     50.836282   -35分

D    -3.4116615    4.2813885     3.034622      51.38199    -3分

E    -2.739821     1.3220700     3.0342129     51.518216    5分

N     0            0             3.0342129     51.518216    5分

F     2.739821     1.3220700     3.034622      51.38199    -3分

G     3.4116615    4.2813885     3.0045479     50.836282   -35分

H     1.548751     6.6386894     3.097502      52.52704     66分

A    -1.548751     6.6386894

                        理论值    3.0371855    51.428571428…