整数勾股弦新公式的发现及数据库的建立

一  毕达哥拉斯三角形公式及其局限性

A²+B²=C²，世称毕达哥拉斯定理或毕达哥拉斯公式，我国则称勾股定理。它的几何图形就是直角三角形。

若要构建任意数(含无理数)的直角三角形，则先定一个数为A，另一个数为B，则

C=√ (A²+B²) ，计算还算方便，只是开方麻烦些。如A=4、B=7，则C=√(4²+7²)=8.0622 、

A=4、C=15，则B=√(C²-A²)=14.4568 …等等。

但如果要求直角三角形的勾股弦A、B、C，都是整数，即构建一个整数勾股弦，那就非但开方麻烦些，而是无从下手了。譬如说， A=4、那末选什么整数B，才能使C也是整数呢？有什么公式吗？这个问题我以前是无知无奈，真的无从下手。至于要想得到一大批整数勾股弦，那就更迷惘了。  

但毕达哥拉斯又创建了一个整数勾股弦的公式，形式不同于A²+B²=C² ，而是:

己知  A=2N+1(即奇数)，则B=(A²-1)/2、C=(A²+1)/2，(见注解:其实是C-B=1)。

A=  2N(即偶数)，则B=(A²/4)-1、C=(A²/4)+1，(见注解:其实是C-B=2)。

这个公式如果也叫毕达哥拉斯公式，则与A²+B²=C² 公式 有混淆之敝，故可攺称为毕达哥拉斯整数直角三角形公式或简称毕达哥拉斯三角形公式。所要注意者，这个公式所计算的一系列ABC，其中的C-B都等于1或2，没有例外。

    A   B   C     C-B         A    B   C     C-B   

3   4   5      1          8   15  17      2 

5  12  13      1         12   35  37      2

7  24  25      1         16   63  65      2  

现我自作主张，将弦C減股B，即C-B=K，K称为定差。

在毕达哥拉斯三角形公式中，A=奇数时，K=1。A=偶数时，K=2。没有例外。何以見得？请看以下注解:

由B=(A²-1)/2与C=(A²+1)/2，可得C-B=(A²+1)/2-(A²-1)/2=(A²-A²+2)/2=1，即C-B=1，K=1。

而由B=(A²/4)-1与C= (A²/4)+1，可得C-B=(A²/4- A²/4)+2=2，即C-B=2，K=2。

这就要问: 整数勾股弦中难道没有K=3、4、5、6、7、8、9、…相应的ABC吗？当然不是。例如，如果将K=1的勾股弦乘9，就可以得到K=9的勾股弦，如下:

独立   A    B     C                       派生  A     B       C     K=C-B   它的公约数            

3   4   5  * 9 =           27   36   45     9        9

5  12  13  * 9 =           45  108  117     9        9

7  24  25  * 9 =           63  216  225     9        9

…        …            …          

这些(27  36  45)… 等等勾股弦，不就是K=9的勾股弦吗？。但是，这些勾股弦的公约数是9，是派生的勾股弦，不是独立勾股弦。而K=9的独立ABC却是:

A     B    C   K=C-B    公约数    

33   56   65     9         1  

39   80   89     9         1 

51  140  149     9         1 

57  176  185     9         1 

69  260  269     9         1 

所以说，毕达哥拉斯三角形公式不能构建K > 2的完整勾股弦(其中有独立的也有派生的)，这就是它的局限性。

那末如何得到所有K，即 K=1、2、3、4、5、6…相应的完整勾股弦呢？有公式吗？这就是本文探讨的目标。

待续