初等数论《 余数 》 习题  (连载2)

 

1           125÷5=25 … 0 ，… 0表示余0。这是带余除法的特例，即“整除”。记为5｜125，读作5整除125，或125被5整除。注意，0是可以作为余数的。

为减轻手工劳作，用电子表格作带余除法，例：

 

算例号	被除数  A	除数  B	商(分数) C	商(取整)  D	余数  E
	A	B	C=A/B	D=INT(D)	E=A-B*D
1	125	5	25.00	25	0
2	944638	7	134948.29	134948	2
3	-306注	7	-43.71	-44	2
4	638944	7	91277.71	91277	5
5	306	7	43.71	43	5
6	638944	11	58085.82	58085	9
7	306	11	27.82	27	9
8	638944	13	49149.54	49149	7
9	300	13	23.08	23	1
10	135798563	37	3670231.43	3670231	16

 

注： －306÷7= －43 … －5  即 －306÷7= －44 … 2

    

2        A÷B=X … R ，如127÷5=25 … 2 ，这是最基础的小学生算式。可写成A=XB＋R 即

127=25×5＋2 。也可写成A－R＝XB、B＝(A－R)／X，它们在求解A、B时都有用处。

注：我国古算，余数表示法为127÷5=25又2／5，实际上是一个带分数。分母即除数，分子即余数。

     《数论》中的余数问题，一般不管商的具体数值，只要是整数就行。所以商只用X、Y、Z或☆表示都可以。在同余式中根本就不记商，如127≡2  ( mod 5 ) 。

 

3   127÷5=24 … 7 

注：一般而言，余数要小于除数。但在数论中，有时可以大于除数。本应余2，可以等于7(2+5)。

   

4  18356÷3  余数多少？

答：2

解：遇÷3，用弃3法。各位之和1＋8＋3＋5＋6 = 23 → 23－3×7=2，余数为2。

注：实际上不必一个个的加。见1与8、3、6，相加都是3的倍数，就不管了。只剩下5，

而5－3=2，所以余数为2。这种方法我把它叫做“ 见3抛3 ” 。

 

5   18356÷9  余数多少

答：5

解：遇÷9，用弃9法：1+8+3+5+6=23   →  2+3=5 ，余数为5。

注：实际上不必一个个的加。见1与8、3与6，相加都是9，就不管了。只剩下5。

这种方法我把它叫做“ 见9抛9 ” 。

 

6   732894÷7余数多少？732894÷11余数多少？732894÷13余数多少？

答：1、8、6

解：÷7、÷11、÷13有整除判别法：前面数与尾三位相减，结果能分别被7、11、13整除，则该大数能分别被7、11、13整除。如果不能整除，则其余数即为大数之余数。

732894  分段 →  894－732＝162  →

162÷ 7＝23  余1      即732894÷ 7=104699  余1

162÷11＝14  余8      即732894÷11= 66626  余8

162÷13＝12  余6      即732894÷13= 56376  余6

 

7   654321  ÷7、÷11、÷13余数各为多少？

答：3、8、5

解：    654321 分段 →  321－654= －333 ，

－333÷ 7＝－47  余 －4 ，这里余数出现了负数，要通过“互补”把负余数转化为正余数。

即7+(－4)=3，即 余3。

同理：

－333÷11＝－30  余－3 ，“互补”为11－3=8 ，余8 。即654321÷11时  余8

－333÷13＝－25  余－8 ，“互补”为13－8=5 ，余5 。即654321÷13时  余5

 

8   2461×135×6047÷11余数多少？

答：余5 

解：  ÷11的整除，可用“偶位之和减奇位之和”來判别，余数也是如此。又用余数的乘法定理：三数之乘的余，等于三数之余的乘积，两者结合，先分三次算：

2461 →  2+6－4－1＝3    即 2461÷11  余3

135 →       1+5－3＝3    即  135÷11  余3

6047 →      6+4－7＝3    即 6047÷11  余3

最后余数是3×3×3=27  →  7－2＝5  ，余数为5。整个过程只同加减乘，不必用除。

 

9   12345678910111213 …  979899÷99的余数

答：81

解： ÷99的整除判别，可从尾起，每二位为一组，各组之和除以99，其余数就是该大数的余数。

先分组为：  1  23   45  67  89  ( 10  11  12  13 …  97  98  99 )

各组相加：  1＋23 ＋45＋67＋89 ＋ ( 99＋10 )÷2×( 99－10＋1 ) = 255+4905=5130

最后再判别：  5130  →  51+30 =81。余数是81

 

10   带余除式求余数：1992÷B＝46 … R，求B、R

答：B=43   R=14，有1992÷43＝46 …14

解：1992÷B＝46 … R  → 1992 ＝ 46B＋R 

先设R=0 ， 则1992=46B  →  B=1992÷46=43.3043  →  取整为43

1992÷43＝46 … 14  所以B=43   R=14

 

11   1013除以一个两位数B，余数是12。求出符合条件的所有的两位数。

　　答：13  77  91  

解：    按题意列式1013÷B=商X  余12   →  1013－12=BX ，1001=BX，即B与X都是1001的约数，现不管X，只算B。

质因数分解1001=7×11×13，约数有7  11  13  77  91   143，其中只有  13  77  91  是两位数，合符题目要求。注意，11不算，因为余数是12。

 

12   135798563÷37 余数多少？

答：16

解：  先把135798563分拆为133200000＋259000＋8563 。

再用余数的加法定理算。余数的加法定理是：“和的余数等于各余数的和”。其中133200000与259000 都被37整除，余数0。剩下 8563，要硬除。8563÷37=231  … 16。最终余数0+0+16=16。

但分拆比较麻烦。135798563怎样分拆呢？先要估算一下商的大小。135798563是9位，÷37，粗估，商约3600000，所以先取3600000×37=133200000。

135798563－133200000=2598563，又÷37，又粗估，商约7000，所以有70000×37=259000。

最后才有135798563＝133200000＋259000＋8563。这是不是比直接硬除还麻烦操心呢？这里仅是说明分拆方法而已。

 

13   135798563÷37 余数多少？

答：16

解：   还可用余数的乘法定理算：先质因数分解，135798563＝157×864959 ，化为一个乘法。 余数的乘法定理是：“乘积的余数等于各余数的乘积”。这个方法是先要因数分解，也比较烦。我自己也想，因数分解的工夫，还不如直接硬除算了，何必脱了裤子放屁呢？这里仅是说，算余数有多种方法。奥数中就往往试探你怎样巧妙的分拆、怎样巧妙的分解因数等等。现在把135798563分为两组求解了：

先算      157÷37   余 9

864959÷37   余10

再算  9×10=90   → 90÷37 =2 … 16。

 

14   46620÷31余数多少？

答：27

解：  把大数化为几个小数的乘积，用余数的乘法定理算。先用质因数分解，46620=35×36×37 。

再分三组算：

35÷31  余4

36÷31  余5

37÷31  余6

最后，4×5×6=120 →  120÷31＝3  余 27

 

15   2222222…222  ( 1000个2 ) 除以13，所得的余数是多少？

答：12

解：   这类题，有时先要把能够整除的部份去掉，再笨算一下余数。注意到：整除13的判别条件是：“前数减尾三位”能被13整除。现在只取6位222222，就有222－222=0，所以222222就可以整除13。这样，每六个2为一组，都可以被13整除。1000个2，六个为一组，即1000÷6=166 … 4，可分为166组，余数都为0。而剩下最后4个2。得2222。2222÷13=170 … 12，所以余数是12。

 

16   2¹⁰⁰÷7的余数是多少

答：2

解：对于数列，先要试算一下，看余数有什么规律性。现一一试除，得余数如下表：

指数N        1    2    3    4     5      6       7       8       9       10    … 

幂  2^N        2    4    8   16   32   64   128   256   512   1024   …

÷7后余    2    4    1     2     4     1       2        4        1         2    …

可见 余数有：2   4   1  、2  4  1   …  即3个数为一个循环节。现指数N=100，100÷3余1。第1个余数为2。所以，2¹⁰⁰÷7的余数为 2。

 

17   2⁵⁰÷7的余数是多少

答：4

另解：  2⁵⁰=2^10×5=1024⁵  ，用“乘方的余数等于余数的乘方”原理， 先算出1024÷7的余数为2，再算该余数2的5次方，即为最终余数。  2⁵ ÷7=32÷7的余数也为4 ，所以，最后，2100÷7的余数是4。

 

18   2¹⁰⁰÷9余数是多少？

答：7

解：  与上题相仿，算得2^N 除以9的余数有一个循环节：2    4    8    7    5     1  ，即6个数为一个循环。现指数N=100，100÷6余4。第4个余数为7。

 

19   2¹⁰⁰÷13余数是多少？

答：3

解：与上题相仿，算得2^N 除以13的余数有一个循环节：

2    4    8    3     6   12   11     9     5      10    7    1 ，即12个数为一个循环。现指数N=100，100÷12余4。第4个余数为3。

 

20   2¹⁰⁰÷13的余数是多少

答：3

另解：  2¹⁰⁰=2^10×10=1024¹⁰  ，用“乘方的余数等于余数的乘方”原理， 先判1024÷13的余数为10，再算余数10的10次方，即为最终余数。  10¹⁰ =10^5＋5 =10⁵×10⁵

10⁵÷13 的余数4 。10⁵×10⁵ ÷13  的余数，便用“乘积的余数等于余数的乘积”原理，为4×4=16，而16÷13的余数为3。所以最后，2100÷13的余数是3。

 

21  一个两位数AB，被它各位数字之和(A+B)去除，余数R最大是多少？

答：最大余数为15，即79÷(7+9) ＝ 4  余15

解：AB÷(A+B)＝C    … R

余数要最大，即除数(A+B)要最大，亦即A=9、B=9时，(A+B)＝18，余数最大可能是17，到底余多少，要经试算才能确定。

 

除数(A+B)     A   B    AB    A+B    AB÷(A+B)     商C    余R    判别R是否最大

1               18         9   9     99      18       99÷18              5         9

2               17         9   8     98    17        98÷17               5        13

3               17         8   9     89    17        89÷17               5         4

4               16         9   7     97    16        97÷16               6         1

5               16         8   8     88    16        88÷16                5         8

6              16         7   9     79    16        79÷16                 4       15                  最大

7             15  自此以下，最大余数不会超过14，所以79÷(7+9)＝ 4  余15，为最大余数

(待续)