常用对数表编制新方案的试算_小牛

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常用对数表编制新方案的试算

(2016-02-06 17:11:52)

标签：

教育

常用对数表编制新方案的试算

先转录“事理环境论”先生的博文。该博文声明“禁止转载”，但因为该文内容述及本人三年前的同类博文，所以我就复制一下，转录到这里。目的是想传播一下有关编制常用对数表的方法原来可以有多个。我还想根据“事理环境论”先生的方法，编出一部份常用对数表，看看效果如何。

十七世纪的常用对数表是怎么算出来的

“事理环境论” (2016-01-21 01:56:26)

前不久，在网上看到了金泽长街小牛先生的博文《回到十七世纪，让我来编算一本常用对数表》，受益匪浅。在我上中学时，也曾对数学用表中的对数和三角函数值是怎么算出来的感到好奇，但始终不得其解。中学时学的是四位对数表，毕业后也见到过八位对数表和十位对数表，但看不懂，不会用。读过小牛先生的文章后，不仅知道了对数表是怎么算出来的，也豁然明白八位对数表是怎么回事了。受小牛先生博文启发，我也想到了一种更为简单精确的计算常用对数表的方法，不用手算开高次方，只需加减乘除开平方，就可以编制出常用对数表，这里介绍出来，与大家分享。

第一步、计算第一组基础对数

这组基础的对数值是：1∕2， 1∕4， 1∕8， 1∕16， 1∕32， 1∕64， 1∕128， 1∕256， 1∕512， 1∕1024， 1∕2048， 1∕4096， 1∕8192共13个。

　　计算的方法很简单，就是不断开平方。在常用对数里，10的对数是1，把10开平方就得到对数1∕2的真数值，即√10，把计算结果再开平方就得到对数1∕4的真数值，把计算结果再开平方就得到对数1∕8的真数值，把计算结果再开平方就得到对数1∕16的真数值，…一直进行下去，等开到1∕8192就可以了。有这13个基础对数值，算8位对数表就够了，如果想要更精确的对数表，可以再多算几个基础对数，这里就不讨论了。

　　开平方是简单的运算，列竖式就可以开出来，开12位有效数字一般不会超过半小时，计算这13个基础对数一个人几小时就可以完成。有了这组基础对数，就可以通过把若干个基础对数相加的方式，计算出从1∕8192，2∕8192，3∕8192，......8191∕8192的任何一个对数，这8191个对数在0.0000～1.0000之间均匀分布。

　　　　　第二步、计算第二组基础对数

这第二组基础的对数值是：0.5， 0.1， 0.05， 0.01， 0.005， 0.001， 0.0005, 0.0001共八个。

　　0.5即1/2，在第一组基础对数中就有；0.1=819.2∕8192，介于819∕8192与820∕/8192之间，其中819∕8192 =512∕8192+256∕8192+32∕8192+16∕8192+2∕8192+1∕8192

　　　　=1∕16+1∕32+1∕256+1∕512+1∕4096+1∕8192

　　对数相加，真数需相乘，将式中这6个基础对数对应的真数值相乘就可以得到819∕8192的真数值。

　　820∕8192 =512∕8192+256∕8192+32∕8192+16∕8192+4∕8192

　　　　 =1∕16+1∕32+1∕256+1∕512+1∕2048

　　将式中这5个基础对数对应的真数值相乘就可以得到820∕8192的真数值。

819∕8192与820∕8192之间的间距很小，可以当成线性处理，在算出对数819∕8192和

820∕8192的真数值后，通过“线性内插法”就可以算出对数819.2∕8192即0.1对应的真数值。如担心多次相乘以及做线性内插时导致误差积累增大，可以把对数0.1的真数值累乘计算5次方，看与0.5的真数值能否对得上，如有误差，用开方公式做修正，消除误差。由于这样的计算本身已经很精确，误差修正的工作不会太费事。

　　得到对数0.1的真数值后，将之开平方就得到对数0.05的真数值。

　　然后，0.01=81.92∕8192，分别计算出对数81∕8192和82∕8192的真数值，再用“线性内插法”计算出对数0.01的真数值，当然，也要做误差修正。

　　同样的方法，可以计算出对数0.005， 0.001， 0.0005, 0.0001的真数值。

　　在算出这一组8个基础对数之后，就可以计算编制反对数表了。

　　　　　第三步、计算编制反对数表

用对数做乘、除、乘方、开方运算得到的对数值，最终都要通过查反对数表才能得到真数，所以，反对数表是迟早必须要编的，而反对数表在计算方法上没有障碍，所以应该首先计算编制。有反对数表之后，再计算对数表就容易多了。

　　有了对数0.5和0.1对应的真数值，就可以计算出从0.1，0.2，0.3，….0.9这9个对数对应的真数值了，这9个对数构成的反对数表可以叫一级反对数表。计算的方法很简单，就是对数相加，真数相乘，比如0.6的对数，对数0.6=0.5+0.1，所对应的真数就是3.162277660168*1.258925411794 = 3.98107170553 …

有了对数0.05和0.01对应的真数值以及一级反对数表，很容易就可以计算出从0.01,0.02,0.03，… 0.99这99个对数对应的真数值，这99个对数构成的反对数表可以叫二级反对数表。计算的方法与前面相同，即对数相加，真数相乘。

有了对数0.005和0.001对应的真数值以及二级反对数表，就可以计算出从0.001,0.002,0.003，… 0.999这999个对数对应的真数值，这999个对数构成的反对数表可以叫三级反对数表。计算的方法与前面相同。

　有了对数0.0005和0.0001对应的真数值，就可以计算出从0.0001，0.0002，0.0003，… 0.9999这9999个对数对应的真数值了，这9999个对数构成的反对数表可以叫四级反对数表。有四级反对数表应该就够了。要计算编制包含99999个对数的五级反对数表不是做不到，而是有没有必要，值不值得做。

　　编制时要先完成一级反对数表，然后再扩充到二级反对数表、三级反对数表、四级反对数表，不要用很小的对数累乘得到大的对数，以避免误差累积增大。

　　这样计算出的反对数表非常齐整，而且精确度有充分保证。

　　扩充计算对数表只用两数相乘，不用除法。我觉得乘法比除法简单，工作量小。比如两个有10位有效数字的数相乘，会得到一个大约有20位的数字，但我们只要10位有效数字，后面的那些位数都要舍去，既然不需要，为什么要乘出来？所以在列竖式相乘时，那些注定不会加到前12位的数字，主要是乘数的后几位与被乘数的后几位相乘的数字，根本就别乘，直接画0补位，只要前12位，多出的两位用于四舍五入，故而乘法可以减少计算量。

　　在编制反对数表过程中已经可以多找人手分摊工作量了。以前在书上看到过去有“制表工人”一说，应该是指专门从事计算制表的工作人员，如果是职业熟练工人，那应该会掌握很多计算技巧，计算速度也会快过常人，以我估计的计算量，如果有几十人同时工作，两三周做出反对数表应该没问题。

第四步，计算给定真数的对数值，编制常用对数表

在有了反对数表之后，再计算编制常用对数表就好办了，而且精确度有保证。方法就是“线性内插法”。以求2的对数为例，在反对数表里可以查到，对数0.3010对应的真数是1.9998618696，对数0.3011对应的真数是2.0003224078，那就在0.3010和0.3011之间做线性内插，求2的对数值，由于1.9998618696与2.0003224078的间距非常微小，所以得到的2的对数值也必是非常精准的。

　　从1.001～9.999之间的所有数都可以用这种“线性内插”法算出，用这8999个数就可以编制出一个完整的常用对数表，而且精度极佳，只不过要计算8999个数据，计算量颇大。

　　如果先算出那些质数（即素数）的对数，合数的对数由其质因子的对数相加而得到，计算量就可以大幅减少。

　　10000以内的质数仅有1229个，而且那些较大的质数，其对数可以用两对数平均值算出，例如8663是个素数，在算出8662和8664这两个数的对数后，8663的对数就是8662和8664这两个数的对数的平均值。平均值计算实际也是“线性内插”，但要简单得多，真正需要用比较麻烦的“线性内插”计算的质数只有几百个，合数的对数由其几个质因子的对数相加得到，这种制表方法计算量要少一些，但精度也要稍逊一些。总的来说，编制对数表要比反对数表计算量要少一些。

　　编制八位常用对数表和反对数表，计算量巨大，个人很难独力完成，如果有几十个人分工合作，一两个月制出常用对数表和反对数表，应该不算什么大问题。

　　计算编制常用对数表的工作也一样可以找多人分担，以加快速度。

　　对数函数不是直线函数，做线性内插必会有误差，误差大小决定于插值区间大小，区间越小，误差也越小。若想要更精确的对数表，我认为应该多增加算几个基础对数，尽量减小插值区间。第二组基础对数值必须进行检验，消除误差。

上面就是我对常用对数表计算方法的思考。时隔几百年，十七世纪的常用对数表究竟是不是这样算出来的，有没有更好的方法就不知道了。以我的看法，本文叙述的方法已经足够简单精确了，没有技术障碍，若组织好了，即便是一些中学生也能完成这样的计算编。

下面是我的文章

读了“事理环境论”先生的博文，我也受益匪浅。于是化了一个星期，用纸笔、计算器、电脑，按该文中所说的方法，演算一通。加深了理解，发现了一些问题，改进了一些方法，并编出了一部份连续的八位常用对数表，值得整理成文。

首先，我认为编制任何数表，必须符合以下条件：

1 理论正确 2 方法可行 3 保证一定精度 4 工作量要尽量小

“事理环境论”先生提出的编制常用对数表的方法，经试算，我认为理论正确、方法可行，并有一定新意，也可以保证一定精度。用“三级反对数表”可编七位或八位常用对数表。

至于工作量问题，全靠内插来完成全表，不是办不到，但工作量太大。如果先内插出质数的对数，这样编连续的合数就方便得多了。但要编合数的对数，也先要作质因数分解才行，这又有一定麻烦。真是难以两全。总之，这些仅仅是对“怎样编常用对数表”的方法的看法，各有千秋，议论一下而已。反正又不要我们正式的去编表。但古洋人当时到底是如何编常用对数表的，我仍然不知。

我好像堂•吉诃德一样，无事在为古洋人操心。我操起现代计算工具，代替手算，与数字大战。说是在搞学术罢，水平太低谈不上。我只是在低水平上做做我的功课，时间就过得快一些，生活就不太空虚。当我有所发现、有所前进的时候，非常高兴。老伴看到我瞎忙，知道我内心平静，她也非常高兴。我为什么不为此而瞎忙呢！

下面按原文中的步骤，作具体计算。当作做一道数学题罢。

　第一步、计算第一组基础对数

这组基础的对数值是：1∕2， 1∕4， 1∕8， 1∕16， 1∕32， 1∕64， 1∕128， 1∕256， 1∕512， 1∕1024， 1∕2048， 1∕4096， 1∕8192共13个。

从√10开始，连续开平方，算出它们的真数。

表一第一组基础对数表

10的开？次方＝最基础对数最基础真数

对数　真数　

3/4=0.75 5.62341325190349

1/2=0.5 A=3.16227766016838

1/4=0.25 B=1.77827941003892

1/8=0.125 C=1.33352143216332

1/16=0.0625 D=1.15478198468946

1/32=0.03125 E=1.07460782832132

1/64=0.015625 F=1.03663292843770

1/128=0.0078125 G=1.01815172171818

1/256=0.00390625 H=1.00903504484145

1/512=0.001953125 I=1.00450736425446

1/1024=0.0009765625 J=1.00225114829291

1/2048=0.00048828125 K=1.00112494139988

1/4096=0.000244140625 L=1.00056231260221

1/8192=0.0001220703125 M=1.00028111678778

1/16384=0.00006103515625 1.00014054851695

我加进二个对数为0.75与对数为1/16384的真数，以作备用。这张表里的对数与真数，是最原始的。取小数后13位，误差在14位上小于5。当然，我是靠电脑算的。但如果用手算，一次次开平方还是可行的，谁要你编对数表呢？在十七世纪只能手工开平方了。

但是，读到后面，你就可以发现，其实这张表是完全可以不要的。不必开方、开方、开方，只要利用“对数1的真数是10”的简单原理就可以直接算出“第二组基础对数”。你信不信？

第二步、计算第二组基础对数

这第二组基础对数值是：0.5， 0.1， 0.05， 0.01， 0.005， 0.001， 0.0005, 0.0001共八个。要算出它们的真数。

一计算对数为0.1、0.01、0.001、0.0001的真数

1 计算对数为0.1 时的真数Z 。0.1=819.2∕8192，介于819∕8192与820∕8192之间。

分二步走：先算819∕8192与820∕8192的对数与真数，再内插得到819.2∕8192＝0.1的真数。

第一步：

819∕8192，就是对数T1＝ 512∕8192 + 256∕8192 + 32∕8192 + 16∕8192 + 2∕8192 + 1∕8192

　　　　＝ 1∕16 + 1∕32 + 1∕256 + 1∕512 + 1∕4096 + 1∕8192

＝ 0.9997 5585 9375

819∕8192的真数 Z1 ＝ D×E×H×I×L×M ＝ 1.2588 5464 2716 78

820∕8192，就是对数T2＝ 512∕8192 + 256∕8192 + 32∕8192 + 16∕8192 + 4∕8192

　　　　＝ 1∕16 +1∕32 +1∕256 +1∕512 +1∕2048

＝ 0.1000 9765 6250

820∕8192的真数 Z2 ＝ D×E×H×I×K＝ 1.2592 0852 7890 22

第二步：

线性内插，求对数为819.2∕8192=0.1 时的真数Z 。内插简单，但还是说一下公式。

设：已知第一个对数T1、真数Z1、第二个对数T2、真数Z2，要计算区间内对数T的真数Z。

所求点离T1为d t、离Z1为d z 。

令 ΔT＝T2－T1、 ΔZ＝Z2－Z1、d t＝T－T1、Z＝Z1＋d z。

由于ΔZ∕ΔT＝dz∕dt 得

dz＝(ΔZ∕ΔT) dt ＝(ΔZ∕ΔT) (T－T1)

Z＝Z1＋dz＝Z1＋(ΔZ∕ΔT) (T－T1) 代入数据得：

T1＝819∕8192 = 0.0999 7558 5937 Z1＝ 0.9997 5585 9375

T2＝820∕8192 = 0.1000 9765 6250 Z2＝0.1000 9765 6250

(ΔZ∕ΔT)＝2.8990273390191

T＝0.1 d t＝T－T1＝0.1－0.0999 7558 5937 ＝0.0000244140623

Z＝0.9997 5585 9375＋2.8990273390191 ×0.0000244140623 ＝1.2589 2541 9751 5

2 同理，对数为0.01、0.001、0.0001的真数，也在“第一组基础对数表”中找出对应的真数后，相乘而得，不作烦顼细草了。只列内插结果如下：

对数真数

81∕8192 = 0.0098 8769 53125 1.0230 2841 2031 49

81.92∕8192=0.01 Z＝？内插得 Z＝1.0232 9299 5255 6

82∕8192 = 0.0100 0976 5625 1.0233 1600 2492 48

8∕8192 = 0.0009 7656 25000 1.0022 5114 8293

8.192∕8192=0.001 Z＝？内插得 Z＝1.0023 0524 4220 6

9∕8192 =0.0010 9863 28125 1.0025 3289 7916

0.5∕8192 =0.0000 6103 51563 1.0001 4054 8516 95

0.8192∕8192=0.0001 Z＝？内插得 Z＝1.0002 3028 73010

1∕8192 = 0.0001 2207 03125 1.0002 8111 6787 78

二对数为0.1、0.01、0.001、0.0001的各个真数的误差情况

0.1、0.01、0.001、0.0001 的真数的精确性，是非常重要的。因为要用它们作起算数，靠它们一次次对数累加、真数累乘，递推下去，才能得到完整的对数表。但非常遗憾的是，非线性的对数函数，却靠线性内插来求得这些真数，就会有误差，而且不小。以下是内插结果与正确值的比较：

基础对数由内插法算得的真数正确值(由计算器查得) 真数误差13位上

0.1 1.25892541 97515 1.25892541 17942 79573

0.01 1.02329299 52556 1.02329299 22808 29748

0.001 1.0023052 442206 1.0023052 380779 61427

0.0001 1.00023028 73010 1.00023028 50208 22802

可见它们只正确到8位。用它们再去求其他对数的真数，况且又要用线性内插，岂能保证精度。“事理环境论”先生看到了这一点，所以他说：

“如担心多次相乘以及做线性内插时导致误差积累增大，可以把对数0.1的真数值累乘计算5次方，看与0.5的真数值能否对得上，如有误差，用开方公式做修正，消除误差。由于这样的计算本身已经很精确，误差修正的工作不会太费事。”

三近似真数的微分修正法

怎样修正误差很大的真数呢？“事理环境论”先生利用0.1的真数A的5次方，并用开方公式做修正”。我以为不必。在作了许多试凑之后，我意外的发现了一个利用微分公式的逐渐趋近法。用0.1的真数A的10次方作控制，不要盲目的去凑，而要利用不符值去修正，

1 设0.1的近似真数为A＝1.2589254197515，误差为dA，注意，它的10次方就是1的真数值B，B＝10，绝对正确。如果A连乘10次后，结果与10相等，说明A很正确。如果不等，相差Δ，就可利用Δ来改正A，不要盲目的去修正。原理：

二项式展开：(A＋dA)¹⁰ = A ¹⁰ ＋10A ⁹ dA ＋45A ⁸ dA ² ＋120 A ⁷ dA³＋ … ＋dA¹⁰ ＝B＝10

由于dA极小，dA的高次项可省掉，所以可简化为：

A ¹⁰ ＋10A ⁹ dA＝10

得不符值 Δ＝(A¹⁰－10)

所以 dA＝Δ∕(10A⁹) ＝ (A¹⁰－B) ∕(10 A⁹) … (1)

A＝A－dA … (2)

即第二次A＝第一次A－dA 再按前述公式循环计算，当Δ→0时，就得到误差极小的真值A。我原先不知道收敛的速度，以为可能要趋很多次才行。一试，收敛极快，第二次就搞定，真是开心。

请看0.1对数的近似真数1.2589254197515，用趋近法怎样求得正确值的计算过程：

趋近次数	第一次	第二次
近似的A=	1.2589254197515	1.2589254117942
A ²	1.5848932124965	1.5848931924612
A ⁴	2.5118864950175	2.5118864315098
A ⁵	3.1622777601080	3.1622776601688
A ⁹	7.9432827991092	7.9432823472447
A ¹⁰	10.0000006320734	10.0000000000026
已知 B	10.0000000000000	10.0000000000000
Δ=A ¹⁰－10	0.0000006320734	0.0000000000026
dA=Δ∕10∕A ⁹	0.0000000079573	0.0000000000000
A=A-dA	1.2589254117942	1.2589254117942

收敛极快，是因为近似值精度己经很高了。至此，0.1的真数为1.2589254117942，放心了。

2 对数为0.01的近似真数1.0232 9299 5255 6怎样修正？

0.1的真数现在刚刚出笼＝1.2589 2541 17942，就马上用它作控制数B，有：

1.0232 9299 5255 6连乘10次＝1.2589 2541 17942＝B为条件，作趋近计算。

用电子表格计算：

近似的A 第一次 1.0232929952556 第二次免

A*A*A*A*A 1.1220184706112

A*A*A*A*A*A*A*A*A＝K 1.2302688030013

A*A*A*A*A*A*A*A*A*A＝S 1.2589254483928

已知 B 1.2589254117942

误差Δ=S－B 0.0000000365986

改正值dA=Δ∕10∕K 0.0000000029748

A＝A－dA 1.0232929922808

至此，0.01的真数为1.0232929922808。我们现在有现成的计算器可查，知道它与正确值相同了，所以就不再多趋近一次了。但古人在正式编表时，一定再要趋近一次，直到Δ接近0为止。

3 对数为0.001的近似真数1.0023052 442206怎样修正？

0.01的真数现在刚刚算出，＝1.0232929922808，就马上用它作控制数B，有：

1.0023052 442206连乘10次＝1.0232929922808＝B为条件，作趋近计算。也用(1)、(2)式计算：

近似的A 第一次 1.0023052442206 第二次免

A*A*A*A*A 1.0115794852576

A*A*A*A*A*A*A*A*A＝K 1.0209395400198

A*A*A*A*A*A*A*A*A*A＝S 1.0232930549940

已知 B 1.0232929922808

误差Δ=S－B 0.0000000627132

改正值dA=Δ∕10∕K 0.0000000061427

A＝A－dA 1.0023052380779

至此，0.001的真数为1.0023052380779。它又作为0.0001真数的控制数B 。

4 对数为0.0001的近似真数1.0002302873010怎样修正？同理，见下表计算：

近似的A 第一次 1.0002302873010 第二次免

A*A*A*A*A 1.0011519669496

A*A*A*A*A*A*A*A*A＝K 1.0020744958959

A*A*A*A*A*A*A*A*A*A＝S 1.0023052609270

已知 B 1.0023052380779

误差Δ=S－B 0.0000000228491

改正值dA=Δ∕10∕K 0.0000000022802

A＝A－dA 1.0002302850208

至此，0.0001的真数为1.0002302850208。但古人要再趋近一次，直到Δ接近0为止。最后得：

表二第二组基础对数

对数真数

0.1 1.2589 2541 17942

0.01 1.0232 9299 22808

0.001 1.0023 0523 80779

0.0001 1.0002 3028 50208

5 计算至此，我不禁想到，既然这些真数最后都得渐近修正，那又何必先通过“表一”去内插，又再去渐近修正呢？干脆直接假设一个近似数去渐近修正，不是结果相同吗？假设的近似数误差要大一些，趋近次数要多一些，这又何妨。这样，“表一”就完全可以不要。

例如取0.1的真数为1.2 (可用图解得到) ，作为第一近似值，也只要作7次趋近。第6次与第7次就完全相同：趋近情况：

1.2 1.2738066994678 1.2581146566622 1.25892776669423

1.2589254118140 1.2589254117942 1.2589254117942

其他的情况如下表：

对数设近似真数已知控制数B 趋近次数

0.1 1.2 10 7

0.01 1.01 1.2589 2541 17942 15

0.001 1.001 1.0232929922808 14

0.0001 1.0001 1.0023052380779 14

至于0.05 、0.005、 0.0005 的真数，更不必算了。

由此可见，编算一本常用对数表，真正的起算数，只需两个：对数1及其真数10。说起来不可思议，但这是真的。

第三步、计算编制反对数表

“反对数表”共分三级。

1 一级反对数表的计算

有了基础对数后，就能算“一级反对数表”了。它的起算值只有二对：

0.1 1.2589254117942

1 10

要计算出0.1，0.2，0.3，….0.9这9个对数所对应的真数。计算的方法即对数相加，真数相乘。

先用A=1.2589254117942自乘，得1.2589254117942×1.2589254117942＝1.5848931924611，它就是0.2 (0.1＋0.1) 的真数A*A＝A Λ2。一直累乘到1.0时，得相应真数为AΛ10＝10。如果与已知值不符，用测量学术语讲，这叫有闭合差。为了提高精度，要作闭合差配赋，配赋也用线性内插，算出改正数，改正后的数才是最终结果。但由于这次起算值精度极高，所以第一次计算，闭合差就极小，仅在第13位上有2的误差，所以一次算完。

表三一级反对数表

一级对数算得真数算法正确值 (由计算器查得)

0.1 1.2589254117942 已知 A 1.2589254117942

0.2 1.5848931924611 A*A 1.5848931924611

0.3 1.9952623149689 A*A*A 1.9952623149689

0.4 2.5118864315096 A*A*A*A 2.5118864315096

0.5 3.1622776601684 A*A*A*A*A＝已知 B ？ 3.1622776601684

0.6 3.9810717055350 B*A 3.9810717055350

0.7 5.0118723362728 B*A*A 5.0118723362728

0.8 6.3095734448020 B*A*A*A 6.3095734448020

0.9 7.9432823472430 B*A*A*A*A 7.9432823472429

1.0 10.0000000000002 B*A*A*A*A＝已知 C ？ 10.0000000000000

2 二级反对数表的计算

有了一级反对数表后，才能算二级反对数表。二级反对数表的起算数为：0.01、0.1、0.2、 … 0.9 、1.0 相应的真数1.0232929922808、1.2589254117942 … 等等。要一段一段的编，即0.01→0.1、0.1 → 0.2、 0.2 → 0.3 … 0.8 → 0.9 、0.9 →1.0 共十段。每一段首尾都是已知值。算到最后，就与已知尾数对比。如有不符值，要作闭合差配赋，算出改正数，改正后的数才是最终结果。

以0.01→0.10为例，由0.01的1.0232929922808起算，算得0.02的1.0232929922808×1.0232929922808＝1.0471285480510、…… 一直连乘到0.10的1.2589254117947 ，它与已知的1.2589254117942 不符，不符值1.2589254117947－1.2589254117942＝5 ( 第十三位上 )，就平均分摊改正。改正后与正确值相比，差额只有1、2、3的误差，说明精度良好。

最后0.9 →1.0一段，不符值最大为46，经配赋改正后，残留误差最大3。

表四二级反对数表

二级对数真数 Z′ 改正数改正后真数 Z 误差

0.01 1.0232929922808 0 1.0232929922808 0

0.02 1.0471285480510 -1 1.0471285480509 0

0.03 1.0715193052378 -1 1.0715193052377 1

0.04 1.0964781961434 -2 1.0964781961432 0

0.05 1.1220184543022 -2 1.1220184543020 0

0.06 1.1481536214972 -3 1.1481536214969 0

0.07 1.1748975549399 -3 1.1748975549396 1

0.08 1.2022644346178 -4 1.2022644346174 0

0.09 1.2302687708129 -5 1.2302687708124 0

0.10 1.2589254117947 -5 1.2589254117942 0

二级对数真数 Z′ 改正数改正后真数 Z 误差

0.10 1.2589254117942 0 1.2589254117942 0

0.11 1.2882495516932 -1 1.2882495516931 0

0.12 1.3182567385566 -2 1.3182567385564 0

0.13 1.3489628825919 -3 1.3489628825916 0

0.14 1.3803842646032 -4 1.3803842646028 -1

0.15 1.4125375446231 -5 1.4125375446226 -2

0.16 1.4454397707464 -6 1.4454397707458 -1

0.17 1.4791083881687 -7 1.4791083881680 -2

0.18 1.5135612484368 -7 1.5135612484361 -1

0.19 1.5488166189132 -8 1.5488166189124 -1

0.20 1.5848931924619 -8 1.5848931924611 0

二级对数真数 Z′ 改正数改正后真数 Z 误差

0.20 1.5848931924611 0 1.5848931924611 0

0.21 1.6218100973590 -1 1.6218100973589 0

0.22 1.6595869074377 -2 1.6595869074375 -1

0.23 1.6982436524620 -3 1.6982436524617 0

0.24 1.7378008287497 -4 1.7378008287493 -1

0.25 1.7782794100393 -5 1.7782794100388 -1

0.26 1.8197008586105 -6 1.8197008586099 -1

0.27 1.8620871366635 -7 1.8620871366628 -1

0.28 1.9054607179639 -8 1.9054607179631 -1

0.29 1.9498445997588 -9 1.9498445997579 -1

0.30 1.9952623149698 -9 1.9952623149689 0

二级对数真数 Z′ 改正数改正后真数 Z 误差

0.30 1.9952623149689 0 1.9952623149689 0

0.31 2.0417379446696 -1 2.0417379446695 0

0.32 2.0892961308542 -2 2.0892961308540 0

0.33 2.1379620895025 -3 2.1379620895022 0

0.34 2.1877616239500 -4 2.1877616239496 0

0.35 2.2387211385689 -6 2.2387211385683 0

0.36 2.2908676527684 -7 2.2908676527677 - 1

0.37 2.3442288153207 -8 2.3442288153199 0

0.38 2.3988329190204 -9 2.3988329190195 0

0.39 2.4547089156860 -10 2.4547089156850 0

0.40 2.5118864315107 -11 2.5118864315096 0

二级对数真数 Z′ 改正数改正后真数 Z 误差

0.40 2.5118864315096 0 2.5118864315096 0

0.41 2.5703957827690 -1 2.5703957827689 0

0.42 2.6302679918956 -3 2.6302679918953 -1

0.43 2.6915348039273 -4 2.6915348039269 0

0.44 2.7542287033387 -6 2.7542287033381 -1

0.45 2.8183829312651 -7 2.8183829312644 -1

0.46 2.8840315031274 -8 2.8840315031266 0

0.47 2.9512092266673 -10 2.9512092266663 - 1

0.48 3.0199517204031 -11 3.0199517204020 0

0.49 3.1622776601698 - 14 3.1622776601684 0

二级对数真数 Z′ 改正数改正后真数 Z 误差

0.50 3.1622776601684 0 3.1622776601684 0

0.51 3.2359365692964 -2 3.2359365692962 -1

0.52 3.3113112148262 -4 3.3113112148258 -1

0.53 3.3884415613925 -5 3.3884415613920 0

0.54 3.4673685045259 -7 3.4673685045252 -1

0.55 3.5481338923366 -9 3.5481338923357 -1

0.56 3.6307805477020 -11 3.6307805477009 -1

0.57 3.7153522909729 -13 3.7153522909716 -1

0.58 3.8018939632070 -14 3.8018939632056 0

0.59 3.8904514499444 -16 3.8904514499428 0

0.60 3.9810717055368 -18 3.9810717055350 0

二级对数真数 Z′ 改正数改正后真数 Z 误差

0.60 3.9810717055350 0 3.9810717055350 0

0.61 4.0738027780414 -2 4.0738027780412 1

0.62 4.1686938347038 -4 4.1686938347034 0

0.63 4.2657951880166 -7 4.2657951880159 0

0.64 4.3651583224025 -11 4.3651583224014 -1

0.65 4.4668359215107 -11 4.4668359215096 0

0.66 4.5708818961501 -13 4.5708818961488 0

0.67 4.6773514128735 -15 4.6773514128720 0

0.68 4.7863009232282 -18 4.7863009232264 0

0.69 4.8977881936865 -20 4.8977881936845 0

0.70 5.0118723362750 -22 5.0118723362728 0

二级对数真数 Z′ 改正数改正后真数 Z 误差

0.70 5.0118723362728 0 5.0118723362728 0

0.71 5.1286138399140 -3 5 .1286138399137 1

0.72 5.2480746024983 -6 5.2480746024977 0

0.73 5.3703179637033 -9 5.3703179637024 -1

0.74 5.4954087385773 -12 5.4954087385761 -1

0.75 5.6234132519048 -15 5.6234132519033 -2

0.76 5.7543993733732 -18 5.7543993733714 -2

0.77 5.8884365535578 -21 5.8884365535557 -2

0.78 6.0255958607458 -24 6.0255958607434 -2

0.79 6.1659500186174 -27 6.1659500186147 -1

0.80 6.3095734448049 -30 6.3095734448019 0

二级对数真数 Z′ 改正数改正后真数 Z 误差

0.80 6.3095734448019 0 6.3095734448019 0

0.81 6.4565422903470 -4 6.4565422903466 0

0.82 6.6069344800767 -7 6.6069344800760 0

0.83 6.7608297539208 -11 6.7608297539197 -2

0.85 7.0794578438431 -18 7.0794578438413 -1

0.86 7.2443596007520 -22 7.2443596007498 -1

0.87 7.4131024130116 -26 7.4131024130090 -2

0.88 7.5857757502947 -30 7.5857757502917 -1

0.89 7.7624711662902 -33 7.7624711662869 0

0.90 7.9432823472465 -37 7.9432823472428 0

二级对数真数 Z′ 改正数改正后真数 Z 误差

0.90 7.9432823472428 0 7.9432823472428 0

0.91 8.1283051616414 -5 8.1283051616409 -1

0.92 8.3176377110275 -10 8.3176377110265 -2

0.93 8.5113803820250 -14 8.5113803820236 -2

0.94 8.7096358995625 -18 8.7096358995607 -1

0.95 8.9125093813395 -23 8.9125093813372 -3

0.96 9.1201083935616 -28 9.1201083935588 -3

0.97 9.3325430079729 -32 9.3325430079697 -2

0.98 9.5499258602179 -37 9.5499258602142 -2

0.99 9.7723722095622 -41 9.7723722095581 0

1.00 10.0000000000046 -46 10.0000000000000 0

3 三级反对数表的计算

“二级反对数表”提供0.01至0.99共99个数，加上0.001与1.0的基础真、对数，用来计算三级反对数表。“三级反对数表”由0.001到0.999 组成，也是分段编算，共100段。由于0.001的真数1.0023052380779很准，所以各段闭合差都很小。现录其中的三段于下：

表五部份三级反对数表

三级对数真数 Z′ 改正数改正后真数 Z 误差

0.300 1.9952623149689 0 1.9952623149689 0

0.301 1.9998618696328 0 1.9998618696327 0

0.302 2.0044720273652 0 2.0044720273652 0

0.303 2.0090928126087 0 2.0090928126087 0

0.304 2.0137242498624 0 2.0137242498624 0

0.305 2.0183663636816 0 2.0183663636816 0

0.306 2.0230191786783 0 2.0230191786783 0

0.307 2.0276827195213 0 2.0276827195213 0

0.308 2.0323570109362 0 2.0323570109362 0

0.309 2.0370420777057 0 2 .0370420777057 0

0.310 2.0417379446696 1 2.0417379446695 1

三级对数真数 Z′ 改正数改正后真数 Z 误差

0.490 3.0902954325136 0 3.0902954325136 0

0.491 3.0974192992166 0 3.0974192992166 0

0.492 3.1045595881284 0 3.1045595881284 0

0.493 3.1117163371060 0 3.1117163371060 0

0.494 3.1188895840940 0 3.1188895840940 0

0.495 3.1260793671240 0 3 .1260793671240 0

0.496 3.1332857243156 0 3.1332857243156 0

0.497 3.1405086938762 0 3.1405086938762 0

0.498 3.1477483141013 0 3.1477483141013 0

0.499 3.1550046233747 0 3.1550046233747 0

0.500 3.1622776601684 0 3.1622776601684 0

三级对数真数 Z′ 改正数改正后真数 Z 误差

0.500 3.1622776601684 0 3.1622776601684 0

0.501 3.1695674630435 0 3.1695674630435 0

0.502 3.1768740706498 0 3.1768740706498 0

0.503 3.1841975217262 0 3.1841975217262 0

0.504 3.1915378551008 0 3.1915378551008 0

0.505 3.1988951096914 0 3.1988951096914 0

0.506 3.2062693245055 0 3.2062693245055 0

0.507 3.2136605386404 0 3.2136605386404 0

0.508 3.2210687912835 0 3.2210687912835 0

0.509 3.2284941217127 0 3.2284941217127 0

0.510 3.2359365692963 1 3.2359365592962 1

第四步，计算给定真数的对数值，编制常用对数表

真正用来编制常用对数表的，主要靠“三级反对数表”。方法还是内插。内插公式：

设：每段段首的对数为T1、段首的真数为Z1、段尾的对数为T2、段尾的真数为Z2，要计算区间内真数Z的对数T。

所求点离Z1为d z、所求点离T1为d t ，

令ΔT＝T2－T1、 ΔZ＝Z2－Z1、 d z＝Z－Z1、 T＝T1＋d t。

由于ΔT∕ΔZ＝d t∕d z 得

d t ＝ (ΔT∕ΔZ) d z ＝(ΔT∕ΔZ) (Z－Z1)

T ＝ T1＋d t ＝ T1 ＋(ΔT∕ΔZ) (Z－Z1)

现在计算0.3→0.4区间内的一批连续数表。

T1＝0.301 Z1＝1.9998618696327

T2＝0.302 Z2＝2.0044720273652

ΔT＝0.001 ΔZ＝0.00461015774 ΔT∕ΔZ＝0.216912318

用电子表格帮忙计算。得：

部份常用八位对数表

真数Z dz＝Z-Z1 dt＝(ΔT／ΔZ)(Z-Z1) 对数T＝T1＋dt 查电脑LOG Z 第8位误差

1.9999990 0.00013713 0.00002975 0.30102975 0.30102978 -3

1.9999991 0.00013723 0.00002977 0.30102977 0.30102980 -3

1.9999992 0.00013733 0.00002979 0.30102979 0.30102982 -3

1.9999993 0.00013743 0.00002981 0.30102981 0.30102984 -3

1.9999994 0.00013753 0.00002983 0.30102983 0.30102987 -4

1.9999995 0.00013763 0.00002985 0.30102985 0.30102989 -4

1.9999996 0.00013773 0.00002988 0.30102988 0.30102991 -3

1.9999997 0.00013783 0.00002990 0.30102990 0.30102993 -3

1.9999998 0.00013793 0.00002992 0.30102992 0.30102995 -3

1.9999999 0.00013803 0.00002994 0.30102994 0.30102997 -3

2.0000000 0.00013813 0.00002996 0.30102996 0.30103000 -4

2.0000001 0.00013823 0.00002998 0.30102998 0.30103002 -4

2.0000002 0.00013833 0.00003001 0.30103001 0.30103004 -3

2.0000003 0.00013843 0.00003003 0.30103003 0.30103006 -3

2.0000004 0.00013853 0.00003005 0.30103005 0.30103008 -3

2.0000005 0.00013863 0.00003007 0.30103007 0.30103010 -3

2.0000006 0.00013873 0.00003009 0.30103009 0.30103013 -4

2.0000007 0.00013883 0.00003011 0.30103011 0.30103015 -4

2.0000008 0.00013893 0.00003014 0.30103014 0.30103017 -3

2.0000009 0.00013903 0.00003016 0.30103016 0.30103019 -3

2.0000010 0.00013913 0.00003018 0.30103018 0.30103021 -3

2.0000011 0.00013923 0.00003020 0.30103020 0.30103023 -3

2.0000012 0.00013933 0.00003022 0.30103022 0.30103026 -4

2.0000013 0.00013943 0.00003024 0.30103024 0.30103028 -4

2.0000014 0.00013953 0.00003027 0.30103027 0.30103030 -3

2.0000015 0.00013963 0.00003029 0.30103029 0.30103032 -3

2.0000016 0.00013973 0.00003031 0.30103031 0.30103034 -3

2.0000017 0.00013983 0.00003033 0.30103033 0.30103036 -3

2.0000018 0.00013993 0.00003035 0.30103035 0.30103039 - 4

2.0000019 0.00014003 0.00003037 0.30103037 0.30103041 -4

2.0000020 0.00014013 0.00003040 0.30103040 0.30103043 -3

2.0000021 0.00014023 0.00003042 0.30103042 0.30103045 -3

2.0000022 0.00014033 0.00003044 0.30103044 0.30103047 -3

2.0000023 0.00014043 0.00003046 0.30103046 0.30103050 -4

2.0000024 0.00014053 0.00003048 0.30103048 0.30103052 -4

可见，用“三级反对数表”编八位常用对数表时，尾上误差为3或4，所以有把握可编七位常用对数表。

“三级反对数表”有100段，可以分配给100个人编制各自的对数表。这是一个优点。

但也遇到了一些麻烦，那就是数据分散混乱。如本段0.301至0.302区间内，真数1.9998618696327 至2.0044720273652。凡2字打头的，个位数只能编2、两位数无、三位数无、四位数只能编2000 2001 2002 2003 2004。而2005 2006等就不行。连续数可编 20044700 20044701 20044702 20044703 … 20044720 ，但20044721又不行了。

总之，算出的数比较乱。要想得到一大批连续的数，不容易。这样分散的数，最后要汇成连续的数字流，非得再做一个排序工作不可。编表谈何容易。

附：

经我演算，认为利用“一级反对数表”就可编四位用表。保守一点编三位。见下表：

真数Z dz＝Z-Z1 dt＝(ΔT／ΔZ)(Z-Z1) 对数T＝T1＋dt 电脑LOG Z 第4位误差

1.996 0.00073769 0.00014279 0.30014 0.30016 0

1.997 0.00173769 0.00033635 0.30034 0.30038 0

1.998 0.00273769 0.00052992 0.30053 0.30060 -1

1.999 0.00373769 0.00072348 0.30072 0.30081 -1

2 0.00473769 0.00091705 0.30092 0.30103 -1

2.1 0.10473769 0.02027348 0.32027 0.32222 -19

2.11 0.11473769 0.02220912 0.32221 0.32428 -21

2.222 0.22673769 0.04388833 0.34389 0.34674 -29

2.2222 0.22693769 0.04392704 0.34393 0.34678 -29

2.333333 0.33807069 0.06543842 0.36544 0.36798 -25

2.3333333 0.33807099 0.06543848 0.36544 0.36798 -25

2.33333333 0.33807102 0.06543849 0.36544 0.36798 -25

2.5 0.50473769 0.09769921 0.39770 0.39794 -24

3 1.00473769 0.19448137 0.49448 0.47712 174

表中特地令Z＝3，超出区间，看误差有多大。结果第二位差1.7，不行。不能外插。

还试算了用“二级反对数表” 编表，保守一点，可编五位用表。这里就不再详录了。

我算了一个多星期，到最后才醒悟到：

编算一本常用对数表，真正的起算数，只需两个：对数1及其真数10。说起来不可思议，但这是真的。

感谢“事理环境论”先生。

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