4N+1型质数分解为A²+B²的“列表凑数法”(给350年前的洋人参考)

　 　 写完了《我对“费马质数定理”的几点理解》一文后，很高兴。第二天，就很安心的跟着老伴，乘地铁探望她在广州的弟弟。小舅子家的粉蒸肉很好吃。晚上回家后，还与老伴一起磨了红辣椒，装瓶。睡觉时忽然又想起，用开方与凑整数的原理靠电算程序来分解4N+1=A²+B² ，总不对劲。因为在17世纪时，手工开方又要求得整数是多么麻烦费时，要大量验证此定理，几乎是不可能的。就想，是不是还有其他计算方法呢。突然想起，该文中的(k²+k+m²) =N一式，不是可以绕开开方，用己知的Ｎ表示k与m的关系吗？它虽是一个不定方程，但简单。于是心算，用5、13来验证一下，觉得可以。由此又睡不安心了。第二天，就列表试算，哈哈可以了。

    由于4N+1是奇数，所以A、B两个数，必定为一奇一偶。设A为奇数2K+1，B为偶数2m，则A²+B²=(2 k +1)²+(2m)²=4 k ²+4 k +1+4m²=4(k ²+ k +m²)+1

而(k ²+ k +m²)是一个整数，令(k ²+ k +m²) =N ， 则A²+B²=4N+1

由Ｎ＝(k²+k+m²)＝ k (k+1) +m²出发，再由以下几步，求k、m、A、B：

1　 由p＝4N+1 反求N=(p-1)/4。如p=13，则N=(13-1)/4=3

2   列k (k+1)与m²两张表格如下

    K   k (k+1)   A=2k+1             m     m²   B=2m

    0     0         1                0     0     0

    1     2         3                1     1     2

    2     6         5                2     4     4

    3    12         7                3     9     6

    4    20         9                4    16     8

    5    30        11                5    25    10

    6    42        13                6    36    12

    7    56        15                7    49    14

    8    72        17                8    64    16

    9    90        19                9    81    18 

   10   110        21               10   100    20

   11   132        23               11   121    22

   12   156        25               12   144    24

   13   182        27               13   169    26

   14   210        29               14   196    28

   15   240        31               15   225    30

   16   272        33               16   256    32

   17   306        35               17   289    34

   18   342        37               18   324    36

   19   380        39               19   361    38

   20   420        41               20   400    40

   21   462        43               21   441    42 

   22   506        45               22   484    44

   23   552        47               23   529    46

   24   600        49               24   576    48 

   25   650        51               25   625    50 

   这两张表可分解5000以内的质数。

3   在k (k+1)与m²两列中，找到k (k+1)=2、m²=1，可满足N=3=2+1

4   k (k+1)=2时A=2k+1=3 、在m²=1时B=2m=2

5   A²=3²    B²=2² 

6   A² + B²=3² +2² =9+4=13 此13，即p＝4n+1=13，费马质数定理成立。

    整个求解过程，只是查表及加法。完全不用开方。当P=4N+1数值很大超过5000时，只要把k (k+1)  、 m²两张表扩充就可以了，当然，其中需要凑Ｎ＝k (k+1) +m² ，但仅是加法而己。当无法凑合时，就是无解。例如非质数的4n+1=21，N=5，这时就找不到k (k+1) +m²=5，即无解。

    以下是一批算例，凡4n+1=质数时，仅有一组解。4n+1不是质数时，有时有解，有时无解，

还有其他算法吗。用同余式能解吗？真想不出了。凡是无力解决的，不要强求了。