我对“费马质数定理”的几点理解

 

    费马质数定理：形如4n+1的质数p可以写成两个整数的平方和，即P=4N+1=A²+B²

例如5=1²+2²、13=2²+3²、17=1²+4² 、36761=131²+140² 、8164841=2020²+2021²  等等

反之，形如4N+3的质数，就不能分解为两个数的平方和。如3、7… ≠  X²+Y²  等等。

附  4N+1 的质数  5  13  17  29  37  41  53  61  73  89  97  101  109  113  …

    4N+3 的质数  3   7  11  19  23  31  43  47  59  67  71   79   83  103  …

 

 

                   ※ 1   4N+1仅作为奇数时，4N+1=A²+B² 的证明

 

    首先，广义的讲，4N+1是奇数，可能是质数，也可能不是质数。且N越大，其质数越稀少。如果仅作奇数看，就很容易证明4N+1=A²+B²。

但由于4N+1是奇数，所以A、B两个数，必定为一奇一偶。设A为奇数2K+1，B为偶数2m，则

A²+B²=(2K+1)²+(2m)²=4K²+4K+1+4m²=4(K²+K+m²)+1

而(K²+K+m²)是一个整数，令(K²+K+m²) =N ， 则

A²+B²=4N+1

    将一个4N+1的奇数，分解为一奇一偶两个数平方的和，说来轻松，其实与分解质因数同样麻烦。若没有理论的解算公式，看来只能借助编程了。

 

               ※ 2   4N+1分解为一奇一偶两个数平方和的Visual Basic 程序

 

       程序                                           说    明

Private Sub Form_Click()                  以点点击鼠标启动

Form1.Width = 11520                     显示屏大小

Form1.Height = 15360                    显示屏大小

 cc = InputBox("输入4N+1=")             输入4N+1

 C = Sqr(cc)                            C=√(4N+1) 表示直角三角形斜边，即弦长。

 Z = Int(C) – 1                          最大循环次数

 i = 0                                  i是分解组数的计数

   For A = 1 To Z                       设A=1、2、3、4  … 即勾

    B = Sqr(cc - A * A)                   B=√(C²-A²)   即股

   If B = Int(B) Then i = i + 1: Print "  A= "; A; "   B= "; B; " C=";C

   Next A                此循环判别B是否整数？B是整数时，i计数且打印A、B、C   

 Print

Print "i="; i; "    4n+1="; cc   如果打印i=0 ，表示无解。

 Print "***** "

 Print

End Sub

 

 

                           ※ 3  分解结果及一些结论

 

    输入性质不同的4N+1值后，得以下结果。

 

第一部份：4N+1是质数，但C=√(4N+1)非整数，仅有一组解。构不成整数直角△。

   4N+1       A      B   C=√(4N+1)    A²     B²     A²+B²    图形特点 

     5        1      2      2.24       1       4        5    非整数直角△。

    13        2      3      3.61       4       9        13   非整数直角△。 

   101        1      10     10.05      1      100      101   非整数直角△。

  36761      131    140     191.73    17161  19600    36761  非整数直角△。

 

第二部份：4N+1非质数，但C=√(4N+1)是质数，也仅有一组解。且能构成整数直角△。

  4N+1     A    B   C=√(4N+1)    A²    B²    A²+B²    图形特点  

   25      3    4        5         9     16      25    整数直角△。

  169      5   12       13        25    144     169    整数直角△。

  1681     9   40       41        81    1600    1681   整数直角△。

 

第三部份：4N+1非质数，有一组、二组、或多组解。有构成整数直角△的可能

      4N+1     A        B   C=√(4N+1)     A²     B²    A²+B²    图形特点  

        45     3        6      6.71        9     36     45    非整数直角△。

      1737    21       36     41.677     441    1296    1737  非整数直角△。

     28561    65       156     169      4225   24336   28561  整数直角△。

     28561    119      120     169      14161   14400  28561  整数直角△。

 815730721   239     28560    28561       略    略     略    整数直角△。

 815730721  10764    26455    28561       略    略     略    整数直角△。

 815730721  10985    26364    28561       略    略     略    整数直角△。

 815730721  20111    20280    28561       略    略     略    整数直角△。

 

    28561为什么有2组表达式？815730721为什么有4组表达式？

费马说，“4n+1形的质数与它的平方都只能以一种方式表达为两个平方数之和；它的3次和4次方都只能以两种表达为两个平方数之和；5次和6次方都只能以3种方式表达为两个平方数之和，以此类推，直至无穷。

    28561=13⁴，正是质数13的4次方，所以有2组表达式。

    815730721=13⁸ ，正是质数13的8次方，所以有4组表达式。由此而推论：凡4+1是质数的几次方时，均可表示为整数直角△。

 

第四部份：4N+1非质数，但无解。即找不到A、B为一奇一偶的整数

N       4N+1    A     B      C=√(4N+1)   A²    B²    A²+B²   

5      21   可凑3   3.4641   4.5826       9    11.99    21   A、B非整解，不合题意

8      33                 同上，A、B非整解，不合题意

30     121                同上，A、B非整解，不合题意

9191  36765               同上，A、B非整解，不合题意

第四部份说明，并非所有的4N+1奇数，都可分解为两个奇偶整数平方的和，有时会无解。

  

    以上，我提供了一个把4N+1的数，分解为两个奇偶整数平方和的Visual Basic 程序。通过分解、分析，对 “费马质数定理” 有以下理解：

    1 一般而言4N+1能分解为两个奇偶整数平方的和，有时还会得到几组解，但不是绝

对的，有时就不可能分解。

    2 只有4N+1是质数时，才绝对的能分解为两个奇偶整数平方的和，且仅有一组解。所以费马只强调的是：4N+1是质数，并不泛指只要是4N+1就可以了。

    3 我还有小小发现。如果4N+1的开方值是质数时，也能分解为两个奇偶整数平方的和，

并且也仅有一组解。同时，它们可组成整数直角三角形，它的弦就是4n+1的质数。

    4 我原先想不通的一个问题是，为什么同是奇数的质数，还要分为4N+1与4N+3两类呢。现在肤浅的理解一些了。

    5 “费马质数定理”，从数论的观点看，是关于4n+1质数的分解问题。而如何分解，需要技巧。我除了在程序中用一个个勾，硬凑出股外，还不知道有其他的方法。费马是怎样分解的？

    6 “费马质数定理”的几何意义，在于指出，勾股为整数的直角三角形的弦平方，一定是4n+1的数。有时是4n+1的质数，有时弦本身就是4n+1的质数。

    总之，“费马质数定理”是对质数性质与质数分解的一个挑战性见解，那是17世纪中叶距今350年前的事了。费马是怎样得出这些结论的？他是从试算中得到的？还是理论推导得到的？真是太神了。直到1749年才有欧拉给出了证明。

 

    至于解算程序，虽然很简单，但又很笨。不过也帮我解决了手工计算的许多麻烦。你想，如果仅靠计算器一个，我能完成大量试算而证实“费马质数定理”结论吗？能有一点点小发现吗？。

    编程、试算、推敲、写作，两天过去了，这篇小文也完成了。