孙子算经《卷中》简注及演算

 

                                     《卷中》

                                                            
　　1、今有一十八分之一十二。问约之得几何？

　　答曰：三分之二。

    术曰：置十八分在下，一十二分在上。副置二位，以少减多，等数得六，为法。约之，即得。

    注：这是约分运算。怎样求公约数？“副置二位” 即在右侧放置18、12 算筹，作减法运算。大减小、大减小、一次次减，减至不能减了，即得“等数”，即“最大公约数”，“为法”，即为分母，亦即除数，去约分子、分母，得结果。这种求公约数的方法，就是辗转相除法。辗转相除就是辗转相减，除也就是减。

   筹算时，18在下是分母，12在上是分子。辗转相减运算是：18-12=6、12-6=6、6-6=0。得6，即最大公约数6。 12÷6=2 、18÷6=3。最后得12/18=2/3。

      为熟练辗转相除法，特增加一题：18/51=？

演算如下： 51-18=33、 33-18=15、 18-15=3、15-3=12、12-3=9、9-3=6、6-3=3、3-3=0 ，结束。最大公约数3，约分18/51=6/17 。

      再增加一题：6/17=？辗转相减运算是：17-6=11 、11-6=5、 6-5=1、5-1=4、4-1=3、3-1=2、2-1=1、1-1=0，最大公约数为1 ，6/17=6/17，即6、17互质。

 

　　2、今有三分之一，五分之二。问合之得几何？

　　答曰：一十五分之一十一。

　　术曰：置三分、五分在右方，之一、之二在左方。母互乘子，五分之二得六，三分之一得五。并之，得一十一，为实。右方二母相乘，得一十五，为法。不满法，以法命之，即得。

    注：这是分数的加法运算。方法与现代算法完全相同，只是分子分母不是上下摆，而是左右摆。这样摆，才便于筹算。先是二对母子交叉相乘、再相加，其结果作新的分子。再是二母相乘，作新的分母，就是现在说的“通分”。

  筹算方法  子1     母1   →“母互乘子”即 母1×子2＋母2×子1       

            子2     母2   → “二母相乘”即 母1×母2                

 本题筹算    1       3   →   3*2=6 、5*1=5  →  6+5 = 11

             2       5   →                     3*5 = 15

 现代算法  1/3+2/5=（5×1）/（3×5）+（3×2）/（3×5）=（5+6）/ 15 = 11/15

 

　3、今有九分之八，减其五分之一。问余几何？

　　答曰：四十五分之三十一。

术曰：置九分、五分在右方，之八、之一在左方。母互乘子，五分之一得九，九分之八得四十。以少减多，余三十一，为实。母相乘得四十五，为法。不满法，以法命之，即得。

    注：这是分数的减法运算。

 

     筹算方法  8  9   →  “母互乘子”1×9=9，5×8=40 →“以少减多”40 - 9=31   

              1  5   →  “母相乘得四十五  5×9=45

     现代算法  8/9-1/5 = 8×5）/（9×5）+（1×9）/（9×5）=（40-9）/45 = 31/45

 

4、今有三分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，几何而平？

  答曰：减四分之三者二，三分之二者一，并，以益三分之一，而各平於一十二分之七。

　术曰：置三分、三分、四分在右方，之一、之二、之三在左方。母互乘于，副并得六十三，置右，为平实。母相乘，得三十六，为法。以列数三乘未并者及法。等数得九，约讫。减四分之三者二，减三分之二者一，并，以益三分之一，各平於一十二分之七。

    注：此题应是求1/3、2/3、3/4的平均数，等于7/12。

1/3＋2/3＋3/4=(12+24+27)/(3×3×4) = 63/36，公约数9，即“等数得九”，约得7/4。“以益三分之一”即乘1/3，得(7/4)×1/3=7/12

    “减四分之三者二，减三分之二者一，并”，这句话不解。应：三分之一，三分之二，四分之三，并，…

 

5、今有粟一斗，问为粝米几何？

　答曰：六升。

  术曰：置粟一斗，十升。以粝米率三十乘之，得三百升，为实。以粟率五十为法，除之，即得。

    注：这是正比例问题。前述粟与粝米的兑换关系是：粟50兑换粝米30，即

       粟：粝米=50：30。现10升：X升=50：30

       X=10×30÷50 = 6升

 

　　6、今有粟二斗一升，问为稗米几何？

　　答曰：一斗一升五十分升之一十七。

    术曰：置粟二十一升。以稗米率二十七乘之，得五百六十七升，为实。以粟率五十为法，除之。不尽，以法而命分。

    注：己知粟：稗米=50：27，现求21升：X升=50：27，

        X=21×27÷50=567÷50=11…17，即1斗1升又17/50升

“不尽，以法而命分”，即中国古算的商，有时不除尽，不用小数，而用分数表示，分数=余数/除数 。

567÷50==11…17=11+17/50=11.34等价。

 

7、今有粟四斗五升，问为盘米几何？

　　答曰：二斗一升五分升之三。

　  术曰：置粟四十五升。以二约盘米率二十四，得一十二。乘之，得五百四十升，为实。以二约粟率五十，得二十五，为法。除之。不尽，以等数约之，而命分。

    注：己知 粟：盘米= 50：24，先约2，得 粟：盘米=25：12，

       现求45升：X升= 25：12，X=45×12÷25=540÷25=21…15=21+15/25，

       15/25即3/5，所以21+15/25即：二斗一升五分升之三

8、今有栗七斗九升，问为御米几何？

    答曰：三斗三升一合八勺。

　　术曰：置七斗九升。以御米率二十一乘之，得一千六百五十九升，为实。以粟率五十除之，即得。

　　    注：己知 粟：御米= 50：21，现求50：21=79升：X升，

          X=21×79÷50=33.18升，除尽，这里用到小数。即三斗三升一合八勺。

 

9、今有屋基南北三丈，东西六丈，欲以砖砌之。凡积二尺，用砖五枚。问计几何？

　　答曰：四千五百枚。

　　术曰：置东西六丈，以南北三丈乘之，得一千八百尺。以五乘之，得九千尺。以二除之，即得。

    注：屋基面积30×60=1800尺² 用砖铺砌，五枚砖占2尺² 问：要多少块砖？

       1800×5÷2 = 9000÷2=4500，其实，用1800÷2×5=4500更好理解。

 

　　10、今有圆窖下周二百八十六尺，深三丈六尺。问受粟几何？

　　答曰：一十五万一千四百七十四斛七升二十七分升之一十一。

    术曰：置周二百八十六尺，自相乘，得八万一千七百九十六尺。以深三丈六尺乘之，得二百九十四万四千六百五十六尺以一十二除之，得二十四万五千三百八十八尺。以斛法一尺六寸二分除之，即得。

    注：这是圆柱体积以及转换成基本容量斛的问题。按周3径1的古老成规，π=3，圆周长286，则半径R=286÷3÷2，底面积为πRR=3(286÷3÷2)( 286÷3÷2)

    体积V=3(286÷3÷2)( 286÷3÷2)×36=81796×36÷12=2944656 ÷12=245388(尺³)。

    斛法：1斛容积为1.62尺³ ，所以245388÷1.62=151474.074斛。

    正确答案应151474斛 7升4合。但经文答案151474斛 7升二十七分升之一十一，为什么？其实二十七分升之一十一，即11/27=0.4升，也就是4合。这个答案竟是一题两制。

 

11、今有方窖广四丈六尺，长五丈四尺，深三丈五尺。问受粟几何？

　　答曰：五万三千六百六十六斛六斗六升三分升之二。

    术曰：置广四丈六尺，长五丈四尺，相乘，得二千四百八十四尺。以深三丈五尺乘之，得八万六千九百四十尺。以斛法一尺六寸二分除之，即得。

    注：这是长方体积以及转换成基本容量斛的问题。

       46×54×35=2484×35=86940

       86940÷1.62=53666.6666斛=53666斛6斗6升6合6，或如经文所记，两制。

 

12、今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺。问受粟几何？

　　答曰：二千七百斛。

　　术曰：先置周五丈四尺，自相乘得二千九百一十六尺。以深一丈八尺乘之，得五万二千四百八十八尺。以一十二除之，得四千三百七十四尺。以斛法一尺六寸二分除之，即得。

    注：与第10题相同。

        圆窖体积 V=54×54×18÷12=2916×18÷12=52488÷12=4374尺³

    容量4374尺³÷1.62尺³ /斛=2700斛。 “计量单位”参加乘除运算，可防止算式错误，明白易懂。这是60多年前在初中时，董映明先生敖我们的，受益非浅。

 

13、今有圆田周三百步，径一百步。问得田几何？

　　答曰：三十一亩奇六十步。

　　术曰：先置周三百步，半之，得一百五十步。又置径一百步，半之，得五十步。相乘，得七千五百步。以亩法二百四十步除之，即得。

　　又术：周自相乘，得九万步。以一十二除之，得七千五百步。以亩法除之，得亩数。

又术：径自乘，得一万。以三乘之，得三万步。四除之，得七千五百步。以亩法除之，得亩数。

    注：标准圆形面积公式为πRR=3(300÷3÷2)( 300÷3÷2)=90000÷12=7500步²

但题中周三百步就是直径一百步，所以可改变公式为πRR=3(300÷3÷2)( 100÷2)

=(150÷2)×( 100÷2)=150×50=7500步²

    7500步²÷240步² /亩=31.25亩，经文答曰：31亩余60平方步，虽等价，但不规范。应答曰：三十一亩四分亩之一。

　　14、今有方田，桑生中央。从角至桑一百四十七步。问为田几何？

　　答曰：一顷八十三亩奇一百八十步。

　　术曰：置角至桑一百四十七步，倍之，得二百九十四步。以五乘之，得一千四百七十步。以七除之，得二百一十步。自相乘，得四万四千一百步。以二百四十步除之，即得。

     注：本题己知对角线长度L=147×2=294，先求正方形边长S。

     应S=L÷√2=294÷1.414=208步。

     但《卷上》第4题己说过“方五邪七；见邪求方，五之，七而一”，所以采用

S=L×5÷7=294×5÷7=1470÷7=210步，是一近似值。

    边长S“自相乘，得”正方形面积210×210=44100步²，再求亩数44100×240=183.75亩，或一顷八十三亩余一百八十平方步。余180平方步即180/240亩=0.75亩。等价。但经文余称奇，平方步仅称步。

　　15、今有木方三尺，高三尺。欲方五寸作枕一枚，问得几何？

　答曰：二百一十六枚。

术曰：置方三尺，自相乘，得九尺。以高三尺乘之，得二十七尺。以一尺木八枕乘之，即得。

      注：大木块体积V=3×3×3=27尺³ 。木枕体积v =0.5×0.5×0.5=0.125尺³，1÷0.125=8，即一尺木八枕。木枕枚数C=V/v = 27÷0.125=27×8=216枚。

 

　　16、今有索长五千七百九十四步。欲使作方，问几何？

　　答曰：一千四百四十八步三尺。

术曰：置索长五千七百九十四步。以四除之，得一千四百四十八步，余二步。以六因之，得一丈二尺。以四除之，得三尺。通计即得。

    注：由正方形周长求正方形边长。现小学四年级所学。

        5794÷4=1448.5步，1步6尺，0.5步即3尺，所以四方形边长为1448步3尺

 

17、今有堤，下广五丈，上广三丈，高二丈，长六十尺。欲以一千尺作一方，问计几何？

　　答曰：四十八方。

　  术曰：置堤上广三丈，下广五丈。并之，得八丈。半之得四丈。以高二丈乘之得八百尺。以长六十尺乘之，得四万八千。以一千尺除之，即得。

     注：横截面为梯形的堤，中线为（50+30）÷2=40尺、  截面积40×20=800尺²，60尺长堤的体积为800×60=48000尺³，　

     48000尺³÷1000尺³∕方=48方

 

18、今有沟广十丈，深五丈，长二十丈。欲以千尺作一方，问得几何？

　　答曰：一千方。

　　术曰：置广一十丈，以深五丈乘之，得五千尺。又以长二十丈乘之，得一百万尺。以一千除之，即得。

    注：横截面为长方形的沟，截面积100×50=5000尺²，

        200尺长堤的体积为5000×200=1000000尺³，　

        1000000尺³÷1000尺^3∕∕方=1000方

　　19、今有积二十三万四千五百六十七步。问为方几何？

　　答曰：四百八十四步九百六十八分步之三百一十一。

　  术曰：置积二十三万四千五百六十七步，为实。次借一算，为下法。步之，超一位，至百而止。商置四百於实之上。副置四万於实之下，下法之上，名为方法。命上商四百，除实。除讫，倍方法，一退，下法再退。复置上商八十，以次前商。副置八百於方法之下，下法之上，名为廉法。方、廉各命上商八十，以除。讫，倍廉法，上从方法。方法一退，下法再退。复置上商四，以次前。副置四於方法之下，下法之上，名曰隅法。方、廉、隅各命上商四，以除实除讫，倍隅法，从方法。上商得四百八十四，下法得九百六十八，不尽三百一十一。是为方四百八十四步九百六十八分步之三百一十一。

    注：这是古代中国的开方术问题。其实开方的方法与一般的除法相同，唯一的不同是：除法的除数是固定的，而开方时的除数是变动的，且变动的除数是有规律可找的，不是乱凑的。明白了这一点，那么开方也并不难，只是烦琐一点。

    为了说明古代开方的方法以及我所理解的原理，先从简单的例子分析。

    设48²=2304，现求2304的开方，即48是怎样算来的？

1  以两位为段，将2304分二段23  04，可以预见，开方值将是个二位数。

2  第一次开方。此时商与除数要自己确定，这很容易。对23开方，第一位开方值估得商为A=4，

   因为4×4=16＜23，可以开。如果估5，则5×5=25＞23，不行。注意，此时除数也为A=4，

   其实是40。

3  算“商×除数”=A×A=A²=40×40=1600。草式只记16。

4  算得余数2304－1600=704。

5  第二次开方。即对704作第二次开方。令第二次开方的商为B，则B取多少？除数又取多少？

   答：先取近似值B′。 B′=“余数除以(20×上次之商)”，

   即B′=704÷(20×A)=704÷80=8.8，试算合适后，取B=8。亦即第二次开方的商B=8。而第二次

   开方 的除数，就等于(20×A+B)，即 20×4+8=88。

6  计算“商×除数”=8×88=704。

7  计算余数，704－704=0，除尽，开方结束，得√2304=48。

 

这样计算的道理是什么呢？

1  一个大数要开方，不可能一次性地找到答案，只能分层次，先开千位数，再开百位数、十位数、

   个位数，一次次趋近。设开方最后的结果是C，如分二次开得，第一次开方得A、第二次开方得B，

   最后C=A+B，则C ²=(A+B) ²=A ²+2AB+B ²。

2  第一次开方得A²后，剩余数E1=A ²+2AB+B ²－A ²=2AB+B ²。

   由E= 2AB+B ²，得B=E/ (2A+B)。由于B大大小于A (少是十倍以上)，所以暂且忽略不计，便得

   近似式B′=E/ (2A)，又由于A是在上位上，B是在下位上，相差十倍，近似计算时要以

   B′=E/ (20×A)算，试算合适，确定正式的B，才以(20×A+B)×B计算“除数与商的乘积”2AB+B ²，再去计算第二次剩余数E2。

3  第二次剩余数若为0，则开方结束。第二次剩余数若不为0，要计算第三次商与除数。

4  第三次开方时，把(A+B)当作新的A，再去算新的B，还是套用

   B′=E/ (2A) 、B′=E/ (20×A)、(20×A+B)×B…诸公式。一次次趋近下去。

 

由此可知，中国古代的开方术，与近代的利用“两数和的平方”公式，作逐渐趋近法的原理，完全一样。可那是一千五百年前的事噢。

简例的草式如下：

 

                        4    8         说         明

           A=4    ／  2 3  0 4      第一次开方值A=4

                      1 6           A×A=4×4=16实为1600

         20*4+8=88 ∕   7  0 4      余数 E= 2AB+B2，B=704/20/4=8 。

     (第二次除数88)      7  0 4      第一次开方值48

                            0       余数为0，开方结束

 

明白了这个原理，则√234567 就可相似解算了。步骤为：

1  从右向左， 以两位为一段，分三段  23  45  67，可预见开方值将是个三位数。

2  对23开方，第一次开方值估得商为A=4，除数也是A=4。4×4=16＜23。

3  算“商×除数”=A×A=A²=40×40=1600。草式只记16。

4  算得余数234567－A×A=234567－1600=74567，草式只记745，至此第一次开方值为4，即400。

5  第二次开方。即对745作第二次开方。

   令第二次开方的商为B=745÷(20×4)=9，粗算后，取B=8。

   而第二次开方的除数，就等于(20×A+B)，此时A=4、B=8，即 20×4+8=88。

6  计算“商×除数”=8×88=704。

7  计算余数，74567－70400=4167。至此，开方值为48，即480。

8  第三次开方。即对4167作第三次开方。

   令第三次开方的商为B=4167÷(20×48)=4，粗算后，取B=4。

   第三次开方的除数，就等于(20×A+B)，此时A=48、B=4，所以 20×48+4=964。

9  计算“商×除数”=4*964=3856。

10  计算余数， 4167－3856=311。至此，开方值为484。

11  经文在此结果。答：484又311/968。此时，A=484，而968其实就是2A，是当前除数。

    311/968表示当前余数为311。                

    如果再往下开的，可得 √234567=484.32117…

草式如下：

 

 

                    4    8    4         说          明

            4  ∕ 2 3  4 5  6 7     第一次开方值A=4

                  1 6                4×4=16  

     20*4+8=88  ∕  7  4 5  6 7     B=745/20/4=9.3，取8。

                    7  0 4           8×88=704，  第二次开方值A=48   

     20*48+4=964 ∕    4 1  6 7      B=4167/20/48=4.3取4。             

                       3 8  5 6      4×964=3856，第三次开方值A=484

                         3  1 1      余数

 

20、今有积三万五千步。问为圆几何？

　　答曰：六百四十八步一千二百九十六分步之九十六

术曰：置积三万五千步，以一十二乘之，得四十二万步，为实。次借一算，为下法。步之，超一位，至百而止。上商置六百於实之上。副置六万於实之下，下法之上，名为方法。命上商六百，除实。除讫，倍方法。方法一退，下法再退。复置上商四十，以次前商。副置四百於方法之下，下法之上，名为廉法。方、廉各命上商，以除实。除讫，倍廉法，从方法。方法一退，下法再退。复置上商八，次前商。副置八於方法之下，下法之上，名为隅法。方、廉、隅各命上前，以除实。除讫，倍隅法，从方法。上商得六百四十八，下法得一千二百九十六，不尽九十六。是为方六百四十八步一千二百九十六分步之九十六。

    注：这应是一道已知圆面积，求圆半径R的习题，也要用到开方。但答曰可能有一字之误，即“步”字应为“尺”字才对。

    古算书中，面积表示不精确。“今有积三万五千步”即已知面积35000平方步(步^2。) 。

由于1步=6尺， 1步² =36尺² ，所以圆面积S=35000×36( 尺² )

圆面积S=πRR，且π=3，所以有3500005×36=3RR ，求R。

R=√(35000×36÷3)=√(35000×12)=√420000 = 648.074尺，而0.074正是96/1296。

另，经文中的“置积三万五千步，以一十二乘之，得四十二万步”，是把36÷3=12先算了，这就使人糊涂了。而420000的开方运算叙述，则与20题相仿。这里就不作算式了。

 

　　21、今有丘田周六百三十九步，径三百八十步。问为田几何？

　　答曰：二顷五十二亩二百二十五步。

术曰：半周得三百一十九步五分，半径得一百九十步，二位相乘，六万七百五步。以亩法除之，即得。

    注：这是一道实量圆周长D、又实量圆直径2R，求圆面积的习题。

       面积除了S=πRR的公式外，还有S=半周长×半径的公式，即S=D÷2×2R÷2

所以S=639÷2×380÷2=319.5×190=60705平方步，1亩=240平方步，所以折合为

60705÷240=252.9375亩。又，200亩为二顷，0.9375亩为225平方步，所以才有经文的答数。

    但这道题本身有矛盾，周六百三十九步时，周三径一，直径应213步，不应三百八十步。可能“丘田”就是指一块不规则的圆形地，用实量周长与直径来算面积的。

 

　  22、今有筑城，上广二丈，下广五丈四尺，高三丈八尺，长五千五百五十尺。秋程人功三百尺。问须功几何？

　　答曰：二万六千一十一功。

    术曰：并上、下广，得七十四尺，半之，得三十七尺。以高乘之，得一千四百六尺。又以长乘之，得积七百八十万三千三百尺。以秋程人功三百尺除之，即得。

    注：横截面为梯形的城，中线为（20+54）÷2=37尺，截面积为37×38=1406尺²，堤长5550尺，城的体积为1406×5550=7803300立方尺³，“以秋程人功三百尺”即在秋季施工，人均工作量为300立方尺，则需要　7803300÷300=26011人

 

　　23、今有穿渠，长二十九里一百四步，上广一丈二尺六寸，下广八尺，深一丈八尺。秋程人功三百尺。问须功几何？

　　答曰：三万二千六百四十五人，不尽六十九尺六寸。

    术曰：置里数，以三百步乘之，内零步，六之，得五万二千八百二十四尺。并上、下广，得二丈六寸。半之，以深乘之，得一百八十五尺四寸。以长乘，得九百七十九万三千五百六十九尺六寸。以人功三百尺除之，即得

    注：渠道长(29里×300步/里+104步)×6尺/步=52824尺

       渠道横截面为梯形，梯形中线广为（12.6+8）÷2，高18尺

       渠道体积（12.6+8）÷2×18×52824=9793569.6立方尺

       9793569.6÷300=32645人……余69.6立方尺

 

　　24、今有钱六千九百三十，欲令二百一十六人作九分分之，八十一人，人与二分；七十二人，人与三分；六十三人，人与四分。问三种各得几何？

　　答曰：二分，人得钱二十二。三分，人得钱三十三。四分，人得钱四十四。

    术曰：先置八十一人於上，七十二人次之，六十三人在下。上位以二乘之，得一百六十二；次位以三乘之，得二百一十六；下位以四乘之，得二百五十二。副并三位，得六百三十，为法。又置钱六千九百三十为上位。上位以一百六十二乘之，得一百一十二万二千六百六十。又以二百十六乘中位，得一百四十九万六千八百八十。又以二百五十二乘下位，得一百七十四万六千三百六十；各为实。以法六百三十各除之，上位得一千七百八十二，中位得二千三百七十六，下位得二千七百七十二。各以人数除之，即得。

注：这是一个不等权的分钱问题。分甲乙丙三等人，得钱之比为2份﹕3份﹕4份。

             先      求      X                 求 出 X 后 再 回 代 计 算   

       人  份  每份折共得钱  求得X   求共得钱       每人得多少钱

      81   2    X     162X    11      1782    1782÷81=22  或  2×11=22

      72   3    X     216X    11      2376    2376÷72=33  或  3×11=33

      63   4    X     252X    11      2772    2772÷63=44  或  4×11=44

总计 216   9    X     6930   

最简计算方法为列方程。设每一份为X，则有：

162X+216X+252X = 6930

630X = 6930

X = 6930÷630 = 11 ，有了X后，回代，便得到结果，见上表。

古算中的算法是 6930×162÷630=1122660÷630=1782 、 1782÷81=22

              6930×216÷630=1496880÷630=2376 、 2376÷72=33

              6930×252÷630=1746360÷630=2772 、 2772÷63=44

    运算中三次先乘6930再除以630，繁复了一点。如果先算出6930÷630=11，再去乘162、 216、 252， 就简省多了。

　　25、今有五等诸侯，共分橘子六十颗。人别加三颗。问五人各得几何？

　　答曰：公一十八颗。侯一十五颗。伯一十二颗。子九颗。男六颗。

术曰：先置人数，别加三颗於下，次六颗，次九颗，次一十二颗，上十五颗。副并之，得四十五。以减六十颗，余，人数除之，人得三颗。各加不并者，上得一十八，为公分；次得一十五，为侯分；次得十二，为伯分；次得九，为子分；下得六，为男分。

 

    注：这是一个公差为3的等差数列，由数列和60，求该数列的问题。

       古算中先用3表首项，得 3  6  9  12  15 ， 数列和为45，60-45=15，15÷5=3，

每项补3，得  6  9  12  15  18。

       中国古算往往用形象分析来推求结果，欠考虑用抽象综合得出普遍的公式。通用方法应先求首项，设为X，于是有  X   X+3   X+6   X+9   X+12 ，数列和5X+30=60  得5X=30  X=6，所以有

       6  9  12  15  18。

 

　　26、今有甲、乙、丙三人持钱。甲语乙、丙：“各将公等所持钱半以益我钱，成九十。”乙复语甲、丙：“各将公等所持钱半以益我钱，成七十。”丙复语甲、乙：“各将公等所持钱半以益我钱，成五十六。”问三人元持钱各几何？

　　答曰：甲七十二。乙三十二。丙四。

    术曰：先置三人所语为位，以三乘之，各为积，甲得二百七十，乙得二百一十，丙得一百六十八。各半之，甲得一百三十五，乙得一百五，丙得八十四。又置甲九十、乙七十、丙五十六，各半之。以甲、乙减丙，以甲、丙减乙，以乙、丙减甲，即各得元数。

    注：这是一个三人倍和问题。当倍数复杂时，最笨方法是立三元一次方程解。倍数单纯时，则可设法化归为整倍关系。表一为经文所述关系。只要乘2，便得表二，倍数关系简单了。由此求和，可得“ 甲＋乙＋丙=108” ，使解题大大简化，由表三、四、五得：甲=72   乙=32   丙=4

    表一                               表二                           

   甲    乙    丙    和          甲   乙    丙    和        

   1    0.5   0.5   90   乘2→   2    1     1    180     

  0.5   1     0.5   70           1    2    1    140     

  0.5   0.5    1    56           1    1    2    112     

和 2    2     2     216       和 4    4    4    432  

   1    1     1    108

 

 

 

表三                      表四                    表五                  

   甲  乙  丙    和       甲  乙  丙   和        甲  乙  丙   和

   2   1   1   180         1   2   1   140        1   1   2  112

－ 1   1   1   108      － 1   1   1   108     － 1   1   1  108    

   1   0   0    72         0   1   0    32         0   0  1    4

    但经文中却只讲到“以三乘之”， 又“各半之”，似乎乘1.5，又不见“甲＋乙＋丙=108”这一关键算法，所以如何的“甲、乙减丙”等步骤，我还未理懂，古人是否另有思路？只能求之学友或师长了。

 

　　27、今有女子善织，日自倍。五日织通五尺扣问日织几何？

　　答曰：初日织一寸三十一分寸之一十九次日织三寸三十一分寸之七次日织六寸三十一分寸之一十四次日织一尺二寸三十一分寸之二十八次日织二尺五寸三十一分寸之二十五

   术曰：各置列衰，副并，得三十一，为法。以五尺乘未并者，各自为实。实如法而一，即得。

     注：这是一个公比为2的等比数列，由数列和5尺，求该数列的问题。

    这次古算不假定初项的具体数，而是按公比关系，“各置列衰”，即列出1  2  4  8  16五个系数，和为31，作为分母，“以五尺乘”即50/31，为初日所织。

    设首项为1X，于是有  1X   2X   4X   8X   16X，

    数列和X ＋  2X ＋  4X  ＋ 8X ＋  16X = 50寸 ，

由31X=50 得 X=1.6129寸，而0.6129寸即19/31寸，

所以有答曰：初日织一寸三十一分寸之一十九。第1天到第5天日织：

今算：1.6129寸    3.2258寸     6.4516寸     12.9032寸     25.8064寸

答曰：1寸19/31   3寸7/31      6寸14/31    12寸28/31     25寸25/31

 

28、今有人盗库绢，不知所失几何。但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹。问人、绢各几何？

　　答曰：贼一十三人。绢八十四匹。

术曰：先置人得六匹於右上，盈六匹於右下；後置人得七匹於左上，不足七匹於左下。维乘之，所得，并之，为绢。并下盈、不足，为人。 

    注：这是典型的盈不足问题。可以这样理解：多出6匹留下，少7匹，去补买7匹，共得6+7=13匹，将这13匹等量加分给每个人后，每人增加了7-6=1匹，说明有13人。

算式：6+7=13、13÷(7-6)=13人。有了人数13，则匹数为13*6+6=84或13*7-7=84。

 

古算如下：

          第一次  第二次          古       算       法

每人分得匹  6       7     维乘之6*7=42、6*7=42 ，并之为绢42+42=84匹

盈 不足 匹  6      -7     并下盈、不足，为人。 6+7=13人    

 

  看来很简单，但这个方法有局限性，只适合于每人分得，前后仅差1时，才正确。说明如下：

如人得A=6匹，盈B=6匹；人得C=8匹，下足D=20匹，问人、绢几何？

设：有X人。则AX+B=CX－D，(C-A)X=B+D  ，X=(B+D)/(C-A)

当(C-A)=1时，X才等于(B+D)。若(C-A)不等于1，就不能把B和D相加了。请再看古算：

 

          第一次   第二次            古       算       法

每人分得  A= 6匹   C=8匹     维乘之所得，并之，为绢  AD+BC=120+48=168匹。不对。

盈 不足   B= 6匹  D=-20匹   并下盈、不足，为人。 B+D=6+20=26人，不对。

 

   为顺解古算，经文里有二处可增加“除以分得之差”，即：

术曰：先置人得六匹於右上，盈六匹於右下；後置人得七匹於左上，不足七匹於左下。维乘之，所得，并之，“除以分得之差”，为绢。并下盈、不足，“除以分得之差”，为人。

于是，绢168/(8-6)=84 匹，贼为26/(8-6)=13人

 

不用代数，算术算法为：6+20=26， 8-6=2， 26/2=13 人

13×6+6=84匹或  13×8-20=84匹