孙子算经《卷上》简注及演算

 

在百度上复制了《孙子算经》，但没有注释。

《孙子算经》三卷，成书年代约为公元4世纪。作者不详，有人说是一个和尚。

上卷71道乘除算题或规则说明。讨论了度量衡的单位和筹算制度与方法，。

中卷28道题，主要是关于分数的应用题，包括面积、体积、等比数列等。

下卷36道题，有“鸡兔同笼”、“妇人荡杯”、“物不知数”等流传世界的趣题。

现先发《卷上》简注及演算一文。

 

                                      《卷上》

 

　　1、度之所起，起於忽。欲知其忽，蚕所生，吐丝为忽。十忽为一秒，十秒为一毫，十毫为一厘，十厘为一分，十分为一寸，十寸为一尺，十尺为一丈，十丈为一引；五十尺为一端；四十尺为一疋；六尺为一步。二百四十步为一亩。三百步为一里。

    注：凡物体都有长短(度)、大小(容量、体积)、轻重(衡)等最基本的物性。

    度即长度、宽度、高度、深度。并用进位制来表示大小不同的度量单位。其中十进制最优。《孙子算经》表明，中国古代早已有十进制了。从忽到引，共9个数量级。

    二百四十步为一亩，即240平方步为一亩。如：长16步×宽15步=240步² = 1亩，相当于16×6×15×6 = 8640尺² 为1亩。现代一亩=666.667米² ，则3.6尺=1米，亦即古代1尺=0.27777米。

    古代一里 = 300步×6尺/步=1800尺。现代一里=1500市尺。

    如果 古代一里= 现代一里，那末古代一尺= 现代0.8333市尺。(1500/1800=0.8333)，即古代尺子比现代尺子要短。古代一尺，相当于现代0.33333×0.833333=0.27777米。与上相符。

    由此也可推知，古代蚕丝一忽=0.0002778毫米=0.2778微米=0.2778μ。但据百度百科介绍：蚕茧的丝纤有20到30微米，且难以单根使用，要把若干个茧的丝绞合在一起，形成一根生丝。古人当然量不出忽的粗细，在此仅表明，中国古代早已有十进制了。

 

　　2、称之所起，起於黍。十黍为一絫，十絫为一铢，二十四铢为一两，十六两为一斤，三十斤为一钧，四钧为一石。

    注：称即重量，衡。这里，基本单位是斤。120斤为一石。

    十六两为一斤，给计算带来几多麻烦。小时侯珠算时，碰到乘几斤几两，只能利用口诀：一六二五、二一二五、三一三七五…来打算盘，还不懂真正意思。大了才知道，1两=1/16斤=0.0625斤、2两=2/16斤=0.125斤、等等，原来如此。

二十四铢为一两(十六两的两)，则1铢=1.3克，五铢应重6克以上。汉武帝行五铢钱，直径一般2.5厘米左右，重约3—4克。到唐武德四年（621）铸“开元通宝钱”，废止五铢钱。五铢钱流通七百余年，是中国历史上铸造数量最多，流通时间最久的钱币。西汉以后各朝代的五铢钱也都在3克左右，最轻的仅2克。

 

    量之所起，起於粟。六粟为一圭，十圭为一抄，十抄为一撮，十撮为一勺，十勺为一合，十合为一升，十升为一斗，十斗为一斛。斛得六千万粟。所以得知者，六粟为一圭，十圭六十粟为一抄，十抄六百粟为一撮，十撮六千粟为一勺，十勺六万粟为一合，十合六十万粟为一升，十升六百万粟为一斗，十斗六千万粟为一斛。十斛六亿粟，百斛六兆粟，千斛六京粟，万斛六陔粟，十万斛六秭粟，百万斛六壤粟，千万斛六沟粟，万万斛为一亿斛六涧粟，十亿斛六正粟，百亿斛六载粟。

    注：量即容量、容积、体积。斛以下也是十进位。南宋末年改五斗为一斛。我记得小时候到米店去买米，一升箩是一斤半，容积约650 CM³。一斗15斤，5斗一斛，75斤，一斛容积约33 DM³ 。二斛一石150斤。斛与镬的读音相近，形状也像镬子，不过是方的，上小下大。

 

    3、凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京，万万京曰陔，万万陔曰秭，万万秭曰壤，万万壤曰沟，万万沟曰涧，万万涧日正，万万正曰载。

注：万之前为十进制，万之后是万进制。1万=1×10⁴ 、1亿=1×10⁸ …1载=1×10⁴⁴

 

　　4、周三径一。方五邪七；见邪求方，五之，七而一；见方求邪，七之，五而一。

    注：周三径一指π=3。这说明《孙子算经》成书应在祖冲之(429-500)之前。

   “方五邪七”特指一个“等腰直角三角形”的两直角边(方边)各为5，而钭边(邪边)为7，即√（5²+5² ）=5√2=5×1.414=7，实际上是把√2=1.414取作1.4，所以是近似的，比不上《周髀算经》上的勾三、股四、弦五绝对正确。

    乘除的用语：五之，即乘以五，七而一，即除以七。

    见邪求方，五之，七而一，即 方边=斜边×5÷7 = 斜边÷1.4

    见方求邪，七之，五而一，即 斜边=方边×7÷5 = 方边×1.4

 

　　5、黄金方寸重一斤。白金方寸重一十四两。玉方寸重一十二两。铜方寸重七两半。鈆方寸重九两半。铁方寸重六两。石方寸重三两。

    注：古代寸短，把物量长了，量得一寸，实为现代的0.0833市尺×0.333米∕市尺=2.777 CM。所以1立方寸=21.433 cm³ 。1斤=16两=500克。

    所以古代黄金比重为500/21.433=23.33克/cm³ ，现代黄金比重19.32克/cm³

同理，古代铜的比重为23.33×7.5/16= 10.94克/cm³ ，现代铜的比重8.9克/ cm³

古代铁的比重为23.33×6 /16 = 8.75克/cm³ ，现代铜的比重7.85克/ cm³

    由此可见，古今比重相差不大，但似乎古代的物质要重实一些，如同人一样。

　　6、凡筭之法，先识其位，一从十横，百立千僵，千十相望，万百相当。

   如2131、二千一百三十一  算筹摆为  二 ︱ 三 ︱

     1111、一千一百一十一  算筹摆为  —  ︱ — ︱

    5678可能是横五纵六横七竖八的摆，因为那时 “〥〦〧〨”还末使用。算筹太多，看起数起来也费时易错。珠算表示法就简要，但到宋元才有。

 

　　7、凡乘之法，重置其位。上下相观，上位有十步至十，有百步至百，有千步至千。以上命下，所得之数列於中位。言十即过，不满自如。上位乘讫者先去之。下位乘讫者则俱退之。六不积，五不只。上下相乘，至尽则已。

　　8、凡除之法，与乘正异。乘得在中央，除得在上方。假令六为法，百为实。以六除百，当进之二等，令在正百下，以六除一，则法多而实少，不可除，故当退就十位。以法除实，言一六而折百为四十七，故可除。若实多法少，自当百之，不当复退。故或步法十者置於十位，百者置於百位。上位有空绝者，法退二位。余法皆如乘时。实有余者，以法命之，以法为母。实余为子。

    注：筹算的乘除方法，见16、17节演算时再具体解释。

    9、以粟求粝米，三之，五而一。以粝米求粟，五之，三而一。以粝米求饭，五之，二而一。以粟米求粝饭，六之，四而一。以粝饭求粝米，二之，五而一。以绺米求饭，八之，四而一。

    注：栗即没有舂而有壳的小米谷物。粝米即粗米、糙米。

粝米=栗×3÷5，  栗=粝米×5÷3，即粟五等於粝米三。一斗粟等於六升粝米。

粝饭=粝米×5÷2   粝米=粝饭×2÷5   粝饭=粟米×6÷4   饭=绺米×8÷4

    由此推得以下比例；栗50、粝米30、粝饭75、栗米50、绺米(即九章算术中的凿米，为24)。此处饭≠粝饭？

　　10、十分减一者，以二乘，二十除。减二者，以四乘，二十除。减三者，以六乘，二十除。减四者，以八乘，二十除。减五者，以十乘，二十除。减六者，以十二乘，二十除。减七者，以十四乘，二十除。减八者，以十六乘，二十除。减九者，以十八乘，二十除。

    注： 1/10=2/20  2/10=4/20   3/10=6/20 … 9/10=18/20 ，这应该是分数的约分法。

 

    11、九分减一者，以二乘，十八除。注：1/9=2/18

　　12、八分减一者，以二乘，十六除。注：1/8=2/16

　　13、七分减一者，以二乘，十四除。注：1/7=2/14

　　14、六分减一者，以二乘，十二除。注：1/6=2/12

　　15、五分减一者，以二乘，十除。注：1/5=2/10

　　16、九九八十一，自相乘，得几何？答曰：六千五百六十一。术曰：重置其位，以上八呼下八，八八六十四，即下六千四百於中位。以上八呼下一，一八如八，即於中位下八十。退下位一等，收上位八十。以上位一呼下八，一八如八，即於中位下八十。以上一呼下一，一一如一，即於中位下一。上下位俱收，中位即得六千五百六十一。

     注：古代筹算乘法的最大特点是：

1  乘数列于上排，被乘数列于下排，乘积留在中排。

2  相乘时以上排为主，由它乘下排各数。乘完一轮不用了，就把算筹拿走，直到拿完。

3  由高位乘低位，一层层念口诀，并在中排作加法运算。

    具体步骤是：

1  上十位*下十位，得千位数、80×80=6400 ，   将6400 置于中排。

2  上十位×下个位，得十或百位数、80×1=80 ， 在中排运算6400+80=6480仍置中排

3  上个位×下十位，又得十或百位数、1×80=80，在中排运算6480+80=6560 仍置中排

4  上个位×下个位，得个或十位数、1×1=1      在中排运算6560+1=6561 仍置于中排，得结果。

    请注意，乘积在中间一排。中间乘积不留记录，随算随加，最后得结果6561 。这与珠算一样，万一中间加错了，也就无法发现。

 

    由于81×81有两个8、两个1，上下位容易搞混，现换一算例，可以看得更清楚。

如 81×72=5832，看筹算怎样运作：

 

      8 1 (上位)

  80×70=5600  →(+80×2=160 ) → 5760 →(+1×70=70) → 5830 →(+1×2=2)→5832

  上十位×下十位  加上十位×下个位    加上个位×下十位      加上个位×下个位，

      7 2 (下位)

 

    而现代手工笔算顺序，与古代相反。一是下位乘上位，二是先个位乘个位，再个位乘十位，再个位乘百位…，同时留有中间记录，最后才相加，可以复算。

 

      8 1            效仿古代筹算：       8 1

  ×  7 2             念口诀：        ×  7 2  

    1 6 2             八七  五十六    5 6 0 0      中排5600

  5 6 7               八二  一十六      1 6 0      中排5760

  5 8 3 2             一七  得七          7 0      中排5830

                      一二  得二            2      中排5832

                                     5 8 3 2

　　17、六千五百六十一，九人分之，问人得几何？答曰：七百二十九。术曰：先置六千五百六十一於中位，为实。下列九人为法。上位置七百，以上七呼下九，七九六十三，即除中位六千三百。退下位一等，即上位置二十。以上二呼下九，二九十八，即除中位一百八十。又更退下位一等，即上位更置九，即以上九呼下九，九九八十一，即除中位八十一。中位除尽，收下位。上位所得即人之所得。自八八六十四至一一如一，均准此。

    注：古代筹算除法的最大特点是：

1  上排为商、中排为被除数、下排为除数。

2  念口诀估商，并在中排减去乘积。文中“除中位六千三百”，即中排减去6300。

3  下一位计算，同上。直到不够除，可得余数(中排剩余值)。

    6561÷9=？

 

7                        2                     9

6561   →     6561－6300=261    →    261－180=81    → 81－81=0

   9 （口诀700×9=6300）  9 （口诀20×9=180）    9  （口诀9×9=81）

即6591÷9=729

 

    这个筹算方法，其实与现代小学生笔算除法差不多。仅有以下差别：

1        古代，被除数与除数是上下排，现代笔算被除数与除数是左右排。

2        古代中间乘积6300、180、81不作记录，直接从被除数中减去。现代笔算有中间乘积记录，可上下相减，不易出错。现代笔算如下：

               7 2 9      效仿古代筹算：  7     2     9

       9   ∕6 5 6 1                   6561

             6 3                        261  261

               2 6 1                          81    81

               1 8                                   0

                 8 1                    

                 8 1                    
　　               0          

 

以下18—60题，实际上是对九九表的解释及分析。现先把九九表列于下；

 

	九	八	七	六	五	四	三	二	一		文中的：
九	81	72	63	54	45	36	27	18	9	405	九九一条
八		64	56	48	40	32	24	16	8	288	八八一条
七			49	42	35	28	21	14	7	196	七七一条
六				36	30	24	18	12	6	126	六六一条
五					25	20	15	10	5	75	五五一条
四						16	12	8	4	40	四四一条
三							9	6	3	18	三三一条
二								4	2	6	二二一条
一									1	1	一一一条
										1155

 

18、八九七十二，自相乘，得五千一百八十四。八人分之，人得六百四十八五。

   七九六十三，自相乘，得三千九百六十九。七人分之，人得五百六十七五。

    注：8×9=72 (口诀)   72×72=5184    5184÷8 =648  

    7×9=63 (口诀)   63×63=3969    3969 ÷7=567

19、六九五十四，自相乘，得二千九百一十六。六人分之，人得四百八十六。

   注： 54×54÷6=486   此处省略了6×9=54 (口诀)，以下同。

 

20、五九四十五，自相乘，得二千二十五。五人分之，人得四百五。注：45×45÷5=405

 

21、四九三十六，自相乘，得一千二百九十六。四人分之，人得三百二十四。注：36×36÷4=324

22、三九二十七，自相乘，得七百二十九。三人分之，人得二百四十三。注：27×27÷3=243

23、二九一十八，自相乘，得三百二十四。二人分之，人得一百六十二。注：18×18÷2=162

24、一九如九，自相乘，得八十一。一人得八十一。右九九一条，得四百五，自相乘，得一十六万四千二十五。九人分之，人得一万八千二百二十五。

    注：“右九九一条，得四百五”，指：九九表中从9×9=81  8×9=72  7×9=63

6×9=54  5×9=45  4×9=36  3×9=27  2×9=18  1×9=9 ，九个数成一条数组，它们的和是405。 405×405=164025   164025÷9=18225。18225其实就是这一条九九线上数组和平方的平均数，没有什么几何意义，在此只作为筹算的练习罢了。

    以下是九九表中8字头、7字头、6字头…直到“一一如一”的口诀及筹算乘除。

25、八八六十四，自相乘，得四千九十六。八人分之，人得五百十二。注：64×64÷8=512

26、七八五十六，自相乘，得三千一百三十六。七人分之，人得四百四十八。注：56×56÷7=448

27、六八四十八，自相乘，得二千三百四。六人分之，人得三百八十四。注：48×48÷6=384

28、五八四十，自相乘，得一千六百。五人分之，人得三百二十。注：40×40÷5=320

29、四八三十二，自相乘，得一千二十四。四人分之，人得二百五十六。注：32×32÷4=256

30、三八二十四，自相乘，得五百七十六。三人分之，人得一百九十二。注：24×24÷3=192

31、二八十六，自相乘，得二百五十六。二人分之，人得一百二十八。注：16×16÷2=128

32、一八如八，自相乘，得六十四。一人得六十四。右八八一条，得二百八十八，自相乘，得八万二千九百四十四。八人分之，人得一万三百六十八。

    注：“右八八一条，得二百八十八”，指：九九表中从  8×8=72  …   到1×8=8 ，八个数成一条数组，它们的和是288。    288×288=82944   82944÷8=10368   10368是这一条八八线上数组和平方的平均数。

 

33、七七四十九，自相乘，得二千四百一。七人分之，人得三百四十三。注：49×49÷7=343

34、六七四十二，自相乘，得一千七百六十四。六人分之，人得二百九十四。注：42×42÷6=294。

 

35、五七三十五，自相乘，得一千二百二十五。五人分之，人得二百四十五。注：35×35÷5=245

36、四七二十八，自相乘，得七百八十四。四人分之，人得一百九十六。注：28×28÷4=196

37、三七二十一，自相乘，得四百四十一。三人分之，人得一百四十七。注：21×21÷3=147

 

38、二七十四，自相乘，得一百九十六。二人分之，人得九十八。注：14×14÷2=98

39、一七如七，自相乘，得四十九。一人得四十九。右七七一条，得一百九十六，自相乘，得三万八千四百一十六。七人分之，人得五千四百八十八。

   注：7×7÷1=49

 “右七七一条，得一百九十六，”见九九表。 196×196=38416  38416÷7=5488

40、六六三十六，自相乘，得一千二百九十六。六人分之，人得二百一十六。注：36×36÷6=216

41、五六三十，自相乘，得九百。五人分之，人得一百八十。注：30×30÷5=180

42、四六二十四，自相乘，得五百七十六。四人分之，人得一百四十四。注：24×24÷4=144

43、三六一十八，自相乘，得三百二十四。三人分之，人得一百八。注：18×18÷3=108

44、二六一十二，自相乘，得一百四十四。二人分之，人得七十二。注：12×12÷2=72

45、一六如六，自相乘，得三十六。一人得三十六。右六六一条，得一百二十六，自相乘，得一万五千八百七十六。六人分之，人得二千六百四十六。

    注：6×6÷1=36

   “右六六一条，得一百二十六，”见九九表。  126×126=15876  15876÷6=2646

46、五五二十五，自相乘，得六百二十五。五人分之，人得一百二十五。注：25×25÷5=125

47、四五二十，自相乘，得四百。四人分之，人得一百。注：20×20÷4=100

48、三五一十五，自相乘，得二百二十五。三人分之，人得七十五。注：15×15÷3=75

49、二五一十，自相乘，得一百。二人分之，人得五十。注：10×10÷2=50

50、一五如五，自相乘，得二十五。一人得二十五。右五五一条，得七十五，自相乘，得五千六百二十五。五人分之，人得一千一百二十五。

    注：5×5÷1=25

   “右五五一条，得七十五，”见九九表 。  75×75=5625  5625÷5=1125

51、四四一十六，自相乘，得二百五十六。四人分之，人得六十四。注：16×16÷4=64

52、三四一十二，自相乘，得一百四十四。三人分之，人得四十八。注：12×12÷3=48

53、二四如八，自相乘，得六十四。二人分之，人得三十二。注：8×8÷2=32

 

54、一四如四，自相乘，得一十六。一人得一十六。右四四一条，得四十，自相乘，得一千六百。四人分之，人得四百。

    注：4×4÷1=16

  “右四四一条，得四十，”见九九表 。  40×40=1600  1600÷4=400

 

55、三三如九，自相乘，得八十一。三人分之，人得二十七。注：9×9÷3=27

56、二三如六，自相乘，得三十六。二人分之，人得一十八。注：6×6÷2=18

 

57、一三如三，自相乘，得九。一人得九。右三三一条，得一十八，自相乘，得三百二十四。三人分之，人得一百八。

    注：3×3÷1=9

  “右三三一条，得一十八，”见九九表中 3+6+9=18。  18×18=324  324÷3=108

 

58、二二如四，自相乘，得一十六。二人分之，人得八。注：4×4÷2=8

59、一二如二，自相乘，得四。一人得四。右二二一条，得六，自相乘，得三十六。二人分之，人得十八。

    注：2×2÷1=4 

   “右二二一条，得六”，指九九表中2×1+2×2=2+4=6 、6×6=36、 36÷2=18

60、一一如一，自相乘，得一。一乘不长。右从九九至一一，总成一千一百五十五，自相乘，得一百十三万四千二十五。九人分之，人得一十四万八千二百二十五。

    注：“一乘不长”指1×1=1，乘积没有增长了。九九表到此结束。

    “右从九九至一一，总成一千一百五十五，” 即九九表从9×9=81、8×9=72、8×8=64、…一直到1×9=9，1×8=8……1×1=1，共45个乘积，即上三角乘数的和为1155。

  “自相乘，得一百十三万四千二十五。”即1155×1155=1334025。

  “九人分之，人得一十四万八千二百二十五。”即1334025÷9=148225，

　　

61、以九乘一十二，得一百八。六人分之，人得一十八。注：9×12÷6=18

62、以二十七乘三十六，得九百七十二。一十八人分之，人得五十四。注：27×36÷18=54

63、以八十一乘一百八，得八千七百四十八。五十四人分之，人得一百六十二。

    注：81×108=8748   8748÷54=162

 

64、以二百四十三乘三百二十四，得七万八千七百三十二。一百六十二人分之，人得四百八十六。

    注：243×324=78732     78732÷162=486

65、以七百二十九乘九百七十二，得七十万八千五百八十八。四百八十六人分之，人得一千四百五

    十八。  注：729×972=708588    708588÷486=1458

 

66、以二千一百八十七乘二千九百一十六，得六百三十七万七千二百九十二。一千四百五十八人分之，人得四千三百七十四。

 注：2187×2916=6377292    6377292÷1458=4374

67、以六千五百六十一乘八千七百四十八，得五千七百三十九万五千六百二十八。四千三百七十四人分之，人得一万三千一百二十二。

注：6561×8748=57395628   57395628÷4374=13122

 

68、以一万九千六百八十三乘二万六千二百四十四，得五亿一千六百五十六万六百五十二。一万三千一百二十二人分之，人得三万九千三百六十六。

    注：19683×26244=516560652    516560652÷13122=39366

　　69、以五万九千四十九乘七万八千七百三十二，得四十六亿四千九百四万五千八百六十八。三万九千三百六十六人分之，人得一十一万八千九十八。

    注：59049×78732=4649045868    4649045868÷39366=118098

　　70、以一十七万七千一百四十七乘二十三万六千一百九十六，得四百一十八亿四千一百四十一万二千八百一十二。一十一万八千九十八人分之，人得三十五万四千二百九十四。

    注：177147×236196=41841412812     41841412812  ÷118098=354294

 

71、以五十三万一千四百四十一乘七十万八千五百八十八，得三千七百六十五亿七千二百七十一万五千三百八。三十五万四千二百九十四人分之，人得一百六万二千八百八十二。

    注：531441×708588=376572715308    376572715308 ÷354294=1062882

    这里是6位数相乘，中间乘法及加法运算36次，要避免加错，有难度。

    这里又有12位除以6位的除法，商7位。可见中间乘法减法运算总起来看，有7大次，但由于除数有6位，每得一个商数，就有6小次口诀6小次减法，所以共有42次口诀及减法，只要一次出错，就糟了，可见太繁难了。

 

    筹算时，筹码这么多，很容易搞错。到了宋元发明了珠算，以“上档”一珠代表五，从此才结束了筹算，真是进步而又聪明啊！现在更不消说了，我用最简单的计算器，就完成了上面的算题，觉得很容易。

    难就难在对“经文”的理解上。例如文中“右九九一条，得四百五”，最初不明白他的意思，还认为“右”字有误，应是“五九九一条，得四百五”，便算得5×9×9=405，很高兴。但后面又碰到“右八八一条，得二百八十八”，又凑成4.5×8×8=288，但“右”又作何解释呢？自已也觉得别扭。之后，又有“右七七一条”等等，才知道自己还不懂。再后，才想到“九九表”，列出了九九表后，几经试算，才一下开通了。

    我化了三天时间，完成了《卷上》的“注文”及现代演算，觉得有收获。

    去吧，上博台去吧，与同好的朋友暂离这功利浓重、臭味十足的世态，到世前去观看古代数学大师的演算。他们心怀天地，超然物外，运筹帷幄，为祖国的数学事业作出了真正的贡献。

    我敬仰先贤大师。