纳皮尔常数e =2.71828 18284…是不是这样出来的？

                                        一 

    e=2.718…是数学上的一个重要常数，世称纳皮尔常数，是纳皮尔对数的底。若从实用的观点看，用纳皮尔对数来作数字计算，还远远不如用十进对数计算来得方便。但它在数学理论的发展上、叙述上，却有很大便利和用处。至于在物理学及其他科学上有何意义，我则茫然无知了。

e=2.718…是怎样来的？五十八年前，老师讲过，写了一黑板，但早已忘了。虽说有下列公式：    e=1+1/1！+1/2！+1/3！+ …1/n！

       e= (1+1/n)ⁿ

可以算得e，但这是理论推导的结果，不是来源、源头。我想知道的是，e是如何被发现的。

    最近看到一本书上说，e与存款利息有关，这是否就是e的源头呢？我便根据其叙述，详细算

了一番，真得到了e值。

                                         二

    存款得利息，最大利息就是利滚利，即复利。现今银行有“到期转存”一项，也就是复利存款。设本金为1，年利率假设为100％=1，(现今实际为0.035，但为了直接进入计算e，假设为1)。一年后，连本带利为1× (1+1)= 1×2¹=2。不取出，仍放在银行作新的存款，下同。则两年后，连本带利为2× (1+1)= 1×2¹×(1+1)=1×2²=4。三年后，连本带利为4×(1+1)= 1×2²×(1+1)= 1×2³=8… 10年后，则连本带利为1× (1+1)⁹ ×(1+1) =1× (1+1) ¹⁰=1024

    为此，便归纳得一般复利公式：

    本+利 = 本金× (1+年利率)^年数。

    现改变一下利率及到朝方式。

  1、  如果与银行协定，可以在一年内，再分期复利，即我本金1，以半年为期，当然，利率改为半年利率1/2=0.5，“到半年期转存”，一年后才取，即复利两次，则

本+利 = 本金× (1+半年利率)²=1×(1+1/2)²=2.25，比一年期利息多了0.25。

  2、  如果再与银行协定，可以在一年内，以一月为期，当然，利率改为月利率1/12=0.08333，“每一个月转存”，一年后才取，即复利12次，则

本+利 = 本金× (1+月利率)¹²=1×(1+1/12)¹²=2.61304…，比一年期利息多了0.61304

  3、  如果再与银行协定，可以在一年内，以一天为期，当然，利率改为日利率

1/365=0.0027397，“一天一天转存”，一年后才取，即复利365次，则

本+利= 本金×(1+日利率)³⁶⁵=1×(1+1/365)³⁶⁵=2.714567…，比一年期利息多了0.71457

  4、  这样，一次次加大分期，又以小时、分、秒计，同时利率缩小为 时利率、分利率、秒利率，则本+利将逐步趋向2.71828 18284…就得到e。现将计算各个分期的“本利和”列于下：

分期   本金B   利率  p                         期数  n          本利和 B (1+p) ⁿ

年     1        1                                1               2

半年   1        1/2=0.5                          2               2.25

月     1        1/12=0.0833333                  12               2.613 04

日     1        1/365=0.00273973                365              2.714 567

小时   1        1/365/24=0.000114155            365×24=8760     2.718 126 69

分     1        1/365/24/60                     525600           2.718 279 24

秒     1        1/365/24/3600=0.000000003171    31536000         2.718 281 785

    由此可以归纳为：当n →∞时，e = (1+1/n)ⁿ。这个公式，是否起源于“密集复利”，不敢轻下结论。但把它用二项式展开，便得 e =1+1/1！+1/2！+1/3！+ …1/n！是肯定的，可见这两个公式应该是同出一源。轻发议论，随便说说。去罢，上博客去罢。