判别自然数被7整除的六种方法

    仅以此文奉献给小学老师们。

 

    自然数被2、3、4、5、6、8、9、11整除的判别方法都简单明了，连被25、35、45、55、75整除的判别方法，也都能顺便带出，不必死记。就是被7整除的判别方法，有点麻烦。

    自然数被7整除的判别方法，一直使我心烦，总觉得不方便、速度慢或记不住。最近，我做习题时，新创了一个“锁匙法”，拿出来亮亮相。在写本文时，又发现“同余和法”，倒是十分简便。于是就将我所知道的方法一一叙述，一一作例。算是一篇笔记罢。共六种方法：

  1  三位分组相减法

  2  截尾减尾乘2法

  3  … 231546231锁匙法

  4  同余和法 (首起减倍法)

  5  同余积法

  6  同余幂法

  我认为“同余和法”，最方便实用。

 

 

                                    一   三位分组相减法

 

    位数超过三位时，就将最后三位与最前几位相减，它们的差，若被7、11、13同时整除，则该数也被7、11、13同时整除。若仅仅被7整除，则该数也仅仅被7整除。

    例一  548422÷7， →548－422=126  126÷7=18除尽，所以548422被7整除。

    例二  3032666÷7，→3032－666=2366 ，→366－2=364。364÷7=52除尽。364÷13=28也除尽。364÷11=33.0909除不尽。所以3032666，被7整除、被13整除、但不能被11整除。

    这个方法的缺点是，剩下三位数，再要判别，有点麻烦。

 

                                    二    截尾法

 

    问：2338能否被7整除？老师会教你说：把这个整数的个位数字(尾数)去掉,再从余下的数中,减去个位数(尾数)的2倍。如果差是7的倍数,则原数能被7整除。如果数字仍然太大，不能直接观察出来，就重复此过程。即有“截尾 倍2 相减 验差”几步。这个方法，叫“截尾法”。

   例三  308÷7，30－8×2=30－16=14，14÷7=2除尽，所以308能被7整除。

   例四  2338能否被7整除？演算为2338→233－8×2=233－16=217→21－7×2=7，整除。所以2338能被7整除。

    这个方法的缺点是，层次多了一点，又要乘、又要减。

 

               三  由同余理论推导的方法：被7整除的一把锁匙 …231546231

 

    这是我看南秀全、刘汉文编著的《同余理论》时，做习题时的一个新发现，很高兴。锁匙S=…231546231，实际上是…亿位、千万位、百万位、十万位。万位、千位、百位、十位、个位上的1除以7的余数数列。这有点象电算中的逻辑尺。判别时，将被除数P与锁匙S的位数对齐，相乘得PS，并相加得ΣR，ΣR÷7若除尽，则7整除P，亦即P被7整除。怎样操作请看：

    例五   判别  433459÷7能除尽吗？

 

位数                      十万     万     千     百     十    个位

被除数P                     4      3      3      4      5     9

（231，用不到）乘锁匙S   × 5   × 4   × 6    ×2    ×3   ×1

乘积PS                      20     12     18      8     15    9

乘积PS÷7的余数R            6      5      4      1      1     2

余数之和ΣR                  6+5+4+1+1+2=19 ，

  19÷7=2余5，除不尽，所以433459÷7，除不尽。

 

    例六   判别 784÷7能被7整除吗？

 

位数                         百位A    十位B    个位C

被除数P                          7        8         4

（231546，用不到）乘锁匙S      ×2      ×3       ×1

乘积PS                          14       24        4

乘积PS÷7的余数R                 0        3        4

余数之和ΣR                       0+3+4=7 ，

  7÷7=1余0，除尽，所以784能被7整除。

 

    这种算法，比传统判别法要复杂一点。但判别三位数时，也是较实用的。记住锁匙2、3、1。

 

    现在讲原理。

   预先算得：1÷7=0余1，10÷7=1余3，100÷7=14余2，1000÷7=142余6，10000÷7=1428余4，100000÷7=14285余5，1000000÷7=142857余1，…这些余数按位置归位，组成亿、千万、百万、十万、万、千、百、十、个位上的数列231546231，称它为自然数被7整除的锁匙。这就是锁匙的来历。

    再以三位数ABC，来证明判别方法的原理。

    ABC=100×A+10×B+1×C，根据同余式性质：和的同余等于同余的和、积的同余等于同余的积，有：

    ABC÷7的余数ΣR=A×(100÷7的余数S_A)＋B×(10÷7的余数S_B)＋C×(1÷7的余数S_C)

    即  ΣR=A×S_A+B×S_B+C×S_C，，若以7为模的同余为0，即ABC被7整除。

    例六中，A=7、B=8、C=4，相应的各位上的余数S_A=2、S_B=3 、S_C=1，所以

           7×2=14  14÷7=2余0

           8×3=24  24÷7=3余3

           4×1=4    4÷7=0余4

    ΣR=A×S_A+B×S_B+C×S_C，=0+3+4=7，同余7，即同余0，即ABC=784被7整除。

 

                 四  根据同余式性质一：和的同余等于同余的和，来解

 

    如 X=A+B+C，则它们对于模M的同余式为：

      X ≡ a  (MOD M) + b  (MOD M) + c  (MOD M) ，其中a 、b、c为A、B、C对于模M的余数。

       例七  1893464 能被7整除吗？

   将1893464分解为几个数之和

   1893464＝1400000+490000+2800+630+34，则

   1893464≡1400000（MOD 7）+490000（MOD 7）+2800（MOD 7）+630（MOD 7）+34（MOD 7）

    由于1400000÷7、490000÷7、2800÷7、2800÷7、630÷7的余数都为0。而34÷7的余数为6，所以 1893464≡0（MOD 7）+0（MOD 7）+0（MOD 7）+0（MOD 7）+6（MOD 7），最后得

1893464≡6（MOD 7）

    即1893464不能被7整除，余数为6。1893464÷7=270494…6。

    这里请注意，为什么我要选1400000、490000、2800、630呢？因为它们都是7的倍数，即7、14、21、28、35、42、49、56、63、70、77、84、91、98、105…及它们之后可添加适当的0。它们除以7后的余数都为0，这样就使计算很方便。最后剩下34，凑成相加1893464。这样只须判别34就可以了。

上例可以列简单竖式，

 

  1 8 9 3 4 6 4                       又  例八  433459能被7整除吗？（见前）

－1 4                                          4  3  3  4  5  9

    4 9 3 4 6 4                              －4  2

  －4 9                                           1  3  4  5  9

        3 4 6 4                                   － 9  8

      －2 8                                          3  6  5  9

          6 6 4                                   － 3  5

        －6 3                                           1  5  9

           3 4                                     －1  4

而34÷7的余数为34－28 = 6。所以                           1  9

1893464不能被7整除。                  19÷7=2 ，余数5，433459不能被7整除。

 

    这两个算例说明，这个“同余和法”，似乎比“三位分组相减法”、“锁匙法”还要方便。

 

               五  根据同余式性质二：积的同余等于同余的积，来解

 

    如 X=A×B×C，则它们对于模M的同余式为：

       X≡a  (MOD M) ×b  (MOD M)× c  (MOD M)  ，其中a 、b、c为A、B、C对于模M的余数。

 

      例九  1893464÷7

    这个方法，要把一个自然数分解为几个数的乘积，实际上是质因数分解，是很麻烦的事，不适用。但既已到此，姑且凑算一下。首先，我用一个小程序分解出1893464=2*2*2*19*12457。

    而2÷7余2，19÷7余5，12457÷7余4。这样，

     1893464≡2 (MOD 7)×2 (MOD 7)×2 (MOD 7)×5 (MOD 7)×4 (MOD 7)≡160  (MOD 7)  1893464≡6  (MOD 7)，

    与“同余和法”例七的结论相同。但质因数分解甚至比求余还困难，何必走此难路呢。

 

    也可以将1893464分解为几个数乘方之和：

1893464=37⁴+133²+1400+210+4

37⁴≡？ 因为37≡2 (MOD 7) ，所以37⁴≡2⁴  (MOD 7) ≡16 (MOD 7) ≡2 (MOD 7) ，

133²≡？因为133≡0 (MOD 7) ，所以133²≡0  (MOD 7)，

1400≡0 (MOD 7)

210≡0 (MOD 7)

4≡4 (MOD 7)，于是，

1893464≡2 (MOD 7) + 0 (MOD 7) + 0 (MOD 7) + 0 (MOD 7) + 4 (MOD 7) ≡ 6 (MOD 7)

    与例九结论相同。但凑成这种形式，比求余还麻烦，不如直接计算了，何必走此弯路呢。

 

               六  根据同余式性质三：幂的同余等于同余的幂，来解

 

    如 X=A^C×B^D，则它们对于模M的同余式为：

      X≡a^C  (MOD M) ×b^D  (MOD M) ，其中a 、b为A^C、B^D对于模M的余数。

   例十  2¹⁰⁰÷7，问余数多少？

2¹⁰⁰=2^3×33×2=(2³)³³×2……(1)

由于2³=8，所以2³≡1 ( MOD 7) ，而2≡2( MOD  7)，代入(1)

2¹⁰⁰≡1³³×2 ( MOD 7)

2¹⁰⁰≡2 ( MOD 7)

即2¹⁰⁰÷7=Z…2，余2

 

    例十一  52¹⁰⁰÷7，问余数多少？

由于52≡3 ( MOD 7)，所以52¹⁰⁰≡3¹⁰⁰ ( MOD 7)

3¹⁰⁰=3^(2×50)=9⁵⁰ 

9≡2 ( MOD 7)  9⁵⁰≡2⁵⁰ ( MOD 7)

2⁵⁰=2^(3×16)×2² =(2³)¹⁶×4……(2)

又由于2³=8，所以2³≡1 ( MOD 7) ，而4≡4( MOD  7)，代入(2)

2⁵⁰≡1¹⁶×4≡4( MOD 7)，最后，

52¹⁰⁰≡3¹⁰⁰ ( MOD 7)≡ 9⁵⁰ ( MOD 7)≡2⁵⁰ ( MOD 7)≡ (2³)¹⁶×4 ( MOD 7) ≡1¹⁶×4

52¹⁰⁰≡4( MOD 7)

答：52¹⁰⁰÷7的余数是4

    这个方法提供了化繁为简的方法。对小学生不适用，但作为老师，应知道。

 

             七   联想：自然数被13、17、19…整除的判别方法——“首起减倍法”

 

    “同余和法”，给我一个启发，可适用于自然数被13整除的判别。即从首位开始，减13的倍数13、26、39、52、65、78、91… 一层层减到最后，即可判别能否被13整除。

例十二  358436÷13 ， 能被13整除吗？竖式操作：

     3  5  8  4  3  6

   －2  6

        9  8  4  3  6

      －9  1

           7  4  3  6              (  注：  即将358439分解为：

        － 6  5                     358439=260000 + 91000 + 6500 + 910 + 26

              9  3  6               358439≡(0+0+0+0+0)  (MOD 13)    )

            －9  1

                 2  6

    26÷13=2余0，所以358439能被13整除。358436÷13=27572。其他数17、19、23、31等等，也可仿此。

    17的倍数为17、34、51、68、102…

    19的倍数为19、38、57、76、95、114…

    23的倍数为23、46、69、92、115 … 这些数，不必记，到现场时，计算出来就可应用了。

    这个方法可以称为“首起减倍法”，易学易记，适合小学生使用。