“截尾法”判断整除的扩充应用

                                                           ─小学数论一得

    在《再论 任一合数，能被任一质数整除的通用判断方法》一文的余论中，我补充说：“截尾法”的应用范围应当很广。这里的“截尾法”，指的仅是一位尾数、一位尾数的截下去。当合数H位数很多时，可以二位尾数、二位尾数甚至三位尾数、三位尾数的截下去，再作判断，但K不能太大(K最好在9以下)，K大了，多位数相乘运算量就太大，不方便了。所以满足K较小条件的质数不多，只有7、11、13少数几个，这里不再赘述了。

    反正空闲无事，现在再作续论。

                       一  二位一截

    二位尾数、二位尾数一截时，适用于什么质数？相应的k，又是多少？

    设   H=ABCD，判断数P=AB-K*CD，即H=1000A+100B+10C+D、P=(10A+B)-K(10C+D)。令H乘K，得：KH=K(1000A+100B+10C+D)=K(1000A+100B)+K(10C+D)，并求：KH+P

    KH+P= K(1000A+100B)+K(10C+D)+(10A+B)-K(10C+D)

        = K(1000A+100B) +(10A+B)=1000KA+10A+100KB+B

        =10 A(100K+1) +B(100K+1)= (100K+1)(10A+B)

(100K+1)可以分解出一个或两个或三个质数，不同的K对应不同的Z，于是K与Z的关系确定，便可知道那个质数Z应采用那个倍数K。以不同的K计算：

    K             1        2        3        5        8         9

(100K+1)         101      201      301      501      801       901 

分解出的质数z    1*101    3*67     7*43     3*167    3*3*89    17*53

   至此，得到Z与K的对应表：

    Z    3    7    17   43   53   67   89   101  167  

    K    2    3    9    3     9    2    8    1    5

    正如余论中所断言，满足K较小(K小于9)条件的质数不多，此处只有8个。而且还要注意，在一位截尾时，由Z来计算K很容易。但二位截尾时，由Z来计算K很麻烦，因为由Z乘一个数使其乘积的尾数为01，很困难。因此此时K必须死记。

例一  530835能被43整除吗？注意 43的K=3。

530835→5308-35*3=5203

5203→52-03*3=43    判断数 P=43是43的倍数，所以530835能被43整除。

例二  56541858能被167整除吗？注意 167的K=5。

56541858→565418-58*5=565128

565128→5651-28*5=5511

5511→55-11*5=0      判断数P=0是167的0倍，所以56541858能被43整除。

                     二   三位一截

    三位尾数、三位尾数一截时，适用于什么质数？相应的k，又是多少？

    设  H=ABCDEF，判断数P=ABC-K*DEF，即

   H=100000A+10000B+1000C+100D+10E+F、P=(100A+10B+1C)-K(100D+10E+F)。

   令 H乘K，得：KH=K(100000A+10000B+1000C+100D+10E+F)

   =K(100000A+10000B+1000C)+K(100D+10E+F)，并求：KH+P。

KH+P=K(100000A+10000B+1000C)+K(100D+10E+F)+(100A+10B+1C)-K(100D+10E+F)

    = K(100000A+10000B+1000C) + (100A+10B+1C)

    =100A(1000K+1)+10B(1000K+1)+C(1000K+1)

    =(1000K+1)(100A+10B+C)

(1000K+1)可以分解出一个或两个或三个质数，不同的K对应不同的Z，于是K与Z的关系确定，便可知道那个质数Z应采用那个倍数K。以不同的K计算：

    K            1          2         5        6        8

(1000K+1)       1001       2001      5001      601      801

分解出的质数   7*11*13    3*23*29    3*1667   17*353   3*7*127

    至此，得到Z与K的对应表：

   Z     3    7    11   13    17    23   29    127    353   1667

   K     2    1     1    1    6     2    2      8      6     5

   其中判断能被7、11、13整除的方法时，老师会说到三位三位一分，前面的数减去后三位的数，它的差若能被7或被11或被13整除，则整个数能被7或能被11或能被13整除，就是这个道理。为什么不说“减去后三位的几倍”呢？因为倍数是1，所以不必说“减后三位的1倍”了。

例三  10664547能被29整除吗？记着，Z=29时 K=2

10664547→10664-547*2=9570

9570→9-570*2=-1131

1131→1-131*2=261 ，P=261，261/29=9，P是29的9倍，所以10664547能被29整除。

    三位一截法的一个缺点是，当P是个三位数时，往往不能马上作出判断，还得除一下才能有结果，例三就是这样。但在判断能否被7、11、13整除时，还经常用到。问其原理，则多数人答不上来了。

    现在问：有哪几个质数，在一位截尾、二位截尾、三位截尾时，都有K呢？   答：Z=3、7、17，不同截位时的K为：

    Z  一位截尾时K    二位截尾时K   三位截尾时K

    3        2               2              2

    7        2               3              1

    17       5               9              6

                                                    2013-08-07