再论 任一合数，能被任一质数整除的通用判断方法

—关于数论的又一个小见解

 

一  前 言

先做一道小学算术题：2338能否被7整除？老师会教你说：把这个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。如果数字仍然太大，不能直接观察出来，就重复此过程。即有“截尾 倍大 相减 验差”几步。如：2338能否被7整除？演算为2338→233-8*2=217→21-7*2=7，7正是7的1倍，所以2338能被7整除。

这个方法，叫“截尾法”吧。老师还会教你说：被7整除，用的是“减去个位数的2倍”，被13整除，用的是“减去个位数的9倍”，被17整除，用的是“减去个位数的5倍”...这几倍几倍，就统称为K倍吧。

为什么要用2倍、9倍、5倍呢？还有，被19、23等质数整除时，又用什么倍数K呢？此法能不能适用于任一个质数呢？又用什么倍数K呢？这些问号一直在考问着我，又没有能力解决。一般小学辅导书乃至数论著作，也都只列举方法，不讲原理，令人烦恼。

终于在去年，有一个突破，凑出了能被100之内的质数整除时的K，为此发了《任一合数，被100以内质数整除的判断方法》等三篇博文，但阅读量极少，还不到120。今年有点进步，想解答这几个问号，一了百了。

前三文已讲到，合数能被某些质数整除的“截尾法”其判断方法步骤是：

1、将合数H分为尾前数A和尾数V，H为两位数时，H＝10A+V。

2、质数为Z，每一质数有其特有的K值(见下表)。

3  计算判断数P。P＝尾前数A-尾数V乘倍数K，简称“尾前数减尾乘K”

即P﹦A-KV。计算判断数还另有一式，不用减法用加法，其判断数P＝尾前数A +尾数V乘倍数M，P﹦A+MV，M=Z-K。由于用减法要方便些，所以本文只采用 P﹦A－V×K一式。

4、最后作出判断。若判断数P是该质数Z的倍数(包括0)，则此合数被该质数整除。

5、文中已列出100以内质数Z所对应的 K值：

质数Z   7   11   13   17   19   23  29   31   37   41   43 

K    2    1    9   5    17   16  26    3   11   4    30 .

质数Z   47   53  59   61   67   71   73   79   83   89   97 ...  

K   14   37   53   6   20    7   51    71   58   80   29 ...

问题似乎己经解决。但这些K值，实际上是凑算出来的，且每一质数的k都是单独凑出的。后来我想，任何一个质数所对应的K值，原则上讲，都可以一个一个的去凑。但这样无穷的去凑，不是太不科学了吗？这还了得。K的取值应该有一个法则，光靠凑，既不合符严密的数学方法，也是凑不完的。反复推敲，终于在最近灵如天降，悟了出来，我从理论推演中寻出了求K的规律。它适用于任何一个质数，不必凑，不必死记、不必查表，就能在现场快捷求出K值。本文目的之一，就是探讨K应该怎样算才是完美。现写出来供同好参考。

 

二  截尾法原理探索

截尾法不知由谁发现，我钦佩这位发现者。我只能根据他的原则来演算一下，看到底有什么结果。希望得到K是怎样确定的。截尾法原则是：

1、已知合数H=10A+V

2、计算判断数P。P﹦A-KV。注意判断数P已消去了尾数V。

3、判断。如果断数P是被给定的Z的倍数,则合数H能被Z整除。

要计算P必须先知道与Z相对应的K。当K不知时，怎样办？可以先假设一个K，再在算得的结果中，去找出隐含的Z，这样就可得到Z与K的关系。由这个思路出发，可以看出：H中只有一个V，但P中要减去K倍的V，这是不能消去V的。为了能消去V，只能把H放大K倍，计算K*H=KH=K(10A+V)=10KA+KV。再令KH与P相加，得到KH+P=10KA+KV+A-KV=10KA+A=(10K+1)A，这样就消去了V。而(10K+1)A中的（10K+1)总可以分解出一个或两个质数。令这两个质数为T与Z，其中T可以是质数，也可以是1( 当 T=1时，即 (10K+1)中只有一个质数)，这样，就得到(10K+1)=T*Z的关系式。由此可得到Z：Z=(10K+1)/T。其中T随Z的情况而定，因为(10K+1)的尾数始终是1，而除去2与5之外，所有质数Z的尾数是1、3、7、9，所以相对应的T只能是1、7、3、9。才能使T*Z乘积的尾数是1。于是我们可以先设定K=1、2、3、4、5、6、7...来计算(10K+1)，看分解出什么T与Z。

K     (10K+1)   分解出T*Z   说明什么？说明质数Z隐含在(10K+1)中

1       11         1*11         质数11的K=1，

2       21         3*7          质数7的K=2，同时，质数3的K=2

3      31         1*31          质数31的K=3

4      41         1*41          质数41的K=4

5      51         3*17          质数17的K=5，同时，质数3的K=5

6      61         1*61          质数61的K=6

7      71         1*71          质数71的K=7

8      81         9*9           奇数9的K=8

9      91         7*13          质数13的K=9， 同时，质数7的K=9

10      101         1*101       质数101的K=10

11      111         3*37        质数37的K=11，同时，质数3的K=11

12      121         11*11       质数11的K=12，同时，质数11的K=1

13      131         1*131       质数131的K=13

16      161         7*23        质数23的K=16，同时，质数7的K=16

17      171         9*19        质数19的K=17

20      201         3*67        质数67的K=20，同时，质数3的K=20

26      261         9*29        质数29的K=26

为此，我们得到以下认识：

1   K与Z的关系是KH+P =(10K+1)=T*Z、Z=(10K+1)/T、K=(T*Z-1)/10

表中K=2时Z=7。反而言之，Z=7时K=2。这就解开了“被7整除，用的是“减去个位数的2倍”的谜。

表中K=9时Z=13，反而言之，Z=13时K=9，这就解开了“被13整除，用的是“减去个位数的9倍”的谜。

同理可知， Z=17时K=5。Z=19时K=17。Z=23时K=16，Z=29时K=26。Z=31时K=3。Z=37时K=11....等等。这些质数采用的K也就有了着落。

所要注意者，其中质数3的K有2、5、8、11....是公差为3的一系列数，可以只取2。而质数7的K有2、9、16、...是公差为7的一系列数，可以只取2。

这样，质数Z与K挂上了号，什么质数取什么K也就不神秘了，真有了“原来如此”的快感！

2   关于H能否被Z整除的判断问题。从 KH+P =(10K+1)A =T*Z中看出，不论KH与P能不能被Z整除，它两的和，却总能被这些质数Z整除。根据整除基本理论，两个数都能被Z整除，则该两数之和也能被Z整除。所以，此时如果P能被Z整除，那么KH也一定能被Z整除；而KH能被Z整除，那么 H也能被Z整除。但逆定理不存在，即(KH+P)虽能被Z整除，但KH与P不一定都能被Z整除。因此仍要对P作出判断，只有P是该质数的倍数(能被Z整除)，才能确定H能被Z整除。

3  由KH+P = (10K+1)=T*Z的关系式。可知K=(T*Z-1)/10。这样就可由Z来求K，不必靠死记或查表获得K了。例如当Z=7时，T只能取3，于是K=(T*Z-1)/10 =(3*7-1)/10=2。简单地看出，K就是3*7=21中的2。

下面我们以Z=7、31、为例，说明上述理论的应用，怎样由Z反求K，探讨求K的具体方法。

 

          三 先从被7整除说起、兼论为什么还要对P作判别

1  被7整除时，已凑出K=2。设合数H为两位数，H=AV=10A+V。判断数为P=A-KV=A-2V。令K乘H，得KH=2H=20A+2V，则2H+P=(20A+2V)+(A-2V)=21A，这时尾数V己消去，剩下21A。由于21=7*3，能被7整除，所以2H+P=21A也能被7整除。这说明，不论H与P是什么数，2H+P总能被7整除。但2H与P不一定都能被7整除，还得作判别。这有两种情况：

《1》：“不整除+不整除=整除”。2H与P同时不能被7整除，但2H+P可以被7整除。也就是说，如果P不能被7整除，则2H也不能被7整除，也意味着H也不能被7整除。没有P不能被7整除，而2H、H能被7整除的。即没有“不整除+整除=整除”的。

《2》：“整除+整除=整除”。2H与P同时被7整除，所以2H+P被7整除。就是说，若P能被7整除，则2H也一定能被7整除，H也一定能被7整除。所以要先判别P是否能被7整除，才可决定H能否被7整除。

例如：问H=42能被7整除吗？，H=42、即A=4、V=2、K=2，则，2H=84，P=A-KV=4-2*2=0，结果2H+P=84+0=84=21A=21*4。由于21=7*3能被7整除，所以21*4=84也能被7整除。但2H、H与P不一定就能被7整除，还得先判别P。P=0，能被7整除，所以H=42 也能被7整除。

反之又问：H=43能被7整除吗？，H=43、即A=4、V=3、K=2，则，2H=86，P=A-KV==4-2*3=-2，结果2H+P=86-2=84。也能被7整除。但P=-2，不能被7整除，所以H=43也不能被7整除。

2  设合数为三位数，即H=ABV=100A+10B+V、判断数P=AB-KV=10A+B-2V，令K乘H，得KH=2H=200A+20B+2V，则 2H+P=(200A+20B+2V)+(10A+B-2V)=210A+21B=21(10A+B)，这时V消去，剩下(10A+B)，变成两位数，于是再判断10A+B能否被7整除，重复第一次计算。

如果合数为多位数时，便要一位一位判下去，直到最后。

这里请注意2H+P=21A 、2H+P=21(10A+B)，其中21=3*7，所以21里隐含着质数Z=7，与K=2，有文章。

 

四 再看被31整除及被13、19整除情况

被31整除时，己知K=3。设合数为两位数H=AV=10A+V。判断数为P=A-KV=A-3V。令K乘H，得KH=3H=30A+3V，则3H+P=(30A+3V)+(A-3V)=31A，这时尾数V己消去，剩下31A，显然3H+P=31A也能被31整除。根据第一节叙述，P与H要么都能被31整除，要么都不能被31整除。要先判别P，才能知道H是否被整除。

如果合数为三位数，即H=ABV=100+10B+V ，则同理可得判断数为P=AB-KV=10A+B-3V 、KH+P=3H+P=(300A+30B+3V)+(10A+B-3V)=31(10A+B)、于是再判断10A+B能否被31整除。多位数时，也一位一位判下去，直到最后。

这里请注意3H+P=31A、3H+P=31(10A+B)、31=1*31，所以31里隐含着质数Z=31与K=3，有文章。

同理，被13整除时，K=9，有9H+P=91A。

被19整除时、K=17，有17H+P=171A   等等，不再演算了。

 

 

五 理顺KH+P=(10K+1)=T*Z的关系、求任一质数的K的通用方法

由上面4个式子：2H+P=21A。3H+P=31A、9H+P=91A、17H+P=171A，可以看出，它们能统一，表达为通式KH+P=(10K+1)=T*Z。关键在于(10K+1)=T*Z中既隐含着各自的质数，又隐含着各自的K。如上面4例，21、31、91、171中既隐含着各自的K ( 1前面的数 2、3、9、17)，又隐含着各自的质数(7、31、13、19)。

这样，就有了一个求K的新方法，即用公式K=(T*Z-1)/10来计算。不去凑。这不是一个突破吗。但算式K=(T*Z-1)/10中，怎样定T呢？前面己经提到只要把Z*T的尾数凑成1就行了。于是，求K的新方法是，先用Z乘一个特定的数T，使其乘积的尾数为1，而1前面的数也就是K了。

现列表，将上述4个特例及其他Z作以下分析，看怎样找T、怎样求K。

所论质数Z   找一个特定数T      Z*T=？1       1前面的数=？   K=？

     7       3 (只能是3)     7*3=  21 (尾是1)      2        2

    31       1 (只能是1)      31*1= 31 (尾是1)     3        3

    13       7 (只能是7)     13 *7= 91 (尾是1)     9        9

    19       9 (只能是9)     19*9= 171 (尾是1)     17       17 

    41       1 (只能是1)      41*1= 41 (尾是1)     4         4

   221       1 (只能是1)      221*1=221 (尾是1)    22       22

    73       7 (只能是7)      73*7=511 (尾是1)     51       51

    97       3 (只能是3)     97*3=291 (尾是1)      29       29

   569       9 (只能是9)   569*9= 5121 (尾是1)     512     512

 

这样找K，不是比硬凑要有理有据、快捷方便得多吗。怎么去年没有想到呢？实在讲，去年学力还太低，当然想不到，最先只能一个个的笔算去凑，后来更动用电子表格成批地算，其实也是凑。现在上升到理论高度来推算，才得到这个方法。这样说来，去年岂不是白费工夫吗？不、不。我想，若没有先凑，怎样能得到现今的正果呢？所以去年的凑算，也是非常有意义的了。

求出K后，才能算P，再进入整除的判断。

 

六 任一合数H，被任一质数Z整除的判断步骤、七个例

给出Z与H，Z能整除H，或H能被Z整除的判别，分三步。

第一步：先求该质数Z所特有的K。

第二步：由合数H=AV，按“判断数=尾前数减尾乘K”即 P=A-VK公式，一位一位判下去，直到最后。

第三步：若最后的判断数P是该质数的倍数，则此合数被该质数整除。

 

例一：44499能被163整除吗？

1求163的K。163*7=1141、K=114。你看，求K如此简单快捷，哈哈！

2 求判断数P。44499→4449-9*114=3423   、3423→342-3*114=0  即P=0

3  P=0，0能被163整除，所以44499能被163整除。

 

例二：3005617能被89整除吗？

1求89的K。89*9=801、K=80

2 求判断数P。3005617→300561-7*80=300001 →30000-1*80=29920

29920→2992-0*80=2992  →299-2*80=139  

P=139，139不能被89整除，所以3005617不能被89整除。

 

例三：686457能被89整除吗？

1 求89的K。89*9=801、K=80

2 求判断数P。686457→68645-7*80=68085    →6808-5*80=6408

              6408→640-8*80=0

3 P=0，P能被89整除，所以686457能被89整除。

 

例四：451703能被1211整除吗？

1 求1211的K。1211*1=1211、 K=121

2 求判断数P。451703→45170-3*121=44807

44807→4480-7*121=3633

3633→363-3*121=363-363=0

3  P=0，P能被1211整除，所以451703能被1211整除。

 

例五：44405能被7775整除吗？

注意，7775是一个合数，没有它的K 。因为找不到一个特定的T与它相乘，能得到尾数为1的乘积，所以找不到K。先分解因数得7775=25*311。这样，首先要考虑44405能否被25整除，再考虑能否被311整除。被25整除，则被除数最后两位应是00、25、50、75、现在44405不满足这条件，所以44405不能被25整除。这就不必再试311了，44405不能被7775整除。

 

例六：816275能被7925整除吗？

1、注意，7925也是合数，同上，先因数分解，得7925=25*317。所以先考虑816275除以25的要求  是否满足。被除数816275，最后两位75，可满足这条件。于是再考虑816275能否被317整除。

2  于是求317的K。317*3=951 、 K=95

3  求判断数P。816275→81627-5*95=811525

81152→8115-2*95=7925

7925→792-5*95=317

4   P=317，能被317整除。所以816275既能被25整除，又能被317整除，即816275能被7925整除。

 

例七：274704能被776整除吗？

 1、注意，除数776是偶数，它也没有K。先分解，776=2*2*2*97=8*97，所以先考虑能否被8整除，合符后，再考虑能否被97整除。

 2  能否被8整除的条件是，看末三位能否被8整除，现274704末三位是704，704/8=88，可以。于是再考虑能否被97整除。

 3  求97的K。97*3=291 、 K=29

 4  求判断数P。27470-4*29=27354→2735-4*29=2619→261-9*29=0

5   P=0，即274704能被97整除。274704既被8整除、又被97整除，所以274704能被(8*97=)776整除。

 

七  余 论

1  数论中，判别能否整除的方法很多，如数字之和法、奇偶位比较法等，但“截尾法”比其他方法具有系统性的特色，它不是针对某些数的特殊性而想出来的特殊方法，而是一个通用的方法。它适用于任何数。

2  前已提到，判断数P也可以采用加法，P=A+MV。这时的M，不必算了，它就是Z-K。如Z=7，用减法P=A-KV时，K=2，即P=A-2K。用加法P=A+MV时，M=Z-K=7-2=5，即P=A+5M。

例八：2569能被7整除吗？用P=A+MV判断。

 1  求7的M。先求K，7*3=21、K=2。再求M，M=Z-K=7-2=5。

 2  求判断数P=A+5V。2569→256+9*5=301→30+1*5=35

3   P=35，35是7的倍数，所以2569能被7整除。

3  遇到合数时，先要分解出偶因，剩下奇数，再作“截尾法”判断，见例六、例七。但有的合数是奇数(尾为1  3  7  9)，一时又分解不出来，怎样办？也可直接采用本法，先求K，再由P=A-KV判断其整除性。

例九：97266能被377整除吗？377其实是合数(377=13*29)，但一下子又分解不出，不管它了。

1  求377的K，377*3=1131，可知K=113。

2  判断数P=A-113V。97266→9726-6*113=9048

9048→904-8*113=0。

3   P=0，能被377整除，所以97266能被377整除。

4   “截尾法”的应用范围应当很广。这里的“截尾法”，指的仅是一位尾数、一位尾数的截下去。当合数H位数很多时，可以二位尾数、二位尾数甚至三位尾数、三位尾数的截下去，再作判断，但K不能太大(K最好在9以下)，K大了，多位数相乘运算量就太大，不方便了。所以满足K较小条件的质数不多，只有7、11、13少数几个，这里不再赘述了。

一年来进步小小，仅写此一文。每个人的学力都有一个极限，我想，这可能是我的极限了，且留下这个记印。

2013-08-06于佛山