《三角形的中位线》教学设计

西安市鄠邑区涝店初级中学    刘美荣

教材依据：三角形的中位线位于初中数学北师大版八年级下册第六章第三节

一、设计思路

（一）指导思想：依据《数学课程标准》及新课程理念要求：“将数学建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验上，教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助学生在自主探究、合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能，数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者。

（二）教学目标

    1.理解三角形中位线的概念，会证明三角形的中位线定理，能应用三角形中位线定理解决相关的问题；

    2.进一步经历“探索—猜想—证明”的过程，发展探究能力、推理论证的能力；培养学生逆向思维及分解构造基本图形解决较复杂问题的能力，培养数学应用意识。

    3在命题的证明过程中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力；利用制作的Powerpoint课件，创设问题情景，激发学生的热情和兴趣，激活学生思维。

    4.在定理的证明和应用过程中体会归纳、类比、转化等数学思想方法。

（三）教学重难点

重点：三角形中位线性质定理的证明及应用。

难点：用添加辅助线的方法来推理证明三角形中位线定理和性质的灵活应用。

（四）教学方法与学法指导
对于三角形中位线定理的引入采用发现法，在教师的引导下，学生通过操作、探索、猜测等自主探究的方法先获得结论再去证明。在此过程中，注重对证明思路的启发和数学思想方法的渗透，提倡证明方法的多样性，而对于定理的证明过程，则运用多媒体演示。

二、教学准备

【策略】

课堂组织策略：组织学生复习旧知识，联系实际，创设问题情景，逐层展开，探索新知，并精心设计各环节、练习题、达到巩固知识，解决问题的目的。

学生学习策略：明确学习目标，了解所需掌握的知识，在教师的组织、引导、点拨下，通过观察、归纳、抽象、概括等手段，获取知识。

辅助策略：借助“Powerpoint”平台，向学生展示动感几何，化抽象为形象，帮助学生解决学习过程中所遇难题，提高学习效率。

【主要创意思路】

    1、用实例引入新课，培养学生应用数学的意识；

    2、鼓励学生大胆猜想，用观察、测量等方法来突破重点、化解难点；

    3、以学生为主体，应用启发式教学，调动学生的积极性；

    4、利用开放型练习代替传统练习，启迪学生的思维、开阔学生视野；

    5、通过多媒体教学，揭示几何知识间的内在联系及概念的本质属性。

【教具和学具的准备】

    教具：多媒体、投影仪、三角形纸片、剪刀、常用画图工具。

    学具：三角形硬纸片、剪刀、刻度尺、量角器。

三、教学过程

第一环节：创设情景，激发兴趣

    A、B两地被池塘隔开不能直接到达(如图)，工程人员要测量A、B两地的距离，先选定能直接到达A、B两地的点C，

A .

B

.

M

C

N

又分别取AC、BC的中点M、N，量出MN的长，由此就知道了A、B两地的距离．你知道其中的道理吗？

    引入课题：学完了本节课《三角形的中位线》你就能解决这个问题了。

【设计意图】：此处设计一个问题情境，通过对所提问题的思考与解决，自然而然地引出了三角形的中位线的概念，并在所讨论的图形中隐含着三角形的中位线与底边的关系。

第二环节：借机引导，明确概念

1、上图中的线段MN是三角形中很重要的一条线段——中位线

教师引导学生总结三角形的中位线的定义：

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线

2、三角形的中位线与中线的区别

	三角形中位线	三角形中线
概念
图形
条数

第三环节：问题引领，启动思维

（一）问题：

    1、你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？

学生用事先准备好的三角形来分，将分得的三角形叠放在一起，看看能否全等，学生通过操作进一步的理解三角形的中位线，教师巡视指导。最后请一学生上台演示，统一观点。

2、你能通过剪拼的方式，将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？

学生先小组内讨论，试着完成操作。

师生再共同总结操作过程：

（1）拿出事先准备的三角形，记为△ABC

（2）分别取AB,AC中点D,E，连接DE

（3）沿三角形的中位线DE将△ABC剪成两部分，并将△ADE绕点E旋转180°到△CFE的位置，这样就得到与△ABC面积相等的四边形BCFD.。

（二）思考：所得四边形BCFD是平行四边形吗？

教师引导学生思考平行四边形的判别方法。

（1、定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

4、对角线互相平分的四边形是平行四边形。）

（三）探索结论：若四边形BCFD是平行四边形，那么中位线ＤＥ与第三边

ＢＣ有怎样的位置和数量关系呢？能证明你的猜想吗？

（让学生大胆猜想，开拓思维）

【设计意图】：通过一个有趣的动手操作问题入手，激发学生的求知欲和好奇心，培养学生动手操作能力，然后设置一连串的递进问题，启发学生逆向类比猜想：ＤＥ∥ＢＣ，ＤＥ＝½ＢＣ，为定理的证明做好铺垫。

第四环节：合作交流，自主探索

（一）、交流猜想（鼓励学生说出自己的猜想，并说出猜想的方法）

①    三角形的中位线与第三边有怎样的关系？

②    你是怎样猜想出这一结论的？

③    归纳猜想方法：①直观感觉  ②度量  ③推理 ④多画几个图观察 ⑤借助几何画板拖动原三角形的顶点观察（感受猜想策略的多样性）

④    教师用几何画板演示：①拖动点A，随着△ABC形状的改变，DE还是△ABC的中位线吗？线段BC的长度是否发生改变？DE和BC的关系还成立吗？

②拖动点B，随着△ABC形状的改变，DE还是△ABC的中位线吗？线段BC的长度是否发生改变？DE和BC的关系还成立吗？

（二）、得出结论：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。（板书） 

（三）、小组合作证明这一命题（教师巡视、指导）

要求：画图，写出已知、求证、证明过程。学生先独立解答，再小组讨论，教师适当加入学习小组进行讨论。 

（四）、交流证明方法

第五环节：师生共析，证明定理

（一）、学生交流解题思路后，将证明过程用实物投影展示（引导学生找出证明过程优点和不足，进一步规范文字命题的证明步骤）

已知：如图6-20（1），DE是△ABC的中位线.

求证:DE∥BC,DE=1／2BC

证明:如图6-20(2),延长DE到F,使

EF=DE,连接CF.

在△ADE和△CFE中

∵AE=CE,∠1=∠2,DE=FE

∴△ADE≌△CFE

∴∠A=∠ECF,AD=CF

∴CF∥AB

∵BD=AD

∴BD=CF

∴四边形DBCF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。）

∴DF∥BC（平行四边形的定义）,DF=BC（平行四边形的对边相等）

∴DE∥BC,DE=1／2BC

能力提升：还有其他不同的证明方法吗？

学生展示不同的做法：

证明方法二：如图

过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F ,

∴BD∥CF, ∠ADE=∠F.

∵∠AED=∠CEF,AE=EC,

∴△ADE≌△CFE(AAS)

∴AD=CF,DE=EF=1／2DF

∵BD=AD

∴CF=BD

∴四边形DBCF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

∴DF∥BC,DF=BC

∴DE∥BC,DE=1／2BC

证明方法三：学生自己展示，讲解。

（二）、归纳总结解题思路：

①证明线段平行：可以由角相等或互补得平行，由平行四边形得出平行。 

②证明一条线段等于另一条线段的一半，当根据条件和图形直接证明困难时可添加辅助线，通常采用“加倍法”（将较短线段延长一倍）或“折半法”（将较长线段折半）构造全等三角形、平行四边形来证明。

（三）、得出定理：把这一真命题作为一个定理——三角形中位线的性质定理

三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。

  分清定理的条件和结论，

   并用符号语言表示定理： 

 ∵DE是△ABC的中位线（或AD=BD,AE=CE或D为AB的中点，E为AC的中点）

 ∴DE∥BC, DE=1／2BC

【设计意图】：培养学生互相学习、合作的好习惯。另外通过展示的规范化板书，严密的几何证明, 使学生理解证明过程的严谨性，由感性到理性,使学生经历定理的探究过程,积累数学活动的经验.并通过一题多解，开拓学生的解题思路。

第六环节：灵活运用，自我检测

内容:如图,顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形的形状有什么特点？

学生容易发现：四边形ABCD是平行四边形，并证明你的结论。

已知：如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，

求证：四边形EFGH是平行四边形．

 

分析：

已知四条线段的中点，可设法应用三角形中位线定理，找到四边形EFGH的边之间的关系．而四边形ABCD的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连结AC或BD，构造“三角形的中位线”的基本图形．

证明：

    投影展示学生的证明过程

总结：教师提问：你们从中得到了什么结论？

      学生小结：连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形。

      教师点拨：连接四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形。

【设计意图】：通过探究使学生灵活应用三角形中位线定理解决相关问题，进一步训练学生严谨的逻辑推理能力，体会通过添加辅助线将四边形的有关问题转化为三角形的问题，从中体会转化思想。

A .

B

.

M

C

N

第七环节：反馈矫正，巩固提升

1.     A、B两点被池塘隔开，小明通过下面的方法估测出了A,B间的距离：在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN = 20m，A、B两点的距离就知道了。那么A、B两点的距离是多少？为什么 ？

2．已知:三角形的各边分别为6cm,8cm, 10cm，则连结各边中点所成三角形的周长为     cm,面积为      cm²,为原三角形面积的       。

3．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、CD、

AC、BD的中点 。四边形EGFH是平行四边形吗？

请证明你的结论。

【设计意图】：呼应开头，用所学知识解决现实问题，体现数学来源于生活并指导生活同时巩固三角形中位线定理,兼顾平行四边形判定定理的熟练运用.

第八环节：总结归纳，畅谈收获

（多媒体出示）

我学会了哪些知识？

我形成了哪些技能？

我掌握了哪些方法？

我收获了哪些经验？

【设计意图】：用多媒体出示了总结性问题，引导学生从不同方面回顾反思，自我评价。帮助学生理清课堂思路，总结过程和方法，进一步强化情感体验。通过不同层面的广泛交流，发展学生的表达能力，养成反思的习惯。

第九环节：分层作业，拓展延伸

A组习题 1, 2题       B组习题3，4题

【设计意图】：为使不同层次的学生得到不同的发展，特设计了分层作业。通过作业巩固三角形中位线定理并为以后的学习做好铺垫。