最近网上找到一本介绍 ZF 公理系统的书《基础集合论》（Update: 原先书名有误，已改正，作者董延闿，北京师范大学出版社出版），看着很有意思，就在这里顺便记个笔记……  

    好了废话不说直接开始：集合论的基本概念是集合。
    关于什么是集合，Cantor 曾经作出这样的描述：“一个集合是我们直觉中或理智中的，确定的，互不相同的事物的一个汇集，被设想为一个整体。”这与我们的经验是一致的：一个集合的元素是确定的，也就是说不管什么东西，要么属于这个集合要么不属于，没有模棱两可的情况；一个集合的元素互不相同，也就是说集合中相同的元素只算一个，元素属于集合就是属于，没有属于两次属于三次等等的区别。
    但是，我们不打算给集合下这样一个定义，因为这个定义里的“汇集”“整体”等概念并不比“集合”简单。我们直接把集合当作不定义的原始概念。当然，“某个东西是否属于某个集合”的判断要保留下来，我们把“属于”也看作原始概念，并且把“ a 属于 A ”记作

    此时，也说“ a 是 A 的元素”或“ A 包含 a ”。
    集合的元素是什么？对这个问题的回答是：集合的元素还是集合。我们讨论的是抽象的集合论，只考虑集合与集合的相互关系。另外，别忘了我们这里的基本概念只是“集合”，它是不定义的，因此不妨碍我们把集合的元素也看做集合。这样的理论并非没有用处：比如说，有的数学分支需要用到实数，这个时候我们先用集合论的语言定义实数，然后，当然就可以愉快地用集合论的结论了……
    除了属于关系，我们把“等于”关系也看作基本关系，我们说“ A 等于 B ”，指 A, B 是同一个东西，记作：

    这也就是说，它们在任何情况下都可以互相代替。比如说，如果有 a∈A 且 A=B，那么 a∈B 也对。
    集合中的元素是确定的，我们经常用条件来确定集合，为此，要给“条件”下一个明确的定义，而在此之前，先引入集合论公式的概念：
    集合论公式（相当于我们常说的命题）
    首先，规定下面两类式子是集合论公式（被称为原子公式）：

    其中，字母 a, b 可以换成任意字母。
    除此之外，允许使用以下七个逻辑符号（非、或、且、蕴涵、当且仅当、对任意、存在）：

    我们规定，若 φ, ψ 是公式，则

也是公式。
    记 φ(x) 是一个含 x 的公式（也可以含其他字母），我们规定

也是公式。
    由此，我们可以把各种原子公式用逻辑符号连接，写成越来越长的公式。另外，连接公式的时候，经常要加一些括号，以明确结合的顺序。
    另外，后面我们经常需要定义新的符号，而且会经常用这些符号简化公式，只要它们能还原为用如上方法定义的公式即可。例如，我们可以定义不等于、不属于，以及包容、真包容：（“:=”意思是“定义为”）

    注意，这里用“包容”来指通常所说的子集关系，而“包含”如前所述，指的是属于关系，这两个词是不同的。再次强调：虽然上图用大写字母代表集合，小写字母代表集合的元素，但是一定要记住集合的元素仍然是集合。
    由我们对集合的直观理解，我们容易想到：若两个集合包含的元素完全一样，那么这两个集合就是一个东西（也就是相等）。我们引入一个公理来保证它的正确性：
    外延公理 对任意的集合 A, B，若对任意的 x 都有 x 属于 A 当且仅当 x 属于 B，那么 A=B 。

    这条公理在后面用得非常频繁（如果没这条公理，我们就根本没什么工具来证明两个集合相等了）。
    集合论条件
    扯了半天终于说到了集合论条件，它定义在集合论公式的基础上：当且仅当 C(x) 是一个含 x 的公式（也可以含其他字母）并且不含 ∀x 和 ∃x，称 C(x) 是 x 的一个集合论条件（简称条件）。
    我们在中学学过描述法表示集合，在这里，很多时候我们可以用条件确定集合：对于一个条件 C(x)，如果存在一个集合 A 恰好包含所有使 C(x) 成立的 x，也就是说

那么我们说 C(x) 是使 x 属于 A 的一个条件，并且记

    给定一个条件，它确定的集合最多有一个（若两个集合都被它确定，容易由外延公理得出这两个集合相等）。任意一个条件都能确定一个集合吗？直觉上来看，我就愿意把所有满足条件的东西都放在一起，这有什么不可以的？以前人们就是这么想的，随便弄个条件就有对应的集合，只要脑洞开得够大，集合就能很大，人们就这样不断开脑洞，直到有人考虑了这样的集合：

    有人会问，照这样说，莫非还有自己包含自己的集合？当然有了，考虑条件 x=x 确定的集合，显然一切集合都属于这个集合，那它自己当然属于自己。把这个式子换种方法写，就是

    既然对于任意集合 x 都成立，令 x=A 我们就有

    见鬼了，我们每步推导都没错啊，居然得到一个明显不成立的式子！因为这个悖论（被称为 Russell 悖论），人们回过头去想，随便给一个条件就能确定集合，这也太扯了。“所有集合组成的集合”，这特么是啥玩意？这下人们才意识到，集合不是说造出来就造出来的，必须用一些公理来规定什么集合是合法的，什么集合是不合法的，这就是本文要介绍的 ZF 公理系统。

    集合论研究的对象是集合，不管怎样，首先要承认一些合法的集合，这样构建的理论体系才有意义。我们从空集开始，引入一条公理，保证空集是合法的：
    空集公理 存在不包含任何元素的集合。

    由外延公理，若两个集合都不包含任何元素，它们必相等，于是上述定义的集合 A 是唯一的，把它称为空集，记作 ∅ 。
    在叙述下一条公理时，我们回过头先讨论一下“包容”的性质。由包容的定义及外延公理，容易证明对任意集合 A, B, C，下列三条性质（自反性、反对称性、传递性）是正确的：

    另外，对于空集，有性质

    对此要简单证明一下：这个公式实际上就是

    一定要注意，蕴涵符号连接两个公式时，当且仅当第一个公式不成立，或第二个公式成立时，整个命题成立。看这个式子，我们发现 x∈∅ 永不成立，于是整个命题是成立的。
    回到之前的讨论，我们已经认识到，满足条件 C(x) 的一切 x 不一定能组成一个集合，难道我们学的描述法表示集合都白学了？我们可以退一步，假设已知一个集合 A，把这个集合里所有满足 C(x) 的 x 拿出来，这下总可以组成集合了吧。这是在一个已知集合的内部考虑问题，自然限制了那些不靠谱的脑洞，于是我们把它当成了一条公理：
    子集公理 对于每个条件 C(x) 及任意集合 B，存在一个集合 A（字母 A 不出现在条件 C(x) 中），恰好包含 B 中一切满足 C(x) 的元素 x 。

    由外延公理，上述定义的集合 A 是唯一的，我们（用之前规定的记号）把它记作：

    或者，为了强调 A 是 B 的子集，也可以写成这样：

    这个记号跟描述法表示集合是一样的。
    接下来，我们推导一个结论：不存在包含一切集合的集合。实际上，这个结论可以写成

    根据逻辑知识，它实际上就是

    证明的方法，实际上就是 Russell 悖论的翻版：对任意集合 A，由子集公理，我们考虑下面的集合：

    那么，若 B∈A，我们就可以得到 B 属于 B 当且仅当 B 不属于 B，这是不可能的。
    可以看到，利用规定的公理，我们把“万有集”踢出了集合的队伍，同时也就给了悖论一个合乎逻辑的解释（至少“对任意集合，总存在不属于它的元素”听起来似乎比“所有的集合不能组成一个集合”感觉比较正确），由此还可以看到，条件 x=x 不能确定一个集合（否则这就是一个包含一切集合的集合了）。
    然而，现在我们还不能用空集来构建别的集合，这需要下面的公理支撑：
    偶集公理 给定集合 a, b，存在集合 A 恰好以 a, b 为元素。

    由外延公理，上述定义的集合 A 是唯一的，我们把它记作 {a, b} 。
    根据前面的记号，我们可以记

    容易看出：{a, b}={b, a} 。注意，在这条公理中并没有排除 a=b 的情况，当 a=b 时，我们给一个特别的记号

    由定义我们可以推出

    这样，我们就可以构造一些比较简单的集合了，比如说下面这些都是集合：

    然而，像 {∅,{∅},{{∅}}} 这样的集合我们还构造不出来，我们需要下面的公理：
    并集公理 对任意的集合 M，存在集合 A，恰好包含属于 M 中至少一个集合的一切元素。

    由外延公理，上述定义的集合 A 是唯一的，我们把它记作 ∪(M)，也就是说

    说白了，并集公理就是对一个集合的所有元素（别忘了它们都是集合！）求并集。但是，从另一个角度来看它，也是有用处的：对集合求并，就是把这个集合的元素的元素组成一个新的集合。再换种说法，就是撤掉里面的一层大括号，例如说

    撤掉里面一层大括号，得到 a, b, a, c, c, d，再把重复的去掉就得到 a, b, c, d，注意：等号右边的集合我们暂时还没有定义，此时可先按直觉理解，稍后我们就定义这种集合。
    由定义，M 的任何元素都是 ∪(M) 的子集：任取 X 属于 M，对任意的 x 属于 X，由并集定义 x 必属于 M，再由包容的定义，X 必为 M 的子集。
    接下来，看两个特殊情况：

    根据定义，这些都容易推出来，下面直观解释一下：集合的并，就是它的元素的元素组成的集合。空集连元素都没有，更谈不上元素的元素了。对于只含一个元素 A 的集合，它的元素的元素当然就是 A 的元素。我们自然会想到，对前面定义的偶集 {A, B} 求并结果会怎么样？它的元素的元素，就是 A 的元素或者 B 的元素……这恰好是我们接触过的两个集合的并集。我们定义

    于是容易得出

    根据此式，就容易得到两集之并的一系列性质（交换律、结合律等等），并且可以得到

    不仅如此，我们还可以定义

    这样我们就有

    有必要提醒一下为什么从 {a, b} 开始，不从 {a} 开始：若只定义 {a}，用并集公理是定义不出 A∪B 的。
    并集的事大概就这么多，定义完并集当然要定义交集。有趣的是，定义交集并不需要公理：若干个集合求交集，必然是其中任意一个集合的子集，这用子集公理足够了。具体来说，任意给定集合 M≠∅，存在集合 X_0 属于 M，于是由子集公理，存在唯一这样的集合

    显然对任意的 x，x 属于 A 当且仅当 x 属于 M 的每个元素。我们把它写成定理：对任意非空集合 M，集合

存在且唯一，把它记作 ∩(M) 。由定义，∩(M) 是 M 的任何元素的子集。
    以后，我们还会多次遇到给定条件（在这里条件是：x 属于 M 的任意元素）造集合的情况，如果能找到一个包容集（在这里是 X_0）使得任意满足条件的 x 都属于它，那么由子集公理就可以造出想要的集合。刚才在造偶集和并集的时候，条件是已知的（分别是“ x 属于 a 或 x 属于 b ”和“ M 中存在一个元素包含 x ”），但是找不到包容集，就只能去设立公理了。
    另外，求交集有个地方千万要注意：对空集求交没有意义。在刚才的式子里令 M=∅，会发现这个集合的条件总是成立的（因为 X∈M 永远不对），但是前面我们已经证出，不存在包含一切集合的集合。这看起来很奇怪，空集的交集竟然包含了一切集合？实际上可以这么理解：除非能找到 M 的一个元素 X 不包含 x，从而得出 x 不在 M 的交集里，否则是没有什么可以阻拦 x 成为 ∩(M) 的一个元素的。如果 M 里本来就没有元素，那随便一个 x 都能成为 ∩(M) 的一个元素了。
    后面对集合求交，必须先判断该集合非空。
    与并集完全类似地，我们可以写

    两个集合求交集也满足交换律结合律，并集交集结合还有一堆性质，这些都容易证明。接下来我们定义差集：

    证明该集合存在且唯一很简单：这里 A 是我们要找的包容集。进一步对于某个全集，我们可以定义补集，常用的 de Morgan 法则也容易证明。
    最后，再介绍一条公理，它经常被用来找包容集：
    幂集公理 对任意的集合 A，存在集合 P，恰好包含 A 的一切子集。

    由外延公理，上述定义的集合 P 是唯一的，我们把它记作 P(A) 。显然，任意集合的幂集都包含空集（因为任意集合都包容空集）。我们以一个小结论的证明来结束本文：对任意集合 A，有

    证明如下：若 x 属于等式左边的集合，则我们有

    这里先用了并集定义，然后用幂集定义，最后用子集定义就出来了。直观理解：若某个元素属于 A 的某个子集，它当然也属于 A 。

    这里我们用了一个前面说明过的事实“任意集合包容它自己”，然后用了幂集定义和并集定义。最后由外延公理，所证结论成立。直观理解：对 A 的所有子集求并，并集一定包容 A 的所有子集，特别地，包容 A 本身。
    下一篇文章里，将定义有序对的概念，在此基础上严格定义并讨论关系和函数。