4.5三角形的中位线

                 杨素娟

一、教材分析

   三角形中位线是三角形中重要的线段，三角形中位线定理是一个重要性质定理，它是前面已学过的平行线、全等三角形、平行四边形、相似三角形等知识内容的应用和深化，又是以后的几何推理、证明中不可或缺的知识财富。在三角形中位线定理的证明及应用中，处处渗透了化归思想，它在今后的学习中有着重要的作用，并能拓展学生的数学思维。

二、学情分析

    本班学生基础都比较差，总体接受新知识很慢，知识迁移能力处于弱势，数学思想方法的灵活运用也有待提高。因此，本节课着眼于基础，注重能力的培养，积极引导学生首先通过实际操作获得结论，然后借助于相似三角形的有关知识进行探索和证明从而提高学生的整体水平。

三、目标分析

（一）根据教学大纲要求结合教材内容和学生现状，本节课确定以下目标：

   （1）知识目标：

    理解三角形中位线的概念；

    掌握三角形中位线定理；

    初步学会用三角形中位线定理解决一些简单问题。

   （2）能力目标：

    培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；

    培养学生运用化归方法解决问题的能力。

   （3）情感目标：

    培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度；

    在探索过程中，体验成功的喜悦，树立学习的信心。

（二）重点和难点：

    根据以上教材分析，确立本节课

  重点是：三角形中位线定理及其应用；

  从学生知识掌握的现状分析来看，如何适当添加辅助线、如何利用化归

思想来解决问题，是学生学习的困难所在，因此确立本节教学

  难点是：添加辅助线构造含有中位线的三角形。

四、教学过程

五、 （一）创设情境，引入课题 问题1：某地大地震牵动着全国人民的心.B、C两个地方被倒塌的楼房隔开了，为了测量B、C间的距离，一名测量人员另选了一个点A，使A、B、C三个点构成一个三角形，并在AC、AB边上分别找到它们的中点E、D，测量ED后，这位测量者认为2ED就是BC，你认为这位测量者的做法妥当吗？所得结果正确吗？

 

 

（二）对比归纳，建构概念

      E、D是AC、AB 边上的中点

   问题2：线段DE 与中线CD 有什么不同？

在对比中引入概念：

        连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

      

 画一画：一个三角形一共有几条中位线?           

 

        请学生动笔画出ABC的所有中位线.

 

（三）合情推理，大胆猜想

       问题3：中位线DE和第三边BC之间什么关系？你能有什么猜想？

 

 

提出猜想：  位置上: DEBC ；数量上:  DE＝ 1/2 BC

 

 

（四）演绎助阵，证明定理  

思路一：平行四边形的性质进行证明

证明：延长DE到F，使EF=DE，连结CF.

 

 

 

 

 

 

中位线定理的证明方法较多，因为不作为本节课的重点，所以这里只选用了一种学生比较熟悉的直接证法

进一步认识定理（三种语言的转换）

三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半.

几何语言表述定理                          

                                    DE是ΔABC的中位线                 

                                                                      

∴DEBC ；  DE＝ 1/2 BC               

 

                

一个条件：DE 是ΔABC  的中位线；

两个结论：位置关系和数量关系；                         

作用：在已知两边中点的条件下，证明线段的平行关系及线段的倍分关系．

 

今后证明两直线平行的基本思路：

（1）由角的关系证明平行；（2）由特殊点（中点）证明平行

 

 

（五）巩固新知，应用拓展  

    练习1：解决实际问题1

 问题1：某地大地震牵动着全国人民的心.B、C两个地方被倒塌的楼房隔开了，为了测量B、C间的距离，一名测量人员另选了一个点A，使A、B、C三个点构成一个三角形，并在AC、AB边上分别找到它们的中点E、D，测量ED后，这位测量者认为2ED就是BC，你认为这位测量者的做法妥当吗？所得结果正确吗？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

练习2：如图，D、E、F  分别是AB、AC、BC  的中点 .

 

（1）若∠AED=30°，则 ∠ C=_____°；             

（2）若EF=5cm，则AB=     cm；若BC=9cm，则DE=      cm；

（3）若M、N分别是BD、BF的中点，AC=10cm ， 则MN=__cm；

（4）在ABC 中，添加一个条件______，使DE=EF  .

 

 

问题4：三角形中位线与第三边上的中线有什么关系？

例题  求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形。

    已知：如图，在四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点。

    求证：四边形 EFGH 是平行四边形。

证法一：联结 AC.

 

 

 

 

证法二：连结 AC、BD.

 

 

 

 

继续运行程序可以看到，把等量关系改为平行关系，证明过程完全相同。

本例题选自课本，证法一与课本相同。

引导学生分析为什么要连辅助线。

这里增加的证法二，是让学生知道单独使用定理的两个结论同样可以达到目

的。

课堂小结

1.中位线定理在同一条件下有两个结论，一是表明

位置关系，一是表明数量关系，应用时要根据需要而选择。

2.在应用中位线解四边形问题时，关键是作辅助线，

构造含有中位线的三角形。

3.  遇到多个中点时，联想中位线定理.

布置作业 1.作业本 基础练习部分

2.课本P100作业题第三题