《数系的扩充》教学设计

周至中学　王劲苍

【教材分析】

本节课是北师大版数学选修2-2中的内容，本节是该章的基础课、起始课，具有承上启下的作用。通过引入虚数，我们把实数集推广到了复数集，这是中学课程里数的概念的最后一次扩展。引入复数后，不仅可以使学生对数的概念有一个初步完整的认识，也为进一步学习数学奠定基础。但在实际生活中应用是复平面这一几何问题出现之后。复数是一门新兴的数学语言，他为我们未来用代数方法解决几何问题提供了新的方法。

【学情分析】

这一章节的内容相对于其他章节来说，属于相对独立的一个章节，学生不需要学习其他内容就可以接触这一章节。由于本节内容在高考中要求不高，难度也不大，故教学时可以较多的结合数学文化，这样既可以激发学生的兴趣，调节课堂的气氛，又能在探究数系的过程中，让学生了解引入复数的必要性，认识到这是由实际需要决定的，感受数学文化的应用价值。

【三维目标】

1.知识与技能：了解虚数和虚数单位的概念；理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的条件

2.过程与方法：由解方程的发展领悟复数引入的重要性，在探索复数概念中增强交流和表达能力，在学习复数相等的条件时强调等价转化意识。

3.情感、态度与价值观：

通过数系扩充的探究和活动过程，发挥主观能动性，认识数和世界的关系。

【教学重点】复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的条件

【教学难点】复数概念的理解

【教学方式】启发引导式，学生分组讨论

【教学手段】多媒体演示

相关历史：任何地方都有矛盾，数学也不例外。历史上，数学存在很多矛盾，比如正和负，加和减，微分和积分，有理数和无理数，实数和虚数等等，在数学史上，矛盾的激化和解决始终存在，当矛盾激化到一定程度时，就产生数学危机，而在数学危机解决之后，数学就有了新的发展。

        无理数的产生，在古代的数学观点看来，每一个有理数都对应着直线上的一个点，如此就可以将直线上的所有点都用到，然而毕达哥拉斯学派在之后发现直线上有不对应有理数的点，具体例子就是，边长为单位长度的正方形的对角线的长度在这条直线上不存在对应的有理数点，所以必须发明其他数对应这样的点，这些点都不是有理数，而称之为无理数。

无理数的产生导致了第一次数学危机。首先，这个对于依靠整数的毕达哥拉斯学派是个致命打击，其次，事实与直观是矛盾的，结论是相反的。第一次数学危机显示，几何中的一些真理和算数并没有关系，几何数并非完全可以由整数以及他们的比值表示，，但数却可以由几何数表示。然后，几何学的地位得到提升。同时这也说明有时感觉和经验是不正确的，而推理与证明才是正确的。自此，希腊人从公理出发，通过严格的逻辑推理，建立了几何学体系。这是数学思想上的一次变革，是因为矛盾而产生的结果。

【教学过程】

一、课前投影,揭示课题

名家名言

虚数是奇妙的人类精神寄托，它好像是存在与不存在之间的一种两栖动物－－莱布尼茨。

（设计意图：通过对莱布尼茨的“名言”的介绍，初步接触“虚数”一词，同时也本节课的结束语作铺垫）

今天我们来与大家一起学习“数系的扩充”。（板书）

（设计意图：开门见山，揭示课题，明确学习内容。）

二、创设情境，提出问题

问题1：数，是数学中的基本概念。到目前为止，我们学习了哪些数集？用符号表如何表示？它们之间有怎样的包含关系？（板书）用图示法可以如何表示（投影）

（设计意图：数集及之间关系的回顾，特别是“图示法”的直观表示，旨在帮助学生对“数系的扩充”有个初步感受）

所谓“运算及结构”主要是指加法与乘法的运算律。无论在哪个数集内，都满足加法、乘法的交换律、结合律以及乘法对加法的分配律。

问题2：今天的课题是什么？从刚才这张“图示法”表示数集之间的包含关系的图也可以看出数逐步发展壮大的过程。数的概念是如何不断的发展和扩充的呢？下面跟大家一起作简单回顾．

三、学生活动，意义建构

最基本的数是自然数,它是全部数学的发源地，自然数的产生当初完全是古人为了计数的需要．之后，在土地测量，水利工程中发现仅有自然数显然是不够的，经常发生度量不尽的情况，于是产生了正分数，数的概念扩充到正有理数．为了刻画具有相反意义的量产生了负数，我国是认识负数最早的国家．数的概念再次扩充到有理数；古希腊人在研究正方形的边长与对角线长之间关系时发现，产生了无理数，数的概念扩充到实数。正是因为计数、度量、测量等这些原因使得数的概念经历从无到有，从有到壮大的过程。

问题3：由此看来，什么原因导致数的概念逐步扩充的？（实际需求）

    （设计意图：一方面让学生感受数与现实世界的联系，感悟数的概念产生于实际需求，另一方面培养学生总结、归纳概括的能力）

问题4：方程 的解是什么？方程 的解呢？

学生必答“－4”和“无解”，下面可以如此设计：对于方程（1），在自然数集中，解的情况如何？原因是什么？为此引入负数，数集扩充到整数集。在整数集中，方程 无解，怎么办？引入分数，数集扩充到有理数集。在有理数集中，方程 无解，为此引入无理数，数集扩充到实数集。从使得方程有解的角度来看，每一次数的概念的扩充有什么特征？（新的数集都是在原来数集的基础上“添加”了一种新的数得来的。）如何使方程 有解呢？

（设计意图：通过一个简单方程解的情况的“陷阱”，培养学生严谨的科学态度，同时通过如何使一系列方程解问题的“诱导”，使学生不断受到数的概念的扩充的“基本特征”的冲击，形成思维定势，从而使引入一个新数 使方程 有解的方法水到渠成，自然给出“虚数单位”的第一个“规定”。）

我们回顾一下一下历史上数学家们在这方面所做的一些事情。数学家卡尔丹是第一个发现并重视这个问题的人。在公元六世纪的时候，卡尔丹遇到了一个问题：怎样的两个数其和是10、其积是40？他认为把答案写成5+ 和5- 就可以解决问题。但是他自己都没办法解释这种解答。当时许多人都认识这极为可笑。后来，笛卡尔、欧拉、高斯等数学家也开始研究这一问题，经过他们缜密的论证，最后确立了他的合理地位。法国数学家笛卡尔将这些数命名为“虚数”，从此虚数也加入了数的行列。

解方程离不开数与数之间的运算，没有运算的话，数不过是一些符号而已，毫无意义。下面我们再从运算的角度我们再来看一下每一次数的概念的扩充又有什么特征。

所谓运算主要指加、减、乘、除、乘方、开方这六种运算。在自然数集中，加法和乘法总可以实施，乘方是乘法特殊情况也是可行的。但是，由于小数不能减大数。在整数集中，自然数集原有的三种运算固然可以进行，同时又解决了在自然数集减法不是总可以实施的问题。在有理数集中，整数集中原有运算仍然适用，同时又解决了除法只能整除问题，使得除法总可以实施了，当然除数不为0。在实数集中，有理数集的运算也都可以实施，还解决了开方的结果可能不是有理数的问题，当然只能是正数的开方问题。

问题5：从运算角度来看，数集是在按某种“规则”不断扩充的。请问是何种规律？

（在新的数集中，原有的运算及其性质仍然适用，同时解决了某些运算在原来数集中不是总可以实施的矛盾。）

四、数学理论，建立数学

因此，我们规定：（１） （２）实数可以与 进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立。将满足上述两个条件的新数 ，叫做虚数单位。

依照这种规定， 可以与实数 相乘，得 （ ，特别地， ）； 还可以和实数 相加得 。于是出现了形如 的数，（其中 ）我们把它们叫做复数。全体复数所组成的集合叫做复数集，记作C。复数通常用字母 表示，即 其中 分别叫做复数 的实部与虚部。这一表示形式叫做复数的代数形式。

（设计意图：通过对数与数之间的运算特征的研究与归纳，建立复数的基本概念）

相关数学史：1777年，瑞士数学家欧拉率先用字母i表示-1的平方根，并把它作为虚数单位。字母i是英文imaginary的首字母，意为虚幻，想象。此后人们把虚数与现实生活中的函数知识联系后，发觉虚数本质上并不虚。而当时符号i已然被人们所认可和熟悉，所以沿用至今。

五、应用数学

例1 写出复数4， , 0， ， ， 的实部与虚部？（口答）

（设计意图：巩固复数的实部与虚部的概念。）

问题6：实数是复数吗？何时为实数？

根据复数中 的取值不同，复数可以有以下的分类：

例2、实数m取什么值时，复数 是：

       （1）实数？         （2）虚数?           (3)纯虚数？

（设计意图：旨在明确复数的分类这一内容，特别要强调纯虚数的条件）

复数 可以看成是关于 的一次二项式，类比两个二项式相等的意义，我们规定：两个复数 与 相等，当且仅当它们的实部与虚部分别相等，记作

例3 已知 ，求实数 的值

（设计意图：对复数相等问题的研究，可让学生体会、总结复数问题的一般的处理方法实数化）

六、课堂练习

基础训练（教材课后练习）

拓展延伸

５、以复数 的虚部为实部， 的实部为虚部的新复数是            

６、集合 ， ，且 ，

则 =     .

（设计意图：通过前5题的口答与板演，及时巩固、检查课堂效果；通过第5、6小题进一步提升学生分析问题和解决问题的能力）

七、课堂小结

今天我们与大家一起学习复数的有关内容。复数的引入实现了中学阶段数系的最后一次扩充。大家一定体会到了实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，但在数学史上复数系的建立，却是经历了一段曲折而漫长的过程。很多人认为虚数是没有意义的、是虚构的、想象的。数学家莱布尼茨说“虚数是奇妙的人类精神寄托，它好像是存在与不存在之间的一种两栖动物”。直到18世纪末至19世纪初才确立了虚数在数学中的地位。陈省身说：“没有复数，便没有量子力学，便没有近代文明”。数系的不断扩充体现了人类在数的认识上的深化，就像人类进入太空实现了对宇宙认识的飞跃一样，复数的引入是对数认识的一次飞跃。

（设计意图：通过两位名家对“复数”的不同表述，让学生体会数学发展史是一个艰难曲折而又不断进步的过程，渗透要树立坚韧不拔意志品质的教育。同时“莱布尼茨”名言的再次出现，达到前呼后应的效果。）

八、课后作业  

(1)             完成教科书本节习题

(2)             上网查阅关于复数的知识。

【设计说明】

  这节课是《数系的扩充和复数的引入》的第一课时，根据自己的理解和查阅相关资料，对数系的扩充过程作了挖掘，以体现教材中蕴含的数学文化，让学生接触数学史，领略数学文化，体会古代数学家的思想和做出的不懈努力和巨大贡献，达到了解复数概念的教学目标，在学习过程中以轻松的数学故事开始，使得学习不会产生畏难情绪，有利于提高学生的数学兴趣。