定积分的简单应用（平面图形的面积）导学案

64中    王敏霞

【学习目标】

1．理解定积分概念、性质和几何意义的基础上，利用微积分基本定理进行定积分的计算；

2．掌握在平面直角坐标系下用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积。

【学习过程】

一、    自主探究：

1、定积分的几何意义

当 时， 表示的是     与

2．几种典型的平面图形面积的计算

（1）如图， ，所以S=___________

（2）如图， ，所以S=___________

（3）如图，当 ，当 ， ，所以S=_______________________

 

 

 

 

 

 

 

3.由两条曲线 和 ，直线 所围成平面图形的面积S

（1）如图，当 时， S=___________

（2）如图，当 时， S=___________

（3）如图，当 时， S=___________

  

 

 

 

 

 

 

 

结论形成：平面图形是由两条曲线 及直线 所围成，且 .其面积都可以用公式S=___________求。

二、典型例题

例1：

1）

 

 

求阴影部分面积S1=                                     S2=

分析S1与S2的关系：

2）

                      求解阴影部分面积S=

 

 

 

跟踪训练：

1）  求下图阴影部分的面积为：      

 

 

 

 

 

 

2）如图，曲线y＝cosx(0≤x≤ )与坐标轴所围成的阴影部分图形的面积是(　　)

A．4　　　              　B．2

C.52                      D．3

 

例2：求抛物线 与直线 所围成平面图形的面积。

 

 

 

 

 

请小结一下此题的解题步骤：

 

 

 

跟踪训练：1.曲线 与直线y=x所围成的面积为（     ）

A、     B、     C、       D、

2、求如图所示阴影部分的面积

y=

  

 

 

 

 

 

 

 

 

例3.求曲线x= y² 和直线y=x-2所围成的图形的面积。

 

 

 

 

 

 

小结：由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观性,确定出被积函数,并通过解方程求得积分的上、下限．

求曲边梯形面积的方法与步骤：

(1)画图：通过草图了解平面图形图形由哪些曲边梯形而成；

(2)定限：对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；

(3)被积：确定被积函数，要注意分清被积函数的上、下位置；

(4)计算：用微积分基本定理计算定积分，求出每个曲边梯形的面积之和，得所求平面图形的面积.

三、当堂检测

1．如右图 ，阴影部分 面积为（  ）

   A． dx                                                      

   B． dx

   C． dx                  

   D． dx

2．如右图，阴影部分的面积是（       ）

         A．                         B．

         C．                            D．

3.计算由 ， 所围图形的面积     

4.

                   

a

 

                                                                             

图1                                  图2

(1)图1中阴影部分的面积S=________________________

(2)图2中阴影部分的面积S=________________________

四、课外作业

1、求由函数y=sinx，直线x=0,x= 以及x轴所围成的平面图形的面积。

 

 

 

2、计算由 ， ， 所围图形的面积.

 

 

 

 

 

 

3、求由曲线 所围成图形的面积

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4、设 是二次函数，方程f(x)=0有两个相等的实根，且f′(x)=2x+2.

(1)求 的表达式。

（2）求 的图像与两坐标轴所围成图形的面积。