环节

教学内容

师生互动

设计意图

导

入

问题  某工厂的仓库里堆放一批钢管（参见教材图6-1），共堆放了7层，试从上到下列出每层钢管的数量．

教师出示引例，并提出问题．

学生探究、解答．

希望学生能通过对日常生活中的实际问题的分析对比，建立等差数列模型，进行探究、解答问题，体验数学发现和创造的过程．

新

课

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课

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课

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课

从上例中，我们得到一个数列，每层钢管数为

4，5，6，7，8，9，10.

1．等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示） ．

练习一

抢答：下列数列是否为等差数列？

1，2，4，6，8，10，12，…；

－8，－6，－4，0，2，4，…；

3，0，－3，－6，－9，…．

注意：求公差d一定要用后项减前项，而不能用前项减后项．

2．常数列

特别地，数列

3，3，3，3，3，3，3，…

也是等差数列，它的公差为0．公差为0的数列叫做常数列．

3．等差数列的通项公式

首项是a₁，公差是d的等差数列{a_n}的通项公式可以表示为

a_n＝a₁＋(n－1)d．

4．通项公式的应用

根据这个通项公式，只要已知首项a₁和公差d，便可求得等差数列的任意项a_n．

事实上，等差数列的通项公式中共有四个变量，知道其中三个，便可求出第四个．

例1  求等差数列8，5，2，…的通项公式和第20项．

例2  等差数列－5，－9，－13，…的第多少项是－401？

练习二　

（1）求等差数列3，7，11，…的第4，7，10项．

（2）求等差数列10，8，6，…的第20项．

练习三  

在等差数列{a_n}中：

（1）d =－3(1) ，a₇ = 8，求a₁；

（2）a₁ = 12，a₆ = 27，求d．

例3  在3与7之间插入一个数A，使3，A，7成等差数列，求A．

解  因为3，A，7成等差数列，所以

A－3 = 7－A，2A = 3 + 7．

解得A=5．

5．等差中项的定义

一般地，如果a，A，b 成等差数列，那么A 叫做a与b的等差中项．

6．等差中项公式

如果A 是a与b的等差中项，则

A = 2(a + b)．

这就表明，两个数的等差中项就是它们的算术平均数．

7．一个结论

在等差数列a₁，a₂，a₃，…，a_n，…中，

a₂ = 2(a1 + a3)，

a₃ = 2(a2 + a4)，

……

   a_n = 2(an－1 + an+1)，

……

这就是说，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项．

练习四

求下列各组数的等差中项：

（1）732与－136；

（2）2(49)与42．

例4  已知一个等差数列的第3项是5，第8项是20，求它的第25项．

解  因为a ₃ = 5，a ₈ = 20，根据通项公式得

d = 20(3－1d = 5)

整理，得

a1+7d = 20(a1+2d = 5)

解此方程组，得a₁ = －1，d = 3．

所以

a₂₅ = －1+(25－1)×3 = 71.

强调：已知首项a₁和公差d，便可求得等差数列的任意项a_n．

练习五

（1）已知等差数列{a_n }中，a₁ = 3，a_n = 21，d = 2，求n．

（2）已知等差数列{a_n }中，a₄ = 10，a₅ = 6，求a₈ 和d．

例5  梯子的最高一级是33 cm，最低一级是89 cm，中间还有7级，各级的宽度成等差数列，求中间各级的宽度．

例6  已知一个直角三角形的三条边的长度成等差数列．求证：它们的比是345．

证明  设这个直角三角形的三边长分别为

a－d，a，a+d．

根据勾股定理，得

(a－d)² + a² =(a+d)²．

解得a = 4d ．

于是这个直角三角形的三边长是3d，4d，5d，即这个直角三角形的三边长的比是345．

师：请同学们仔细观察，看看这个数列有什么特点？

学生观察、回答．

教师总结特征：

从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）．

我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列．

教师板书定义．

师：等差数列的例子，在生活中有很多，谁能再举几个？

教师出示题目．

学生思考、抢答．

师：你能说出练习一中，各等差数列的公差吗？

学生说出各题的公差d．

教师订正并强调求公差应注意的问题．

师：已知一个等差数列{a_n}的首项是a₁，公差是d，如何求出它的任意项a_n呢？

学生分组探究，填空，归纳总结通项公式

a₂＝a₁ + d，

a₃=     + d =       + d

= a₁ +    d，

……

a_n = a₁ +    d．

师：一个等差数列的各项，已知  和  就可以确定下来？

师：等差数列的通项公式中共有几个变量？

教师引导学生分析本题，已知什么？求什么？怎么求？

学生思考、说出已知、所求，代入通项公式．

强调：通项公式是用含有n 的式子表示 a_n ．

学生尝试解答后，师生共同板书解题过程．

仿照例1，教师引导、点拨．

学生解答．

多媒体出示解题过程．

学生核对、订正．

教师强调解题过程要规范、严谨．

学生练习．

请学生在黑板上做题．

教师巡视指导．

师生共同订正．

师：在a与b 之间插入一个数A，使a，A，b 成等差数列．你能用a，b 来表示A 吗？

学生探究、回答．

教师订正学生的回答，给出等差中项的定义和公式．

师：你能用文字描述一下这个式子的含义吗？

师：在等差数列1，3，5，7，9，11，13，…中，每相邻的三项，满足等差中项的关系吗？

学生分组合作探究，得出结论．

师：能将这个结论推广到一般的等差数列中吗？

学生继续分组合作探究．

教师总结学生的回答，给出结论．

学生做练习．

学生回答各题结果，统一订正答案．

教师出示例题．

学生分组合作探究．

教师点拨、引导：

（1）例题给出了哪些量？如何用数列符号表示？

（2）例题中的所求量是什么？需要知道哪些条件？

教师总结学生思路，给出解题过程．

学生自主练习．

教师巡视指导．

请个别学生在黑板上做题后，师生共同订正．

教师出示例题．

引导学生将题中的已知和未知转化为用数列符号表示．

学生解答．

教师巡视指导．

教师出示解题过程，强调解题步骤要规范、严谨，叙述要简明、完整．

教师出示例题，提示点拨：当已知三个数成等差数列时，可将这三个数表示为

a－d，a，a+d，

其中d 是公差．由于这样具有对称性，运算时往往容易化简．

学生根据教师的提示，分组探究．

请学生在黑板上做题．

教师引导学生订正解题过程，规范解题步骤．

由特殊到一般，发挥学生的自主性，培养学生的归纳能力．

在学生自主探究的基础上得出定义和公式，更有利于学生理解和运用．

引导学生观察、归纳、猜想，培养学生合理的推理能力．

学生在分组合作探究过程中，可能会找到多种不同的解决办法，教师要逐一点评，并及时肯定、赞扬学生善于动脑、勇于创新的品质，激发学生的创造意识．

鼓励学生自主解答，培养学生运算能力．

通过例题，强化学生对等差数列通项公式的理解，强化学生学以致用的意识．

由特殊到一般，发挥学生的自主性，培养学生的归纳能力．

在学生自主探究的基础上得出定义和公式，更有利于学生理解和运用．

引导学生观察、归纳、猜想，培养学生合理的推理能力．

通过两道直接套用公式的练习题，强化学生对中项公式的掌握．

学生在分组合作探究过程中，可能会找到多种不同的解决办法，教师要逐一点评，并及时肯定、赞扬学生善于动脑、勇于创新的品质，激发学生的创造意识．

鼓励学生自主解答，培养学生运算能力．

通过例题，强化学生对等差数列通项公式的理解，强化学生学以致用的意识．

小

结

1．等差数列的定义及通项公式．

2.  等差中项的定义和公式．

3．等差数列通项公式和中项公式的应用．

学生阅读课本P9～P12，畅谈本节课的收获．

教师引导梳理，总结本节课的知识点和解题方法．

教师鼓励学生积极回答，答不完整没有关系，其它同学补充．以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力．

作

业

教材P17，习题第1，2，6题．

学生课后完成．

巩固拓展．