环节

教学内容

师生互动

设计意图

导

入

看图1和图2，数一数从甲地到乙地有多少种不同的走法？

           图1

           图2

教师提出问题，学生独立思考或小组讨论．

师：生活中常见的计数问题蕴含着什么原理呢？

引出两个计数原理．

新

课

新

课

新

课

问题1  从甲地去乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.一天中，火车有2班，汽车有4班，那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地有多少种不同的选择？

解  2＋4＝6(种)．

分类计数原理  完成一件事，有 n类办法，在第1类办法中有m₁种不同的方法，在第2类办法中有m₂种不同的方法……在第n类办法中有m _n种不同的方法,那么完成这件事共有

N＝m₁＋m₂＋…＋m_n

种不同的方法.

例1  书架上层有不同的数学书15本，中层有不同的语文书18本，下层有不同的物理书7本.现从中任取一本书，问有多少种不同的取法？

解  根据分类计数原理，不同的取法一共有

N＝15＋18＋7＝40(种)．

例2  某班同学分成甲、乙、丙、丁四个小组，甲组9人，乙组11人，丙组10人，丁组9人．现要求该班选派一人去参加某项活动，问有多少种不同的选法？

解  根据分类计数原理，不同的选法一共有

N＝9＋11＋10＋9＝39(种)．

问题2  由A地去C地，中间必须经过B地，且已知由A地到B地有3条路可走，再由B到C地有2条路可走，那么由A地经B到C地有多少种不同的走法？

解  3×2＝6 (种)．

分步计数原理  完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m₁种不同的方法，做第2步有m₂种不同的方法……做第n步有m_n 种不同的方法,那么完成这件事共有

N＝m₁×m₂×…×m_n

种不同的方法.

例3书架上层有不同的数学书15本，中层有不同的语文书18本，下层有不同的物理书7本.现从中取出数学、语文、物理书各一本，问有多少种不同的取法？

解　利用分步计数原理得

N＝15×18×7＝1 890种

不同的取法.

例4 某农场要在4种不同类型的土地上，试验种植A，B，C，D这4种不同品种的小麦，要求每种土地上试种一种小麦，问有多少种不同的试验方案？

解　依据分步计数原理，可知有

4×3×2×1＝24种

不同的试验方案.

例5  由数字1，2，3，4，5可以组成多少个3位数(各位上的数字可以重复)？

解　根据分步计数原理，组成不同的3位数的个数共有

5×5×5＝125 (个).

小结：

两个基本原理的共同点：都是研究“完成一件事，共有多少种不同的方法”；

不同点：分类计数原理中，无论哪一类办法中的哪一种都能单独完成这件事；分步计数原理中，完成一件事，需要分成n个步骤，每个步骤都不可缺少，需要完成所有的步骤才能完成这件事.

例6  甲班有三好学生8人，乙班有三好学生6人，丙班有三好学生9人：

(1) 由这3个班中任选1名三好学生，出席三好学生表彰会，有多少种不同的选法？

(2) 由这3个班中各选1名三好学生，出席三好学生表彰会，有多少种不同的选法？

解  (1) 依分类计数原理，不同的选法种数是N＝8＋6＋9＝23；

    (2) 依分步计数原理，不同的选法种数是N＝8×6×9＝432.

师：问题1要完成一件什么事？完成这件事有多少类不同的办法？每类方法中有多少种不同的方法？完成这件事一共有多少种不同的方法？

师：例1中要完成一件什么事？完成这件事有多少类不同的办法？完成这件事一共有多少种不同的方法？用什么原理做？

学生自己分析例2的解题思路.

师:问题2中要完成一件什么事？由A地去C地有几个步骤？

第一步：由A地到B地，有     种不同的走法；

第二步：由B地到C地，有                    种不同的走法．

完成这件事有多少种不同的方法？

应用分步计数原理分析，例3，例4，例5要完成一件什么事？分为几个步骤？每一步骤中有几种不同的方法？完成这件事共有几种不同的方法？

因为教材中没有排列组合的知识，教师要详细讲解例4.

例6让学生自己讲解思路，学会应用两个原理来分析解决问题.

结合图示，教师通过问题引导学生一步步分析解题思路.

通过简单的问题1引出分类计数原理.

引导学生依据分类计数原理分析例1和例2，深化对原理的理解，培养学生分析问题的条理性.

结合图示，教师通过问题引导学生一步步分析解题思路.

通过问题2引出分步计数原理.

引导学生依据分步计数原理分析例3和例4，深化对原理的理解，培养学生分析问题、解决问题的条理性．

对比例4与例5,明确题目中“是否允许重复”对结果的影响.

通过例6，使学生进一步明确两个原理的联系与区别.

小

结

分类计数原理．

分步计数原理．

两个原理的区别与联系．

回顾各个例题，让学生在小组中讨论解题思路，学会用数学语言分析、解决问题.

作

业

    教材P165习题第1～5题.

巩固两个原理.