基础知识、基本技能梳理说明：

本次双基梳理以《普通高中数学课程标准（2017版）》中“课程内容”为依据，按五个主题分类梳理。首先给出课标要求，再给出对应的基础知识点和用到的基本技能，做好名词解释，在此基础上配上相关的案例。梳理出来的文本作为“重导学”研究的基础。

 

厚基础之主题五数学建模活动与数学探究活动

（中学部数学教研组：杨荣荣）

数学建模活动是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程。主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、构建模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题。数学建模是基于数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动，是高中阶段数学课程的重要内容。

解函数应用问题的一般步骤 ：   

（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系.               

（2） 建模：将文字语言转化为数学语言，用数学知识建立相应的数学模型.

（3） 求模：求解数学模型，得到数学结论.

（4） 还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题

以上过程用框图表示如下：

 

 

 

 

 

 

 

一、一次函数模型

案例：某进口专营店销售一种“特产”，其成本价是20元/千克，根据以往的销售情况描出销售量 (千克/天)与售价(元/千克)的关系，如图所示：

 

 

 

 

 

 

(1)试求出与之间的一个函数关系式；

(2)利用(1)的结论：

求每千克售价为多少元时，每天可以获得最大的销售利润；

进口产品检验，运输等过程需耗时5天，该“特产”最长的保存期为一个月(30天)，若售价不低于30元/千克，则一次进货最多只能多少千克？

 

解析：(1)根据图像可知，它近似地成一条直线，故可设，把(40，32)(39，34)代入，得

解得

∴与的关系式为.

(2)设每天获得的销售利润为元，依题意，得

－2＜0，∴当＝38时，有最大值．

即每千克售价为38元时，每天可以获得最大的销售利润．

由可知随的增大而减小．

又当＝30时，＝52，∴当≥30时，≤52.

∴的最大值为52.

52×(30－5)＝1 300(千克)．

答：每月一次进货最多只能是1 300千克．

二、二次函数模型

案例  在广铁一中的东南方有一块如图所的地，其中两面是不能动的围墙，其余各边界是不能动的一些体育设施．现准备在此建一栋教学楼，使楼的底面为一矩形，且靠围墙的方向须留有5米宽的空地，问如何设计，才能使教学楼的面积最大？

 

 

 

 

 

解析：由图建立如图所示的坐标系，可知AB所在的直线方程为

　　，即；

设，由，可知．

∴　

由此可知，当时，有最大值256平方米．

故在线段上取点，过点分别作墙的平行线，在离墙5米处确定矩形的另两个顶点、，则第四个顶点随之确定，如此矩形地面的面积最大．

 

三、反比例模型

案例  为预防“手足口病”，某校对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量（mg）与燃烧时间（分钟）成正比例；燃烧后，与成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为8mg．据以上信息解答下列问题：

（1）求药物燃烧时与的函数关系式．

（2）求药物燃烧后与的函数关系式．[来源:学科网]

（3）当每立方米空气中含药量低于1.6mg时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，经多长时间学生才可以回教室？

解析：（1）设药物燃烧阶段函数解析式为，[来源:学科网ZXXK][

由题意得：，得．

∴此阶段函数解析式为

（2）设药物燃烧结束后的函数解析式为，由题意得：

，得．此阶段函数解析式为

（3）当时，得，∴1.6x＞80. ∴

∴从消毒开始经过50分钟后学生才可回教室．[来

四、分段函数模型

案例  某服装厂品牌服装的年固定成本100万元，每生产1万件需另投入27万元，设服装厂一年内共生产该品牌服装x万件并全部销售完，每万件的销售收入为R（x）万元.

且

（1）写出年利润y（万元）关于年产量x（万件）的函数关系式；

（2）年产量为多少万件时，服装厂在这一品牌的生产中所获年利润最大？

（注：年利润二年销售收入－年总成本）

解析：（1）当0＜x≤10时，

 

 

 

 

 

 

 

（2）当0＜x≤10时，

 

 

 

 

当x＞10时，（万元）

（当且仅当时取等号）综合知：当x=9时，y取最大值

故当年产量为9万件时，服装厂在这一品牌服装的生产中获年利润最大。