作者：潘菁、周建军（江苏省扬州市育才小学西区校）

 

某次六年级第一学期考试中有这样一道题：

一幅图中，点M的位置可以用数对（6，4）来表示。这里的“4”表示的是（ ）。

A.行数 B.列数

这是苏教版《数学》五年级第二学期“用数对确定位置”一课的内容。

集中批阅时，听到两位教师的一段谈论。

甲教师：“真是奇怪！练了这么多，只不过放了个寒假，这么简单的问题又有人出错了。总是有人想不清到底是列数在前，还是行数在前。”

乙教师：“这有什么？不要说学生了，就连我们自己，如果长时间不教这个内容，也会有点记不清呢！实在想不起来，就去想‘坐标’，根据‘坐标’来推一推。”

说者无心，听者有意，一旁的我心中一动。是呀，平时遇到类似情况，很多人都会用“坐标”反推“数对”来确定行数、列数到底谁在前。纵观“数对”和“坐标”这两个内容的学习，前者是后者的准备和基础，后者则是前者的继续和延伸。教学中，学习“数对”一般都会借助“行”和“列”这两个与生活紧密联系的概念，而学习“坐标”时却规定“先看横轴，再看纵轴”。一个疑问油然而生：数对的教学是不是可以绕开“行”和“列”？为了弄清这一点，先让我们来看看“数对”的“传统”教学。

由“行”“列”引出“数对”

教师们在教学“用数对确定位置”这一课时，往往先想办法让学生产生“确定位置”的需要，再向学生介绍与有序数对相关的普遍规则。以下就是比较典型的教学设计。

师：在数学里，竖排叫列，横排叫行。知道什么是列？什么是行吗？我们习惯上从左往右数列数，从前往后数行数。（动画依次显示每一列、每一行）

师：能用简便的方法记录这个物体在第几列、第几行吗？

学生尝试表达，交流讨论，达成共识。

师：用两个数简单地表示位置时，我们把表示列数的数写在前面，把表示行数的数写在后面，中间用逗号隔开，最后加上括号。

师：（4，3）中的4表示什么？3表示什么？

……

这样，关于数对含义的教学便在“第几列第几行”至“（a，b）”这一由具体到抽象的表示过程中完成。接下来，学生用数对表示出各个二维情境中的点。然而，不管是教师还是学生，只要长时间没接触这一内容，再遇到这一类问题，很多人都会或多或少有些模糊：数对中的两个数，谁表示列数？谁又表示行数？

为什么会出现这样的现象？

“行”“列”的困扰分析

首先，有“横”“竖”干扰 要用数对正确表示位置，就要按顺序数出列数，再数出行数。而列与行的概念分别是指竖排与横排，所以学生在充分理解数对的含义之后，留在脑海中的便是“从左到右横着数出竖排的位置，从下到上竖着数出横排的位置”。这种类似“绕口令”的规则中，“横”“竖”的交替出现、相互干扰，再加上“上”“下”“左”“右”概念的加入，记忆难度的增加可想而知。

其次，“行”“列”会混淆 虽然对于“行”“列”这组概念，学生平时多少有些接触，但事实上，“行”“列”仍是本节课中新规范的两个概念。特别是平时不太多用的“列”，仍需学生有意识地将其与“竖排”进行关联。这样，多少会削弱学生对于规则的关注。除此以外，“行”“列”这组概念，记忆时还会出现互相干扰、影响的情况。

最后，与语言习惯不符 “行列”作为一个词，经常出现在我们的生活中，如“他加入了我们的行列”等。当然，也包括“横竖”等相关生活词语的应用。这些应用，也都会直接影响数对规则中“先列后行”的序的记忆。那么，绕过“行”“列”，只关注“横”“竖”，可以吗？

由“横”“竖”引出“数对”的探索

【教学尝试】

师：电影院里的位置、小军家的位置，有排、有座、有层、有户，数的方向相同吗？现在，我们就选择其中较为常见的一组，如果是竖着的，就从下往上数，如果是横着的，就从左往右数。

出示一横排学生：

http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/wicdstdpeSdWSwkIDVHJPtRvmCXx5ibNgRiaTbUX9yHlia99nQDLHQVZcRM2ibsGFkzH0xNcVoiafyyyGgx1LVTtianWw/0

师：谁来说一说小军的位置？

生：从左往右数第4个。

出示方向箭头和数：

http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/wicdstdpeSdWSwkIDVHJPtRvmCXx5ibNgRyLT71nDxjUbIdW1rcwCkl0Ehozic5RVSBsnibzESyHm8E4qPK9KBRbeg/0

师：有方向，也有数，你能想到什么？

生：数轴。

师：横着的数轴，还可以称为“横轴”；竖着的数轴，还可以称为“竖轴”。

出示：(图中人名应为“小军”)

http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/wicdstdpeSdWSwkIDVHJPtRvmCXx5ibNgRGudSuaYiaGHrXwpxryuvXWbviaUZknSnGKGFj9jP2sh03j6n2ltPuOhA/0

师：由生活中的位置，我们想到了数学中的数轴。有了数轴,这些位置一眼就看出来了，既简单又方便！

出示教室中的座位图，再简化成点。

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师：这么多点，有什么好办法能让我们看得更清楚，数得更快？

生：把数轴放在旁边。

出示数轴：

http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/wicdstdpeSdWSwkIDVHJPtRvmCXx5ibNgRnLf854S2VYe5WoXyhW3Wl1wMjtyXKRkDU3sJFF3OGWibEYcZdibwF63w/0

师：现在，你能把小军的位置记录下来吗？

学生活动后展示交流。

生1：第4组第3个。

生2：4组3个。

生3：可以简单地记为“4 3”。

师：大家想一想，有了前面对横排、竖排数法的约定，这样的两个数能确定位置了吗？

生4：还不行，也可以记成“3 4”，前面是个数，后面是组数。

师：一个位置可以表示成两种形式，这样就不能确定位置了。看来，要确定位置，还得继续完善。怎么完善呢？

生：规定一下，组数和个数哪个在前，哪个在后。

师：为了能确定位置，咱们再规定一下，先横着数，再竖着数。（板书）用这样的两个数就可以表示一个位置。为了看得更清楚，咱们用一个逗号把两个数隔开。这两个数表示了几个位置？

生：一个位置。

师：这样的一对数，也就是一个数对，表示一个位置，是一个整体，咱们用括号表示。（板书：（4，3））

……

整个教学过程中，只字不提“行”“列”，逐步引导学生关注找出数对的规则——“先从左到右横着数，再从下往上竖着数”，简单地说就是“先横后竖”。有着一定空间想象能力的学生，或许能在脑海中浮现这样的一个形象的符号“http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/wicdstdpeSdWSwkIDVHJPtRvmCXx5ibNgRxCGmvMkxUJpfuSvPmVE3099T0jHEClWXvJeiaKEiawAwCtbMdOAvOCww/0”。不难发现，这一“先横后竖”的最终印象，正好能与后继“坐标”学习中的“横坐标”“纵坐标”顺利接轨。

当然，教学中我们也努力贴近学生的认识水平，沟通学生脑海中的一系列零散印象：从“方向”“数”到“数轴”的简单介绍；让学生在横排、竖排的队列中，联想到“横轴”“竖轴”。虽然这些联系、沟通并不是本节课的重点，但却为后面学生得到“先横后竖”的简洁表示方法做了充足的准备，更为后继学习打下了基础。学生也在这样的过程中，充分感受了数学的抽象美和简洁美。

把握本质，创设简洁和谐的课堂

言至于此，还想再回味一番！关于“数对”的教学，诸多教材从生活概念入手，先规范“行”“列”，再借助这两个概念唤起学生一定的认识，帮助学生理解数对的含义。这样的教学，符合学生的认识规律，适合学生的年龄特点。面对学生出现的或多或少的混淆、模糊，进行一定的练习、复习，也能解决问题。然而，如果仅至于此，总感觉没能触及“数对”的本质，更是没能创设机会让学生充分领略数学的简洁与和谐。

为了让学生在数学学习过程中有着更多的收获，便有了上述的重组和尝试：源自生活，引出数轴，调整约定，简化规则。从一行或一列队伍的位置确定中，适时沟通、抽象，引出“横轴”和“竖轴”；在不断的学习过程中，建造出“坐标系”的雏形；形成更为形象简洁的“先横后竖”认知……从生活中抽象、在事物间寻找联系、由需要而不断创造、体验图形的形象与表达的简洁。层层推进的教学，不仅让学生经历着抽象的过程，感受着数学的简洁理性、和谐自然，也很好地提升了学生的数学素养，生长了学生的智慧。

简洁是数学本质的首要标志，和谐是数学本质的终极境界。教学中，作为课堂的设计者和主导者的数学教师，要善比较、勤分析，认真研读不同版本的教材以及专家们的思考和建议，在把握数学本质的基础上，结合学生特点，恰当取舍、巧妙融合，努力创造机会，让学生客观冷静地思考。在不断地思考学习中，让学生多感受一些数学本身至简至真的朴素美，多体验一些数学学习的成功与快乐，以逐步形成他们自己对数学乃至对生活的领悟和理解。这样，我们的数学课堂才能更为简洁和谐，也会更富有生命力。