2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（甲卷·文科）

题号 考查内容

1 本题考查集合的表示与运算。一元一次不等式的解法、数集的交集运算等。

2 本题考查频率分布直方图的相关知识。审题时注意要学生选不正确的选项，考查由频率分布直方图估计数据落在某范围内的概率以及由频率分布直方图估计数据的均值等相关知识。

3 本题考查简易逻辑的相关知识。借助于逻辑知识考查三角不等式、指数型不等式、绝对值的范围及绝对值不等式的解法等相关知识。本题考查复数的运算。复数的乘方、除法、分母实数化等相关知识。

4 本题考查函数的单调性判断。给出一项系数为负的一次函数、幂函数、指数函数的具体表达式，让学生判断其中的增函数是哪一个，考查基本初等函数的性质。

5 本题考查点到直线的距离。考查双曲线的几何性质（渐近线），给出双曲线方程和一个定点，求定点到双曲线渐近线的距离。

6 本题考查简单的对数方程的解法及一点估算的知识。以青少年近视这实际问题为背景、以五分记录法和小数记录法为载体考查对数方程的解法及估算知识。

7 本题考查三视图的相关知识。给出一个正方体及过一个顶点A的三条棱的中点E、F、G，该正方体截去一个三棱锥A-EFG后，所得多面体，给出其正视图，让学生从选项中找出其侧视图。考查学生的直观想象素养和空间想象能力。

8 "本题考查解三角形的有关知识。给出三角形的两边及其一边的对角，让学生求另一边。

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9 本题考查等比数列前n项和的相关计算问题。可以结合等比数列前n项和的性质（前n项、次n项、再n项仍成等比数列）或者等比数列前n项和的整体运算、或者基本量运算求解。

10 本题考查古典概型。考查列举法求基本事件总数和事件发生的基本事件个数，再结合古典概型公式求解。与以后新高考接轨打下基础。

11 本题考查三角函数的相关公式与运算。同角三角函数的基本关系式（商数关系和平方关系）、正余弦的二倍角公式等。

12 本题考查函数的奇偶性与周期性等。给出一个抽象函数满足的性质（轴对称性和奇偶性）和一个具体的函数值，让学生结合性质求其他的函数值。可以利用条件直接代入求值，也可以依据性质求出周期再求函数值。

13 本题考查向量数量积的性质及应用。给出两个向量的差的模、其中一个向量的模、两个向量的数量积，让学生求另一个向量的模。考查给差的模如何应用，求模又如何思考等。

14 本题考查圆锥的体积、侧面积公式及简单的运算。给出圆锥的底面半径及体积值，让求圆锥的侧面积。

15 本题考查三角函数的图像与性质。给出图像与含参的解析式，由图像求出参量（ω、φ）的值，确定其解析式再求具体的函数值。

16 本题考查椭圆的定义、标准方程与几何性质。以一个具体椭圆载体，给出椭圆上关于坐标原点对称的两点，并且该两点间距等于焦距。问这两点和焦点构成四边形的面积。考查对称知识、直角三角形相关知识，如某边上的中线等于该边长的一半时，该三角形为直角三角形，勾股定理及定义的综合应用可以帮学生快速求出直角三角形的面积，进而求出所求四边形（实质为矩形）的面积。

17 本题考查以事件的频率及独立性检验为载体的实际应用。给出2×2列联表，让求甲、乙机床生产的产品中一级品的频率；以及是否有多大把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异。其中包含运算素养及数学模型。

18 本题考查等差数列的应用及证明、由数列的前n项和表达式求通项的方法。给出一个正项数列｛an｝，其第二项是其首项的3倍，其前n项和的算术平方根是一个等差数列，要证明数列｛an｝是等差数列。由已知可求得前n项和的算术平方根这个数列，再求前n项和，最后由前n项和求通项。

19 本题考查异面线垂直的证明以及三棱锥体积的求法。给出一个直三棱柱，其中一个侧面AA1B1B是正方形，且AB=BC=2，E、F分别为AC和CC1的中点，且BF⊥A1B1，让学生求三棱锥F-EBC体积以及当D为棱A1B1上的点时，证明BF⊥DE。本题看似证明异面直线的垂直，实质还是证明线面垂直。主要考查基本的运算素养、勾股定理判断垂直关系线面垂直的判定与性质，三棱锥体积的求法等。重在垂直的推理证明以及借助于运算进行推理。

20 本题考查利用导数讨论函数的单调性以及函数的零点问题。第一问属于常见的含参函数的单调性讨论问题，求导之后为分式，通分之后分子能分解因式，从而易结合已知条件找到单调增、减区间。第二问结合第一问的结果不难分析出来函数与x轴没有公共点，也就是其极小值（最小值）大于零，从而求出a的取值范围。

21 本题考查抛物线与圆的方程的求法、直线与抛物线的位置关系、直线与圆的位置关系等。第一问结合抛物线的对称性以及OP⊥OQ，易分析出直线OP的方程，进而求出点P的坐标，代入抛物线的标准方程可求出C的方程，圆的方程，有圆心和直线x=1与圆相切不难找到圆的半径，从而求出圆M的方程。第二问是压轴，易忽略一个特殊情况，当A1、A2、A3这三个点中有一个为原点时的情况，此时切线易求得，进而求得A2、A3的坐标，进而求得直线A2A3的方程为x=3，显得与圆M相切。而对于一般情况，设出三个点的坐标，结合抛物线的方程求出切线A1A2和A1A3的方程，再利用方程思想抽象出直线A2A3的方程，利用圆心到直线的距离为1，易得其位置关系。

22 本题考查极坐标方程化直角坐标方程（以圆为载体）、代入法求轨迹方程、普通方程化参数方程、向量共线的坐标表示及应用、判断两圆的位置关系的方法等问题。

23 本题考查含绝对值（一个或两个的和或差）函数图像的画法、不等式恒成立求参量问题（可以形数结合或者讨论去绝对值求解）。