加载中…近五年高考全国卷中的三角问题及2020年的预测
(2020-03-19 08:09:17)
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分类： 高考及真题分析与预测 |
图片拍自网络QQ群高中数学解题研究会的文件
15年新课标全国一卷有一个选择题，给出一个余弦类函数的部分图象，从图中不难观察出两个零点，进而可求出周期、进而求出ω值和初相值，其单调区间由一般方法自然可求，若求出周期，再结合周期以及中点坐标公式求出相邻两个极值点（一大一小），结合图象更易找出其单调递减区间；
15年还有一个选择题，给出具体角度的正余弦之积与和，求值的问题，考查特殊角的三角函数值、诱导公式及两角和与差的正余弦公式逆用问题；
15年还有一个解三角形的填空题，给出一个平面四边形，A、B、C三个角均为75度，BC=2，求AB的取值范围，本题主要考查思想方法的应用，结合图形可以用极限法最快捷，也可连一个对角线形成两个三角形，设出一个角为x，另一个角为135°-x，结合正弦定理找出关系来求，但此法中难点在于求x的取值范围，仍然是结合极限思想比较简单，属于难题；
16年有一个给出表达式、零点、对称轴和在某个区间上单调，求ω最大值的选择题，考查周周期性、单调性、对称性等的综合应用，解答时可以抓住选项去验证，给出零点和对称轴，可以求出周期的四分之一与半周期的整数倍的和，属于稍难的题目；
16年还有一个解三角形的解答题，考查正弦定理、两角和的正弦公式逆用、三角形的内角和、诱导公式、解方程等，由此第一问角C易求得，第二问给出c边和三角形的面积要求三角形的周长，结合面积与角C不难求得ab之积，再结合余弦定理及平方和与和的平方的关系，不难得出另两边之和，进而求得周长；
17年有一个考查三角函数图象变换的题目，给出y=cosx和y=Asin（ωx+φ）两个不同名函数，问由余弦曲线经过怎样的变换得到后面的函数图象，重点考查先进行周期变换，后进行平移变换时的平移量；
17年还有一个解三角形的解答题，考查三角形的面积公式（两边及其夹角正弦之积的一半）与正弦定理的综合应用不难求得第一问（sinBsinC之积）的结果，第二问给出6cosBcosC=1，结合第一问的结果，不难联想到两角和的余弦（另一角A的余弦值可得），结合第二问的边a的值，利用正弦定理不难得出bc之积，再结合余弦定理把平方和变形成和的平方，不难求出另两边和，进而可求得三角形的周长；
18年还有一个较难一点的三角填空题，求y=2sinx+sin2x的最小值问题，考查利用导数求最值或者结合倍角公式变形之后用四元的均值不等式求最值问题，或者用倍角公式后，先平方再结合导数或者均值不等式进行求解；
18年还有一个解三角形的解答题，给出角A和角ADC分别为45度和90度，AB=2，BD=5，首先让求角ADB的余弦值，其次给出DC长的2倍的根号2，让求BC，第一问结合正弦定理不难得出所求角的正弦值，再结合平方头条的基本关系式不难求得其余弦值，第二问给出DC和已知的BD，结合第一问求得的结果，不难求出角CDB的余弦值（诱导公式），结合余弦定理易得边BC；
19年有一个考查函数图象的选择题，是以三角函数为背景考查的，抓住奇偶性、特殊角的三角函数值，问题不难得解；
19年还有一个选择题，讨论函数y=sin｜x｜+｜sinx｜的性质（奇偶性、单调性、最值与零点问题）的一个多项选择题。
19年还有一个解三角形的解答题，考查正余弦定理应用，第一问求角A，比较简单，属于容易题，第二问属于中档偏下题目，考查正弦定理及三角形内角和，把B角用A和C角表示，立即转化成已知和所求，思路立即可得，借助于辅助角公式及特殊角的三角函数值不难求得结果。
全国二卷
15年新课标全国二卷没有出小题，在解答题第一题给出了一条角平分线，并且该角平分线把三角形的面积分为二比一的两部分（三角形ABD面积大），其第一问里考查了正弦定理与三角形的面积公式，结合给出的两个三角形面积间的关系，不难得出角B、C的正弦值之比为1/2，第二问给出平分线长为1，角平分线把对边分成两部分较短的CD为2分之根号2，求分得的另一部分长及边AC的长，根据面积间的2倍关系（或者角平分线性质定理），不难得到另一部分BD为根号2，难点在于求AC长，这一点的突破，可以依据角平分线AD把对边分成两个补角间余弦值的关系（互为相反数）建立方程来处理，易求得结果为1；
16年有一个选择题，给出（π/4-α）角的余弦值，让求角α的二倍角的正弦，主要考查二倍角公式的活用2（π/4-α）=（π/2-2α），结合二倍角的余弦公式，立即可求得需求结果；
16年还有一个选择题给出2x的正弦函数，求该函数向左平移π/12个单位后得到新图象的对称轴，该题考查图象变换、正弦函数的对称性；
17年有一个填空题，在[0,π/2]内，给出可以转化成关于余弦的二次函数，要学生求最大值的问题，考查平方关系的基本关系式以及给定区间内的二次函数的最值求解问题；
17年还有一个解三角形的解答题，第一问主要考查三角形的内角和及诱导公式、余弦的二倍角公式，第二问给出面积及两边之和，求另一边，重点考查余弦定理及两边和和平方与其平方和的关系，同角三角函数的基本关系式等内容；
18年有一个选择题，给出函数y=cosx-sinx在[-a,a]是减函数，让求a的最大值，本题考查辅助角公式、单调性问题，可以结合解不等式组（如果是填空题不要丢掉a为正），还可以用辅助角公式之后直接验证处理，亦可结合该函数的导数在区间内小于等于零恒成立问题；
18年还有一个解三角形的选择题，考查二倍角的余弦公式与余弦定理的综合应用，属于中档靠下的题目；
18年还有一个填空题，给出sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,sin(α+β)的值的问题，本题考查三角函数的化简变形能力，属于数学运算素养的考查，可以平方作和结合平方关系的基本关系式和两角和的正弦公式不难得解，另一种方法，也可以通过基本关系式的应用先消去一个元，求出cosβ和sinα，所求的量里还有一个cosαsinβ等于cosα的平方的相反数，结合前面求得的结果不难得到sin(α+β)的值；
18年还有一个解三角形的填空题，给出A、C角的余弦值和边a，求边b，可以先由余弦求正弦，再结合正弦定理求角B的正弦，然后再结合正弦定理求边b，也可以结合、平方关系的基本关系式和两角和的正弦公式求出角B的正弦，再由正弦定理求边b；
19年有一个选择题，给出关于一个锐角的2倍角的三角方程，让求该锐角的正弦值，主要考查二倍角公式的活用；
19年还有一个选择题，给出四个选项，让学生找出以π/2为周期且在（π/4，π/2）上单调递增的函数，考查三角函数的周期性问题，重点区分对自变量加绝对值和对函数值加绝对值的函数间关系，与一卷有类似之处；
19年还有一个解三角形的填空题，给出b边和另外两条边的关系，以及一个B角，主要考查余弦定理及三角形面积公式的应用。
全国三卷
15年新课标全国卷没有三卷；
16年有一个选择题，给出一个角的正切，让求一个二次的齐次式的值的问题，主要考查转化思想及二倍角公式、同角三角函数的基本关系式及弦化切的方法应用，来源于教材习题改编；
16年还有一个填空题，给出函数y=sinx-√3cosx可以由函数y=sinx+√3cosx的图象至少向右平移多少个单位长度得到，考查辅助角公式与图像变换的综合问题，属于中档题，本题在审题上也需细致认真，要看清由谁变换到谁；
16年还有一个角三角形的选择题，给出一个B角，以及BC边上的高是1/3BC，求cosA的值，考查数形结合，解直角三角形及两角和的余弦公式，属于中档偏下的题目；
17年有一个选择题，给出y=cos(x+π/3)，要学生找出错误的选项，仍然是从周期性、对称性、零点和单调性方面来考查，属容易题；
17年还有一个解三角形的解答题，给出角A的正弦与其根号3倍的余弦之和等于零，不难求得角A，结合条件边a、b结合余弦定理不难求得边c，第一问得解，结合第二问结合的直角三角形与三边长，不难解得解C的余弦值和边CD，进而求出边BD，再结合余弦定理求出B的余弦值和正弦值，最后求得三角形的面积；如果借助于两个小三角形的面积之比为1，所求三角形的面积等于整个三角形ABC的一半，则运算量大减；
18年有一个选择题，给出一个角的正弦值，让求这个角的二倍角的余弦值，是最简单的二倍角公式的考查；
18年还有一个填空题，求函数y=cos(3x+π/6)在[0,π]的零点个数，主要考查余弦函数的零点问题，求出整体范围之后不难得解；
18年还有一个解三角形的选择题，给出一个三角形的面积为4分之1倍的a的平方加上b的平方再减去c的平方，让求角C，本题考查三角形面积公式和余弦定理的综合，立即可以求得角C的正余弦值相等，进而求得角C；
19年有一个选择题，给出一个函数y=sin(ωx+π/5)(ω>0)，且该函数在[0,2π]有且仅有5个零点，要学生找出正确结论的序号，相当于一个多项选择题，属于稍难的题目，解答本题的关键是作出合适的图象，再结合条件找到相关内容（极大值点、ω的范围与单调性情况），问题立即可解；
19年还有一个解三角形的解答题，考查三角形内角和、诱导公式（变函数名称）、二倍角公式、正弦定理等不难得到第一问的B角，第二问给出三角形为锐角三角形和边c的值，让求三角形面积的取值范围，这个问题很容易转化成用边a表示，结合正弦定理转化为A角表示，最主要的问题在于求角A的范围，锐角三角形每个角均为锐角，其中B已知，C角的范围中隐含的A范围千万不能丢，结合C的范围求得边a的范围，进而求得面积的范围。
试题总结与展望
从全国一卷来看，除15年出了三个小题（两个选择题和一个填空题共15分）没有大题之外，后几年都是一大一小（17分）两个题目，19年一卷虽说有四道三角题，但有一道是以三角为背景的函数图象的内容考查，还有一道是以三角为背景的压轴题（其中考查三角内容的成分不大，算上这道题的话，就有25分左右了，如果再算上参数方程与极坐标中关于三角内容的考查，就得有30分左右了），主要考查三角函数图象和性质应用，包括血象变换、两角和与差的三角函数的正逆应用、正余弦定理的综合应用、三角形面积公式与内角和、及诱导公式等的综合应用，含绝对值的三角函数图象与性质等，除了15年和18年的两个填空题、16年的一个关于求ω最大值的选择题稍微有点偏难外，其它都属于中档或者偏易的题目，结合全国二卷和三卷，也均是一大一小或者三个小题（大题不考），除了19年三卷的那个多项选择题较难外，其它问题都属于中档或者偏易题目。
预测2020年命题方向为仍然可能是一大一小或者三个小题的命题方式，内容不会有大的变化，小题考查三角函数的图象或性质、图象变换、由图象求解析式或者研究性质等，也可能结合解三角形与两角和与差的三角函数的相关公式、诱导公式、考查面积与周长的求法，甚至考查三角函数里的参与取值范围问题，需要结合条件求得相关角的范围，再结合三角函数的单调性求得范围等。因为从19年来看，函数图象可考三角，向量可考三角、参数方程极坐标可考三角，立体几何可考三角，甚至导数也可与三角综合。所以一定要重视三角问题的基本公式、基本方法以及蕴含的基本思想等方面的应用。
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