摘要：数制体系是描述计算过程的基础工具，传统的二进制体系在经典计算机发展中起着至关重要的作用，这是毫无疑问的。但面对新型的量子计算，如何建立与之相适应的数制体制，却成为一个疑难问题。本文主要从中国古代以《太玄》为代表的“三性”思想出发，对量子计算建立数制的两难境遇进行了分析，结果指出，量子计算在本质上与经典计算不同的根本差别是量子纠缠性，其刻画的不仅仅是物质不可分别的波粒二象本性，也同样刻画了逻辑不可描述的真假同显本性。这样一来，要建立量子计算数制描述体系，就必然落入这样一种两难境遇：要么借用经典数制体系来模拟量子计算过程的描述，但不可能真正把握量子纠缠性的本性；要么就根本找不到可以描述这种具有“和合性”特点的数制体系。

  

一、引言

 

在计算机的发展史上，德国数学家、哲学家莱布尼兹创建的二进制应该说是起着极为重要的作用的。特别是后经英国数学家布尔系统化而形成的布尔代数，业已成为现代电子计算机的基础。但这并不意味说，对于计算机所宜采用的数制，就必定非二进制不可。实际上即使从电子计算机的数制表示效率上看，理论上更好的方案是三进制而不是二进制。关于这一点，江华、谭新旻在“三进制可行性探讨”一文中有严密的论述（江华、谭新旻，2002：51-53），其证明如下：

设采用x进制，则n位即表示n数的个数为：

z=x­­­­_­ⁿ                                                                  (1)

而n位所需设备状态个数位：

N=nx                                                                 (2)

将(1)，(2)整理可得

z=x^(N/x)=e^(N/x)lnx                                                         (3)

将(3)式两边对x取导数得：

z’(x)=(e^N/xlnx)(1-lnx)N/x²

当x>e时，y’(x)<0,z函数递减，当x<e时，y’(x)>0，z函数递增，所以当x=e时为极大点。

    与此可见，对于计算机而言，采用e进制效率最高。这里e为自然底数，介于2与3之间，但更接近3。所以从上面的推导我们可以得出这样的结论，采用三进制要比二进制更为理想。

    不过，就实现的方便而言，由于二进制仅需要设备单元两种状态，这样便于实现。而对于电子计算机的实现而言，区分电位的高低又比较容易，因此采用二进制也就成为设计电子计算机的必然。

    现在，随着对经典计算模式局限性的不断认识、随着各种新型计算模型，特别是量子计算模型的出现，重新反思传统计算数制，来探索适应新型计算模式的新数制，也就成为一个十分重要的问题。本文就是在这样的思想指导下，面向量子计算模式，通过比较中国古代《易》与《太玄》思想的差异，分析了基于二进制经典计算的局限性，提出一种强调“三性”迭加性质的“三进制”数制，来满足量子计算描述的需要。

 

二、基于二进制经典计算的局限性

 

莱布尼兹提出二进制的过程中，也受到对中国古代易卦解释的影响。“根据二进制算术，我们只使用两个符号：0和1，去表示其他所有数字。当我将这算术解释给白晋神父时，他在其中认出了伏羲的符号，因为[0与1]数字与它们完全符合：若是我们从断[阴爻]代表0以不断行[阳爻]代表1的话。”（秦家懿，1993：126）

    确实，易卦系统原本就是二进制计数系统，64个卦与0~63个二进制数一一对应。但是，这样的二进制解释与传统易学思想之间还是有不协调的地方的（王俊龙、瞿永玲，2002）。主要就是无法说明太极道生万物的问题。其实，如果一定要对应到数字，那么易经中太极才是0（无），而阳爻（—）为1，而阴爻（--）为2。注意，一阴一阳为之道，这里面有阴阳和合性（迭加性）问题，以及乾与坤等卦象的对偶性问题，却都无法用二进制来表示。这就是二进制与易卦系统之间的根本性冲突。

    那么，二进制中所忽略这种阴阳和合性揭示的是什么本质问题呢？这要从二十世纪初以希尔伯特为首的一批数学家所展开的一场数学运动说起。这场空前的数学运动的原来目的就是试图为全部数学构建起坚实的逻辑基础，从而实现这样一个数学家们一直梦寐以求的理想，那就是宇宙万事万物的规律都可以化归为数学表述的形式，而全部数学则又可化归为严密的逻辑形式化系统。

但令人意外的是，所有这些努力的结果却事与愿违，事实无情地宣告这一梦想的破灭。数理学家们终于认识到了逻辑计算系统的局限性。而第一个以严密的逻辑论证指出这一点的，正是曾经参与这一“宏伟计划”的、奥地利逻辑学家哥德尔。

1931年，哥德尔在证明了一阶谓词逻辑的一致完全性之后，旋即发表了一篇题为“论数学原理中的形式不可判定命题及有关系统”的论文（Gödel，1931：173-189）。在这篇论文中，哥德尔给出了两个惊世骇俗的定理，指出了逻辑形式系统不可克服的局限性。

哥德尔的这两个结论都是毁灭性的。实际上是宣告了公理化方法的局限性。更为糟糕的是，由于一致性的不可证明性，根本就无法保证整个数学体系中不会出现一个矛盾，而一旦真的发生了这种情况，而且矛盾又是无法消除，那么全部数学都将变得毫无意义。

哥德尔定理的另一个意义就是从根本上否定了排中律的有效性。以前我们坚信一个命题非真即假，但哥德尔定理指出，有些命题既不能被证明，又不能被证伪。也就是说，对任何形式系统都存在着不可判定的命题。

这说明，即使是形式系统，如果其描述能力足够强大，那么也会存在真假迭加性命题，无法满足非真即假的二分法。当然，这也就超越了二进制的表示范围。其实，几乎在算法化计算理论初创的一开始，公理形式系统不可回避的缺陷就波及到了这一年轻的学科之中。1936年图灵发表的论文（Turing，1936：230-265）与1941年丘奇发表的论文（Church，1941），恰恰说明的正是这一点，并被后人总结为图灵-丘奇论题。

如果以图灵机为我们的计算模型，那么图灵-丘奇论题指出的是这种计算模型的可以处理对象的范围，也就是说给出了可计算性的界限。根据图灵-丘奇论题，不能由图灵机完成的计算任务都是不可计算的。只有在所有输入上都终止的图灵机，才与直觉上可计算的算法相对应。尽管图灵-丘奇论题只是一种假设，但由于迄今为止，所有可能的计算模型，如递归函数、半图厄过程、λ演算、波斯特机等，其计算能力均没有超过图灵机，因此这一论题是具有权威性的。

考虑到哥德尔定理与图灵机的描述从本质上采用的都是二进制编码方法，因此，这同时说明了二进制表示的局限性。有趣的是，证明不可计算问题存在的方法，从本质上讲与哥德尔定理的证明如出一辙，利用的都是自指性（互指性）。因此，从这个意义上讲，也可以说，自指性（互指性）是一切形式系统的死敌，包括这里的形式计算系统。

从哥德尔定理可以知道，包括二进制体系在内的一切形式系统都是有局限性的，特别是无法描述、处理真假迭加性命题，当然也不可能描述合处理阴阳和合性问题。实际上，正是逻辑计算分析中的二元对立这一出发点才是形式系统局限性的真正渊数，其本质就是忽略了调和二元对立的“三”性，即和合性。

很明显，万物生化根本规律的“和合性”不是靠逻辑分析手段所能把握的，在方法论方面讲，其强调的就是一个“中”字，明代思想家聂豹认为：“中也者，和也，言中即和也。致中而和出也。”（聂豹，1992：691）。所谓“中”，就是摈弃概念分别的逻辑分析，强调的就是“中庸”、“中观”之“中道”方法论。不这样，就无以把握事物更为基本的“和合性”。比如牛顿时代的“三体性”问题，现代量子物理学中的“量子纠缠性”问题、心智的“意识自明性”、以及非线性科学的周期三之“混沌”等等，揭示的难道不正是万物“三性”这一本性吗？！而这些正是经典逻辑计算的极限所在！

 

三、《太玄》中的三进制思想及其“三性”的独立性

 

西汉末年的扬雄，在《太玄》中提出了不同于易经的万物演化的本体论（扬雄，1990）。特别强调阴阳之“和”的独立性与本源性，因此相对而言，从思想上，更加接近当代科学所揭示万物的本真，如量子态的迭加性、悖论的真假同显性、非线性科学揭示的混沌现象等。

扬雄，是西汉末年著名的哲学家、思想家，也是一位出色的文学家、文字音训家。在以拟《易》而作的《太玄》中，形成了自成体系的事物表征解释体系。从数制思想的角度看，《太玄》强调事物的发展规则是一分为三的，即云：“玄有二道：一以三起，一以三生。”具体地说就是：一玄覆盖三方，聚同九州，枝别二十七部，分正八十一家，宇宙万事万象，无不包络其中。

从表面上看，如果说，易卦体系可以与二进制相对应，那么太玄体系则可以与三进制相对应。但就《太玄》对《周易》符号模式的重新改组方面而言，则突显了它更多层面涵义的优势。主要包括有：1）强调三性体现的“和”，2）强调阴阳相互消长作用， 3）用和“---”补《周易》阳“－”与阴“--”的不足，更能体现“中和”之道（周立升，2001）。

中国古代思想家老子在论及万物的产生时指出：“道生一，一生二，二生三，三生万物。万物负阴而抱阳，冲气以为和。”（朱谦之，1984：175）为什么除了经由“二”还非要再经由“三”才能生万物呢？西汉严遵在《老子指归》中解释道：“一清一浊，与和具行，天人所指，未有形朕圻谔，根系于一，受命于神者，谓之三。……，三以无，故能生万物。”（严遵，1994：18）并指出“三”即“太和”。北宋的张载甚至将这“太和”看作是万物的终极本体，指出：“太和所谓道，中涵浮沈、升降、动静相感之性，是生氤氲、相荡、胜负、屈伸之始。其来也几微易简，其究也广大坚固。”（张载，2000：85）很显然，“三为阴阳交通之和也”，因此这“三”性，或者称“和合性”才是万物化生的本性。

在东方哲学中，万物化生的系统思想主要是以“是故易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦……”（朱熹，1987：62）为主导的。只是到了汉代扬雄的《太玄》这里（扬雄少时曾从严遵读书，因此受到过《老子指归》中“三生万物”思想的影响），才真正自觉到这“三性”的重要，建筑了系统的万物演化的三性学说。遗憾的是，尽管张载提出过“太和”本体思想（张载，2000），但后来正统的本体万物化生思想依然遵循着《易经》的思想发展，并被周敦颐的《太极图》理论所强化。而扬雄的“三性”学说没有得到应有的重视。而在此之前，虽然也包含了丰富的“三性”哲学思想，如上述老子的语录，却没有系统的“三性”理论。

其实，扬雄在《太玄经》中提出的“阴阳比叁”（这里的“叁”有同显性的两解，一是“叁（san）”，指“三”之数；另一是“参（can）”，指“成三的事物”）的三位一体理论，才真正是洞悉万物化生的其中“秘密”。尽管正像我们前面指出的那样，扬雄的“三性”论同样是建筑在阴阳变化之上的，还有不彻底的一面，还没有认识到“三性”本是第一性的这一问题。其实三位本是一体，无须二象分别，这才是“三性”的本义。

《国语•郑语》中有：“夫和实生万物，同则不继。以他物平他物谓之和，故能丰长而物归之；若以同裨同，尽乃弃也。”（左丘明，1988：515），可见二元对立“同”的局限（注意，这里“同”是排斥异类的“同”，因此从本质上是建立在概念分别的二元对立之上的），以及“三性”之“和”的万物之源。不仅作为本原是如此，“和合性”也是超越二元对立的根本所在。《晏子春秋•外篇》中当齐景公问“和”“同”之异时，晏子就指出：“和如羹焉，……，以平其心，……，清浊、大小、短长、疾徐、哀乐、刚柔、迟速、高下、出入、周流，以相济也。”（吴则虞，1962：49-50）。只有“相济”这些“清”与“浊”等对立面，才有这“三为阴阳交通之和也”。反之，这些“清”与“浊”等对立面的产生，也是对“和合性”分别概念的结果。

需要注意，“三性”不是简单的“三”之数，而是对“二元对立”的否定与超越，是经由“二性”后在更高层次上对“一性”的回归。只有认识到了这一点，才能够清楚认识到“和”所代表的“三性”是不能用二进制数来表达的。对于这一点，库萨在《论隐秘的上帝》一书中说得最为明白：“因此，我的上帝，你那让我觉得最单纯、最统一的本质，并不是脱离了三个别名的最自然、最完善的本质。你的本质是三重的。尽管如此，并不是说在本质中包含着三种东西，因为，你的本质是最单纯的。……。那个统一是三重的，它不是几个个别数字的统一，因为几个个别数字的统一并不是三重的。”（库萨，1996：103）

不过，在中国古代对“三性”的认识上，还不是第一性的，而是在“道一”、“神（阴阳之变化）二”之后第二性的东西。针对量子计算的要求，我们这里所要强调的“三性”则是不可以化简为“二元”性或阴阳的“和合性”，其与中国古代思想家们强调的阴阳和合还有不同。与“一生二，二生三”不一样，我们的“三性”是第一性的，是万物本源的根本属性，阴与阳才是第二性的，是对“和合性”概念分别的结果。因为从根本上讲“三性”是超越概念分别范畴的，而分阴分阳是有条件的，是对“三性”分析“测量”而“坍缩”的结果。因此从这个意义上讲，“三性”就是阴与阳的迭加态。只有这样，才能够使得扬雄提出的阳、阴与和（阴与阳的迭加）这样的三进制（或称三性数制更确切），不可以被二进制所替代，并符合量子计算数制表示的需要。

 

四、建立量子计算过程描述数制的困境

 

其实量子计算机的研究有着较长的历史。此前，有许多人认为根据摩尔定律，计算机的运算性能可以无限制提升，但如果考虑到单元尺度足够小的时候会受到量子效应与散热问题的限制时，那么摩尔定律必然会失效。因此，上世纪五十年代后期，为了解决散热及量子尺度的计算问题，就有研究人员开始研究量子可逆计算问题（从热力学角度看，物理上的可逆过程是不消耗能量的，因此自然就从根源上解决了散热问题）。起先是利用粒子的自旋，成功地进行了简单的两位量子逻辑运算；到了八十年代，则是量子计算研究的真正初创期，本纽夫在此期间首先给出了一种图灵机的量子机制描述（Benioff,1980），其主要概念是可逆计算，可称为可逆图灵机，当然离真正的量子图灵机还差得很远。而从量子效应考虑图灵机设计的是由费尔曼开始的（Feyman,1982），到了杜特煦（Deutsch,1985）才取得了实质性进展，给出了真正的量子图灵机的描述。到了九十年代，不但有了通用量子图灵机构造证明（Lloyd,1996），而且量子计算复杂性理论也已初步形成（Williams,2000）。与此同时，最早的专用量子计算机也于1998年建成并投入运算。

当然，量子计算必然受到量子自然机制的制约，因此必然首先满足一切量子力学的性质。这些性质包括：相干性、纠缠性、非确定性、不可克隆性和非定域性。这其中纠缠性是纯量子现象，只有在量子行为中才出现的现象，因此相对经典计算而言，具有本质意义上不同。也正因为这样，对于量子计算得数制问题，必须要考虑到对纠缠性的表征。

诚然，量子的逻辑位与传统计算机的逻辑位一样，都能表示一位二进制信息。但不同的是，从量子系统中读出这样的信息位是通过量子自旋向上表示“零”或向下表示“壹”来实现的。由于量子态的纠缠性质，量子计算就将原来经典计算“零”“壹”逻辑用纠缠的零性和壹性的不确定概念替代了。特别是，在没有测量干涉的自然状况下，量子位所代表的是这“零”与“壹”的某种迭加态，不可化解为二进制某个编码的。到时经典二进制的某个编码可以看作是这种迭加态坍缩的结果。

因此，对于量子计算而言，如果要选择数制来精确地刻画其状态的描述，必须采用具有“和”性这第三极的三进制。也就是说，三进制的三极可以分别记为“零”“壹”“贰”，但这里的“零”具有特别的“三性”或“和合性”，在一定条件下，可以坍缩为“壹”或“贰”。当然如何建构这样一种数制，以便更方便地描述量子计算过程或算法，而不是像目前那样借用量子波函数方程来描述，也就成为一个重要和困难的问题。

目前，尽管在理论上，可以将任意量子计算过程的执行看作是由一台量子图灵机完成的，由一条无限长的量子储存带和靠量子机制相互作用的读写头组成。“带”的每个单元均代表一个量子记数位，可以以“0”与“1”的迭加形式存在，这样就可以在带上同时对编码问题的许多输入进行计算，结果为所有输入对应结果的迭加并通过测量获得所有这些经典结果确定的联合性质。但这样的理论量子图灵机，也是借用经典图灵机的概念来类推的，并不能在本质上刻画量子的纠缠性。而我们知道，正是因为纠缠态的存在，才使得量子计算不同于经典的图灵机（包括不同于非确定的概率图灵机）。

很明显，从形式化描述的角度看，量子计算的数制问题是一个十分重要的问题。但如果，量子计算中纠缠性的本性，就是不可形式化的，那么也许我们永远也不可能建立真正意义上的量子计算数制体系。其实，由于三性涉及到的正是不可概念分别的本源问题，因此尽管我们可以给出一些“暂时性”的形式化描述方法，比如像已有的量子图灵机理论，但我们永远也不可能完全给出量子计算过程真实的形式化描述系统。而量子计算的数制问题也将永远成为一个悬而未决的问题。

 

五、结论

 

    综上所述，量子计算在本质上与经典计算不同的根本差别是量子纠缠性，其刻画的不仅仅是物质不可分别的波粒二象本性，也同样刻画了逻辑不可描述的真假同显本性。这种本性，集中体现在中国古代以《太玄》为代表的“三性”思想之中，是超越概念分别的。因此，从建立量子计算数制描述体系而言，这就必然存在一个难以逾越的把握“和合性”的鸿沟。也就是说，一方面，量子计算的发展需要有与之相适应的数制描述体制，而不能简单借用传统的二进制数制体系；但另一方面，传统的数制描述，包括任何建立在概念分别之上的数制体系，又都无法从本质上把握量子纠缠性迭加的本性。这样就使得任何建立量子计算的数制体制，必然落入一种两难的境遇。

 

参考文献

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                                          周昌乐，原载《心智与计算》，2007年创刊号