希波克拉底定理（月牙定理）

人们在追求“化圆为方”的难题的解决过程中，发现有一些除圆以外奇妙的曲边图形的面积会和某个多边形面积相等。这种发现最早应归功于古希腊的几何学家希波克拉底。他首先发现了如下的结论：“以直角三角形两直角边向外作两个半圆，以斜边向内作半圆，则三个半圆所围成的两个月牙形（希波克拉底月牙）面积之和等于该直角三角形的面积。"（如图1）下面给出它的证明：

设△ABC为直角三角形，a,b为二直角边， c为斜边。由勾股定理有 ，则有。即直角边上两个半圆面积之和等于斜边上半圆的面积。

图1

再从上面等式中，两边同时减去图中不带阴影两个月牙形面积S1、 S2，便可得出结论：“直角边上的两个月牙形的面积之和等于直角三角形的面积。”

希波克拉底对几何学的贡献很大，他的《几何纲要》是几何学的第一本教科书，据说包括了欧几里得《几何原本》的前四卷内容。希波克拉底曾致力于“化圆为方"和“立方倍积"问题的研究。

而他的“月牙定理"的发现，曾给数学家以很大的鼓舞，认为“化圆为方"问题也不难解决了。包括希波克拉底也这样认为。他曾先将一般直角三角形改为等腰直角三角形，并指出：“正方形边上的两个月牙形面积之和等于该正方形面积之和的一半”（如图2）。

图2

这显然是对的。但他未加证明“想当然”地将圆内接正方形的结论“推广”到圆内接正六边形：“正六边形三边上的月牙形面积之和等于正六边形面积的一半”（如图3）。这显然是错误的，而他在此错误基础上却引出了更错误的结论：“圆可以化为方。”


图3

月牙定理结论的优美令人称奇不已，显示了割补的技巧，终于使人相信一个曲边形的面积竟可以用一个直边形的面积代替。这就大大开启了我们的心灵之窗。其实希波克拉底还作出了一个与月牙形等积的正方形（如图4），即

S月牙ADBE=S正方形BFOG

图4

应该承认希波克拉底解决问题的方法是天才的。但他在处理所谓的“化圆为方"的问题时，却犯了对命题未加证明就“想当然"作出结论的毛病，从而得出了错误的结论。这一著名实例对我们学习数学的青年人是很有借鉴作用的。