也许是“三大几何难题'让人绞尽脑汁也难以获解，因而人们长期以来也不敢去涉及角的三等分线问题。自欧几里得之后的几千年内未发现有关角的三等分方面的结果。

然而到1904年，英国著名的代数几何学家莫利却发现了一个惊人的结论，即所谓的“莫利定理”：将任意三角形的内角三等分，则与每边相邻的两条三等分线的交点构成了一个等边三角形（如图5）。结论是这么漂亮、优美，简直难以置信。这一惊人的结果，被誉为自欧几里得以来所发现的最为优美的定理，是初等几何的一颗明珠。

图5

莫利是数学家，他的最后50年是在美国度过的，但他一直未放弃英国籍。1904年，莫利给英国剑桥的一位朋友的信中提到过这个定理，20年后才在日本发表。此期间这个定理再次被发现并作为问题征解出现在《教育时报》上。在送交的众多答案中，纳拉尼恩加给出的证法最为简洁，且是纯几何法。下面我们来介绍他的证法（如图6）。

图6

设△ABC的 ∠A=3α，∠B=3β，∠C=3^

希波克拉底定理（月牙定理）

人们在追求“化圆为方”的难题的解决过程中，发现有一些除圆以外奇妙的曲边图形的面积会和某个多边形面积相等。这种发现最早应归功于古希腊的几何学家希波克拉底。他首先发现了如下的结论：“以直角三角形两直角边向外作两个半圆，以斜边向内作半圆，则三个半圆所围成的两个月牙形（希波克拉底月牙）面积之和等于该直角三角形的面积。'（如图1）下面给出它的证明：

设△ABC为直角三角形，a,b为二直角边， c为斜边。由勾股定理有 ，则有。即直角边上两个半圆面积之和等于斜边上半圆的面积。

图1

再从上面等式中，两边同时减去图中不带阴影两个月牙形面积S1、 S2，便可得出结论：“直角边上的两个月牙形的面积之和等于直角三角形的面积。”

希波克拉底对几何学的贡献很大，他的《几何纲要》是几何学的第一本教科书，据说包括了欧几里得《几何原本》的前四卷内容。希波克拉底曾致力于“化圆为方'和“立方倍

五 、编后漫笔集粹

这部分是我为《中小学数学》（高中版）写的“编后漫笔”。这些短文本来也可以按课程、教材、心理、教法等进行分类，但考虑到这组文章具有“随笔”性质，大都是在审阅稿件时受到启发，作为“有感而发”的即时作品，以“流水账”的方式呈现也是有道理的，所以就采取“偷懒”的做法，把 2008——2015 年的所有“编后漫笔”逐篇按时序罗列。

下面再说点题外话，主要说说对数学教育这门学科的粗浅认识。我觉得，数学教育的学科定位一定要强调它的跨学科特征，这一点从国际数学教育大会所列的研究课题中可见一斑；同时要强调它的实践品格，某种意义上，数学教育是一门“应用学科”。这样，对于一个数学教育研究者的要求也就具有“综合性”，既有认知结构的综合性要求，也有课堂教学实践的要求。

数学教育应强调它的数学学科背景，数学教育研究者的数学水平必须过硬，这就像“教好数学的前提是自己先学好数学”的道理一样