第五单元《 圆》知识点

一、   认识圆

1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。

2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。

一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等．（画圆切忌别忘记标圆心0）

3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。

把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。

4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。

直径是一个圆内最长的线段。

5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。（画圆给出半径标半径r=?，给出直径标直径d=?）

6、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的直径都相等。

7．在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的。

用字母表示为：d＝2r或r ＝ 或r=d÷2

8、轴对称图形：

如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。

折痕所在的这条直线叫做对称轴。

9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。

10、只有1一条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。

只有2条对称轴的图形是：   长方形

只有3条对称轴的图形是：   等边三角形

只有4条对称轴的图形是：   正方形;

有无数条对称轴的图形是：   圆、圆环。

二、圆的周长

1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。

2、圆周率实验：

在圆形纸片上做个记号，与直尺0刻度对齐，在直尺上滚动一周，求出圆的周长。

发现一般规律，就是圆周长与它直径的比值是一个固定数（π）。圆的周长总是它直径的3倍多一些。

3．圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。

用字母π（pai） 表示。

（1）一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。

圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时，一般取π ≈ 3.14。

（2）在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是3.14倍。

（3）世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。

4、圆的周长公式： C= πd                   d = C ÷π

或C=2π r                  r = C ÷ 2π

5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。

在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。

6、区分周长的一半和半圆的周长：

（1） 周长的一半：等于圆的周长÷2           计算方法：2π r ÷ 2   即   π r 

（2）半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。  计算方法：πr＋2r  πr＋d                                                   

三、圆的面积

1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。  用字母S表示。

2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。

3、圆面积公式的推导：

（1）、用逐渐逼近的转化思想：体现化圆为方，化曲为直；化新为旧，化未知为已知，化复杂为简单，化抽象为具体。

（2）、把一个圆等分（偶数份）成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。

（3）、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。

圆的半径    =      长方形的宽  

圆的周长的一半    =      长方形的长   

因为：        长方形面积    =      长     ×   宽

 

所以：             圆的面积 = 圆周长的一半 × 圆的半径

                         S圆 = πr × r =  πr²

 圆的面积公式：      S_圆 =   πr²                 r²  =  S ÷ π

圆的面积公式：      S =πr²  ÷2      或S = πr²

圆的面积公式：      S =πr²  ÷4      或S = πr²

4、环形的面积：（环形的面积等于外圆面积与内圆面积的差）

   一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r。（R＝r＋环的宽度．）

S_环 = πR²－πｒ²　    或

环形的面积公式：      S_环  = π（R²－ｒ²）。

求环形的面积，一定要先想法分别求出外圆的半径（R）和内圆的半径（r）

再代入公式计算。一步一步的来，这样不容易错误。注意用公式S_环  = π（R²－ｒ²）

计算时，要先算出2个平方数，再相减。切忌相减后再平方。

5、扇形的面积计算公式：     S_扇 = πr²× （n表示扇形圆心角的度数）

6、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。

而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。      例如：

在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大9倍。

7、两个圆：  半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方。    例如：

两个圆的半径比是2∶3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3，而面积比是4∶9

8、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：4∶π

   圆的周长是直径的π倍，圆的周长与直径的比是π：1

   圆的周长是半径的2π倍，圆的周长与半径的比是2π：1

9、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆周长最短。

10、周长计算公式：

知道半径求周长：C=2πr    知道直径求周长：C=πd 

已知周长：D=C÷π           圆周长的一半：周长（曲线）

半圆的周长：周长+直径    C =πr＋2r

面积计算公式：（无论是知道直径或者周长，都应该先求出半径，再求面积）

知道半径求面积：S=πr²     知道直径求面积：S=π（d÷2）² 

知道周长求面积：S=π（C÷π÷2）²

11、确定起跑线：

（1）每条跑道的长度 = 两个半圆形跑道合成的圆的周长 + 两个直道的长度。

（2）每条跑道直道的长度都相等，而各圆周长决定每条跑道的总长度。（因此起跑线不同）

（3）每相邻两个跑道相隔的距离是：  2×π×跑道的宽度

（4）当一个圆的半径增加ａ厘米时，它的周长就增加２πａ厘米；当一个圆的直径增加ａ厘米时，它的周长就增加πａ厘米。

 

12、常用各π值结果

 π = 3.14

2π = 6.28  

3π = 9.42

 5π = 15.7

 6π = 18.84 

7π = 21.98 

9π = 28.26

10π = 31.4             

16π = 50.24 

36π = 113.04

64π = 200.96

96π = 301.44