[补充]

费氏数的神奇性质：


一、如果你把前五个费氏数加起来再加 1，结果会等于第七个费氏数；如果把前六个费氏数加起来，再加 1，就会得出第八个费氏数。那么前 n 个费氏数加起来再加 1，会不会等于第 n + 2 个费氏数呢？

1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 1 = 13
1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 1 = 21
由于每一个费氏数都是其前两项费氏数的和，

事实上，我们的确可以利用数学归纳法证明数学归纳法原理 对每一个自然数 n，P(n) 为一命题。若

1.P(1) 为真
2.对任意自然数 k，若 P(k) 为真，则 P(k+1) 亦为真
则对每一个自然数 n，P(n) 为真。

数学归纳法就像骨牌效应一样：如果你敢肯定你的骨牌排的很好每一张骨牌被推倒时，都能连带地把下一张骨牌也推倒那么只要有人推倒第一张骨牌，它就会推倒第二张骨牌，结果又推倒了第三张骨牌，以此类推，你就知道后面所有的骨牌都会跟着倒下，没有一个例外。因此当我们要证明「某性质对所有自然数都成立」时，不再需要大费周章地检验每一个自然数，就如同不用亲自把骨牌一张张地推倒一样。只要确定 n = 1 成立，再确定对任意自然数 k，若 n = k 成立，则 n = k + 1 亦成立；由数学归纳法原理我们就可以肯定此性质对所有自然数 n 都成立。

F1 + F2 + …… + Fn + 1 = Fn + 2

证明：

1.n = 1 时，
左式 = F1 + 1 = 1 + 1 = 2
右式 = F1+ 2 = F3 = 2
故等式成立。

2.对任意自然数 n，假设 n = k 时等式成立，即
F1 + F2 + …… + Fk + 1 = Fk + 2
则
F1 + F2 + …… + Fk + Fk + 1 + 1
= ( F1 + F2 + …… + Fk+ 1 ) + Fk + 1
= Fk + 2 + Fk+ 1
= Fk + 3
故 n = k + 1时等式成立

由 1. 2. 与数学归纳法原理得证：
F1 + F2 + …… + Fn + 1 = Fn + 2


二、如果我们分别对偶数项与奇数项做加法运算的话，情形又如何呢？

1 + 2 + 5 = 8
1 + 2 + 5 + 13 = 21
1 + 1 + 3 + 8 = 13
1 + 1 + 3 + 8 + 21 = 34

我们可以得到下列的结果：

F1 + F3 + …… + F2n - 1 = F2n
1 + F2 + F4 + …… + F2n = F2n + 1
F1 + F3 + …… + F2n - 1 = F2n -------------- ( a )
1 + F2 + F4 + …… + F2n = F2n + 1 --------- ( B )

证明：
( a ) 利用数学归纳法：
1.当 n = 1 时，
左式 = F1 = 1
右式 = F2 = 1
故等式成立。
2.对任意自然数 n，若n = k时等式成立，即
F1 + F3 + …… + F2k - 1 = F 2k
当 n = k + 1 时，
左式 = F1 + F3 + …… + F2k - 1 + F2k + 1
= (F1 + F3 + …… + F2k - 1 ) + F2k + 1
= F 2k + F2k + 1
= F2k + 2
右式 = F2( k + 1) = F2k + 2
故等式成立。
由 1. 2. 与数学归纳法原理得证：
F1 + F3 + …… + F2n - 1 = F2n
( B ) 的证法与 ( a ) 相同。


三、更不可思议的是，如果我们把第三项的平方加上第四项的平方会得到第七项：

22 + 32 = 4 + 9 = 13

试试看其他的情形。Fn2 + Fn + 12 = F2n + 1是不是都成立呢？

32 + 52 = 9 + 25 = 34
82 + 132 = 64 + 169 = 233


四、所謂等角螺線就是向徑和切線的交角永遠不變的曲線，如下圖：

一個黃金矩形可以不斷地被分為正方形及較小的黃金矩形，通過這些正方形的端點（黃金分割點），可以描出一條等角螺線《為什麼》，而螺線的中心正好是第一個黃金矩形及第二個黃金矩形的對角線交點，也是第二個黃金矩形與第三個黃金矩形的對角線交點。如下圖：