Romney:我觉得这是很有意思的一篇文章，这篇文章很好的解答了价值投资在学理上带给我的困惑。发上来纯粹是因为我觉得它很好玩，所以和大家分享一下。对于投资本身，这种数学上的游戏，价值或许并不大的。
1、凯利判据的定义：
凯利判据(英文wikipedia)是一种人们在面对不确定事物时的选择标准，更准确地说，凯利判据是效应函数为“log函数”的投资者（或赌徒）的决策方式。下面直接用一个例子来说明：
一个赌徒可下注一场赌博，他有http://zhiqiang.org/blog/wp-content/plugins/latex/cache/tex_83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.gif Romney" />
的概率赢回同样多的本金，另http://zhiqiang.org/blog/wp-content/plugins/latex/cache/tex_31bf5573d0f26d8e8a21c347fac3c80e.gif Romney" />
的概率输掉从而失去下注的本金。假设http://zhiqiang.org/blog/wp-content/plugins/latex/cache/tex_118d56bb23c1f2c36943a8248ef3309c.gif Romney" />
和初始本金为http://zhiqiang.org/blog/wp-content/plugins/latex/cache/tex_c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif Romney" />
，他应该下注多少？
假设该赌徒下注了http://zhiqiang.org/blog/wp-content/plugins/latex/cache/tex_9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif Romney" />
，那么有http://zhiqiang.org/blog/wp-content/plugins/latex/cache/tex_83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.gif Romney" />
的概率期末资产为http://zhiqiang.org/blog/wp-content/plugins/latex/cache/tex_9f9e74cb81443745e6ec1ba43349500f.gif Romney" />
，另http://zhiqiang.org/blog/wp-content/plugins/latex/cache/tex_31bf5573d0f26d8e8a21c347fac3c80e.gif Romney" />
的概率期末资产为http://zhiqiang.org/blog/wp-content/plugins/latex/cache/tex_951ebf3d84016150c6241fb72a055f79.gif Romney" />
。由于该赌徒具有http://zhiqiang.org/blog/wp-content/plugins/latex/cache/tex_cb139ffd45872a9a5f17ece5cdb1d314.gif Romney" />
的效应函数，他的期末资产的效应函数为
http://zhiqiang.org/blog/wp-content/plugins/latex/cache/tex_366d31449b400a0e3024b7eb461d4d79.gif Romney" />
该赌徒应该选取http://zhiqiang.org/blog/wp-content/plugins/latex/cache/tex_9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif Romney" />
使得有最大的期末效用，即最大化上面的http://zhiqiang.org/blog/wp-content/plugins/latex/cache/tex_50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.gif Romney" />
。求解http://zhiqiang.org/blog/wp-content/plugins/latex/cache/tex_4a3fc52d7e6d57bcf9bad4287f7c9ad0.gif Romney" />
便知赌徒应该下注http://zhiqiang.org/blog/wp-content/plugins/latex/cache/tex_923edf673e2e15b4a6f90a9bf5161015.gif Romney" />
。
得出凯利判据的其它角度
经典的组合管理理论认为风险是由波动导致的投资者效应函数的损失，比如对投资者而言，涨50%获得的效用要比跌50%失去的效应少，故投资者不会投资于同等概率涨跌50%的资产。
但凯利判据认为，涨50%和跌50%本身就是不一样的，比如先涨50%再跌50%，投资者会损失25%。正确衡量投资率的方法是使用连续复合增长率（continuously
compounded return）。一个收益率http://zhiqiang.org/blog/wp-content/plugins/latex/cache/tex_4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.gif Romney" />
对应的连续复合收益率为http://zhiqiang.org/blog/wp-content/plugins/latex/cache/tex_a4c28f6c554a9d4de3bf4cbbde8e8979.gif Romney" />
。而上面的凯利判据即为最优化连续复合收益率的期望值。
凯利判据也可以看作为优化http://zhiqiang.org/blog/wp-content/plugins/latex/cache/tex_f00cbeae84572900936b22da845776ae.gif Romney" />
，即优化期末资产的几何平均值（注意一般的组合理论直接优化算术平均数也就是期望值）。
凯利判据虽然是一种非常有用的工具，但在投资领域的应用并不多。除了量化投资者之外，对凯利判据比较认同的著名投资人只有Legg
Mason基金的Bill Miller。在2006年的Wesco股东大会上，有人问芒格是否会用凯利判据确定投资规模的大小。芒格回答说凯利判据无法应用于他所经营的投资中。但是，芒格认为凯利判据的主旨是有道理的，与他自己的行为方式很像。
2、凯利判据与投资 凯利判据的投资方式最大的特点和问题是高度集中投资。当获胜的概率很大，潜在回报超出潜在损失时，依照凯利判据，需要把投资集中于少数几个投资对象上。由于投资高度集中，其波动性也非常大。这对一般投资人很难接受。 与凯利判据的集中投资方式相反，马柯维茨的现代资产组合理论是基于市场有效论的，认为通过分散投资及不同的资产组合（如股票和债券），可以在风险最小的情况下获得最大化的回报。通过优化投资组合，实现波动最低，收益最高的有效边界（Efficient
Frontier)。 这两种投资方式的根本区别在于：凯利判据的方式是通过最大化几何平均值实现最高的复利增长。而马柯维茨的现代资产组合是通过最大化算术平均值实现相同风险水平下最高的收益。 学者Estrada通过模型数据探讨了这两种投资组合策略的区别。下图中S代表马柯维茨组合策略，G代表凯利判据组合策略。他发现凯利判据的投资组合高度集中。比如在不同投资的选择中，马柯维茨组合策略只是在4种不同的股票和债券选择中调节比例。而凯利判据的投资组合策略只会选取1-2种投资。根据过去所有的历史数据，凯利判据组合策略在1998年选择美国股票作为全部投资，在2003年选择77.4%的美国股票和22.6%的新兴市场股票。而在2008年，根据历史数据，凯利组合策略选择了新兴市场股票作为全部投资。 http://hiphotos.baidu.com/%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD/pic/item/2c02566ea12262b983cb4a45.jpg Romney" TITLE="分享：凯利判据 Romney" /> 既然凯利判据的组合策略更优，为什么没有得到广泛应用呢？答案也许在于人们对风险的厌恶和投资的短线。不是所有人都有巴菲特“别人恐惧时我贪婪”的心态，也不是所有人都有巴菲特那样的长线资金。一般人宁愿平稳的缓慢增长，也不愿意过山车式的高速增长。投资者会因为短期的波动而离开。著名投资人Jeremy
Grantham曾经由于坚持正确的投资策略而失去了所管理的60%的资产。 http://hiphotos.baidu.com/%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD/pic/item/2a42f17bc5ee489708d18746.jpg Romney" TITLE="分享：凯利判据 Romney" /> 巴菲特的投资方式看来更接近凯利判据组合策略：高度集中，波动更大，长期回报更高。巴菲特在早期曾经把所有资产的40%投入美国运通的股票之中。截至2010年3月，可口可乐股票占伯克希尔哈撒韦的投资组合高达20%左右，而前10大股票约占其全部投资组合的90%左右。 凯利判据的投资策略从理论上证明了巴菲特的投资方式的长期优势。但是，理论上的正确并不代表这种投资方式会得到广泛应用，因为人的天性就是厌恶风险与波动，人并不是理性的
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(2012-06-16 13:14:00) 
