近日，区里组织职称评定，其中一项内容是说课，由于参加评定的数学教师较多，为了公平起见，在内容的选择上我们确定了人教版五上多边形面积这一单元的四块内容。经过一下午的说课与答辩后，感触很深。细细地回味与沉思，感受到对多边形面积的教学研究有待深入，特别是数学教学中数学本体知识的把握与“数学味”的体现值得探究。

前续：数学概念的规范操作

首先，我们来看“面积”的概念，它是指平面或曲面封闭图形所围的区域的大小，这个大小可以用一个数量来描述。描述或度量一个图形的面积是以一个边长等于单位长度的正方形的面积作标准的。这个标准的正方形称为“单位正方形”，它的面积称为“单位面积”。为此，奠定了面积计算的基本方法是“单位面积”度量法。于是，在长方形面积公式的推导过程中通过用“单位面积”的度量，构建了长方形面积计算公式，归纳出长方形面积=长×宽。

是不是所有的长方形面积都可以通过长×宽来获得呢？也就是长方形两边分别为a、b个单位时，他们的面积就是S=ab（面积单位）吗？这是我们数学教师需要思考的问题。为了证明这个问题，我们假定当a，b为正整数时，长方

形就可以分为ab个单位正方形。当a，b中至少有一个为分数时，设a=，b=（m、n，p、q互质，m或p可为1），如以边长为的小正方形为新单位，则长方形被分为np×mq个新单位正方形，因此：

S=np×mq（新单位）=np×mq×（）²（面积单位）= ×=ab（面积单位）。

当a，b中有一个为无理数时，这时可以用极限（思想）来叙述与证明。可见，长方形面积就是等于长×宽，即：S=ab。于是，我们可以把长方形面积=长×宽作为平面图形面积推导的公理来使用。

对于平面图形还有如下的性质：

1、一个平面图形可以在空间中移动而不改变现状和大小。

2、经移动可以重合的平面图形，认为是全等的图形，他们的面积相等。

3、从图形中移出一块，再移入等积的一块，面积不变；图形面积等于它各部分面积之和。这就是割补原理。

在此基础上，面积公式的推导就顺理成章了。例如：平行四边形面积公式的推导，经过一次或若干次出入相补，可将平行四边形转化为等底等高的长方形；从而得到平行四边形面积的计算公式。如下图：

 

第一次出入相补

第二次出入相补

 

 

 

 

 

 

基于此，我们有以下的教学思考：

一、理解编排特点，把握教学本质

人教版五（上）多边形面积这一单元包括平行四边形的面积、三角形的面积、梯形的面积和组合图形的面积四块内容。教材是根据图形面积之间的内在联系安排教学内容的。学习这些图形的面积计算又以长方形面积计算为基础，以图形内在联系为线索，以变换为途径，以未知向已知转化为基本方法开展学习，以促进知识的迁移和学习能力的提高。

平行四边形、三角形和梯形面积计算是在学生掌握了这些图形的特征以及长方形、正方形面积计算的基础上学习的，它们是进一步学习圆面积和立体图形表面积的基础。之后安排的组合图形的面积计算，也是呈现把一个组合图形分解成已学的平面图形来计算，巩固对各种平面图形特征的认识和面积公式的运用，并发展学生的空间观念。

多边形面积计算以经历探究面积公式为主导，辅以实际意义的理解和把握，实践面积的计算，促进能力的提高。在平行四边形面积教学中，先借助数方格（单位面积度量）的方法，得到平行四边形的面积；再引导学生通过割补法将平行四边形转化为已学的长方形，推导出平行四边形的面积计算公式。

对于三角形面积计算的教学，要求学生将三角形转化为已学过的图形来推导面积计算公式。教材呈现的是两个一样的三角形拼成一个平行四边形，体现的是倍积变换思想，而这种变换思想教材是第一次出现。有了前面的探究经验，在进行梯形面积教学时，要求学生综合运用学过的方法自己推导出面积计算公式。

可以说，每一种图形教材都没有给出推导的过程和公式，让学生通过多种途径探索，自己发现规律，自己得出结论，从而给教师和学生留有较大的创造空间。

平面图形	教材呈现的推导手段	数学思想方法	本质
长方形（正方形）	单位面积度量法	不完全归纳	转化 联系 运动 迁移
平行四边形	单位面积度量法 割补法	等积变换
三角形	拼合法	倍积变换
梯形	割补法、拼合法	等积、倍积变换
圆	分割拼合法	等积变换

 

 

 

 

 

 

 

综上所述，教材对平面图形面积公式的推导主要体现以下特点：

二、实践几何变换，创新探究活动

等积变换是几何学习中重要的思想方法，也是数学推导与证明的一种重要手段。例如，我们计算中的递等式计算、解方程时实际上体现了等值变换的一种思想。这种思想对于推导面积计算公式起到了重要的作用。从平行四边形转化为正方形，从圆转化为平行四边形（长方形），包括从三角形、梯形转化为平行四边形（长方形）都可以从等积变换中获得成功。等积变换的基本思路是先分割再拼合。

这种等积变换思想应成为我们数学教学实践活动中一条重要的策略。为此，在三角形面积公式推导中，可以采取割补的方法，探索等积变换思想获得面积公式。

 

拼成的平行四边形的底等于三角形的底，高等于三角形高的一半。

方法一：                                   方法二：

 

拼成的长方形的底等于三角形的底，高等于三角形高的一半。

  

拼成的长方形的高等于三角形的高，底等于三角形底的一半。

方法三：

 

 

还可以通过折叠的方法：折出的长方形面积是三角形面积的一半，而长方形的长和宽分别等于三角形底和高的一半，从而得到三角形的面积。如下图：

 

 

同理，在梯形面积计算教学中，也可以运用等积变换思想来推导公式。如将梯形转化为两个三角形，也可以转化为一个平行四边形和一个三角形，如下图所示。

 

 

还可以通过分割中位线把它转化为平行四边形。

 

 

以上的这些方法都是通过等积变换的思想来推导出所求图形的面积计算公式。但是，在实践教学中，我们老师更多地喜欢倍积变换的思想来推导三角形和梯形的面积公式。往往将两个一样的三角形拼成一个平行四边形，两个一样的梯形拼成一个平行四边形，从而得到面积公式。如下图所示。

 

  

 

倍积变换的基本思路是先拼合，再分割（还原）。可见，与等积变换思路正好相反。当然，他们的本质是一致的，是运用了数学学习和研究的一种重要方法——“转化”。对于平面图形面积公式的推导一般都采用了转化的方法。教师通过学生的操作探究活动，启发学生把所学的图形转化为已经会计算面积的图形，落实“转化”的思想方法；然后引导学生思考探究所学图形与转化后的图形之间有什么联系，从而找到面积的计算方法。

数学教育家傅种孙曾说过：“论述等积问题，以割补为上策，割补办法行不通了，则继而加减并用，加减还是不行，便继之以极值法。”这或许对我们的教学以启示。但是，为什么学生和老师都喜欢采用倍积变换的思想来实践呢？这是值得我们思考和研究的。尽然学生的学习依赖性比较强，从四边形中衍生出两个三角形的直觉能力较好。但在这里，教师的意识也起到了较大的作用，因为学生的操作材料中教师已有意识地引导学生用两个图形来拼组。按照现在流行说法：学生是不是“被探究”了？但不容置疑，倍积变换确实是得到所求图形面积公式比较简捷的方法。为此，权衡利弊得失，思考如何促进学生的探究意识和能力，值得我们在教学中进一步实践探索。

例如，在三角形面积教学中可以这样设计：

 

一个三角形底6cm，高4cm。估一估，它的面积大约是多少？

 

现在把它放在方格纸中，数一数，它的面积是多少？

你是怎样数的？学生可能会说，我把不是一格的都当做半个来算。很明显，有些比半个大，有些比半个小。这时，就可以问学生这样数是不是正确呢？请你想办法证明它的面积确实是12cm²。

这样就有以下方法的产生。

方法一：

 

 

 方法二：

 

 

有了方格纸为背景，学生有探究思考的基础，也有利于等积变换思想方法的实施。当然，之后还是应该出现倍积变换的方法，这样有利于学生的进一步理解公式，并为梯形面积公式的推导打好基础。

三、沟通知识联系，促进教学发展

知识的有效达成与建构，是学生掌握与应用知识的重要手段。良好的认知结构有利于学生的及时提取并解决问题。为此，一方面在教学中通过渗透联系的观点，凸现转化的思想，实践知识的有效建构。如图：

 

转化

 

 

 

 

 

 

另一方面，把握知识的本质联系，提高教学的有效性。对于梯形、三角形和平行四边形，它们存在着数学本质联系。

当梯形的上底为0时，就成了三角形。这时，梯形面积公式从S=（a+b）h/2，当b=0时，就变为三角形面积公式:S=ah/2。

 

 

同样，当梯形的上底与下底相等时，这时的梯形就成了平行四边形。从面积公式来看，S=（a+b）h/2，当b=a时，s=ah了，这就是平行四边形面积计算公式。

 

 

又如，在三角形面积教学中可设计这样一个环节，以沟通估计（空间观念的培养）意识、测量方法、公式计算法、等积变换、等底等高的三角形之间的衔接与联系，促进数学的有效学习。

如果     表示一个面积单位，估一估，下列三角形的面积大约是多少面积单位。

 

 

然后，将他们放在方格纸中，让学生数一数，算一算。

再在方格纸中呈现等积变换后的长方形或平行四边形，以期获得新的发现。

 

从中，发现他们面积相等，而且底和高都相等。从而蕴示着等底、等高的三角形面积相等，可谓一举多得。

对于几何图形的变换，需要学生的想象，从而发展学生的空间观念，培养学生的能力。为此，根据运动的观点设计练习形式是一个好方法。如，在三角形面积练习设计中，可以呈现如下题型，先让学生观察变化中的三角形，通过移动C点，形成了不同的三角形。通过观察这些三角形，发现了这些三角形的共同点，沟通了他们之间的联系，像这样的三角形你还能找吗？从而进一步建立了三角形形状与面积的联系。

 

后续：教学的延续与创新

或许，我们教师的教学活动到这个程度足够了。但是，我们还应进一步思考，多问几个为什么？或者说，我们的教师还应懂得更多，以期获得教学的进一步发展。

对几何图形的度量是一个古老的数学问题，它起源于人们的劳动生活，又包含着深奥的数学哲理。随着人类社会的发展，几何图形的长度和面积概念不断更新和充实，其发展到今天也没有结束。通过面积割补，我们推导出一系列图形面积公式，在进行图形的剪拼过程中，通过等积变换，获得了另一形状的图形。反过来，从另一形状的图形通过剪拼变形，也可以得到原图形。我们就说：“如果用一定方式把一个图形分成若干（有限个）部分，并用适当方式拼成另一图形，则两图形叫做组成相等。图形的组成相等是实施等积变换的依据。

那么：任意平行四边形与等底等高的长方形组成相等，任何三角形与等底半高（高等于三角形的一半）的平行四边形（长方形）组成相等。反过来叙述也成立。于是，我们进一步有：等底等高的三角形组成相等，等底等高的平行四边形组成相等。当然，组成相等的平面图形他们的面积也相等。对于它们的证明，大家可以参见杨世明老师著的《数学发现的艺术》一书。

我们还可以进一步思考：周长一样的封闭图形，他们的面积谁大？面积相等的封闭图形，他们的周长谁长呢？这就是著名的等周问题。其实，等周问题的结论或不完全的归纳证明我们或多或少地在思考运用。真像波利亚在《数学与猜想》一书中说：等周定理深深地扎根于我们的经验和直觉之中，容易想到，但不易证明，它是灵感的不竭的源泉。

诚然，图形的剪拼是数学发现的一种重要方法。但是，在拼合过程中还要注意方法，符合科学性。如下图：如果将图1中的四块几何图形裁剪开来重新拼接成图2，我们将会发现，与图1相比，图2多出了一个洞！这怎么可能呢？理性会提出这样的疑问。究竟是什么原因呢？老师们不妨先动动脑，想一想。

 

其实，这个问题是我们的眼睛“欺骗”了你。我们从图1中看起来好像是三角形，实际上他不是一个三角形，这两个小三角形斜边的斜率是不一样的，所以，它们不可能在一条直线上。这是一种“直觉的误导”，在数学课程标准修改征求意见稿中就有类似的一题。

有一张8 cm 8 cm的正方形的纸片，面积是64 cm²。把这张纸片按图3-1所示剪开，把剪出的4个小块按图3-2所示重新拼合，这样就得到了一个长为13cm，宽为5cm的长方形，面积是65 cm²。这是可能的吗？

 

 

 

 

图3-1                         图3-2

这是一个直觉与逻辑不符的例子，对于数学的结论，完全凭借直觉判断是不行的，还需要通过演绎推理来验证。

可见，数学是一门科学，科学需要严谨的思考与探究；同时，数学教学更是一门艺术，艺术需要不断的创新，以他丰富的数学内涵创造出美丽的教学世界。