“柱体微元”模型求解电流大小

张洁

1．模型构建：带电粒子在外加电场的作用下，形成定向移动的粒子流，从中取一圆形粒子流作为研究对象即为“柱体微元”模型。假设粗细均匀的一段导体长为 ，横截面积为S，导体单位体积内的自由电荷数为n，每个自由电荷的电荷量为q，当导体两端加上一定的电压时，导体中的自由电荷沿导体定向移动的速率为v.

2．处理思路：

（1）选取一小段粒子流为柱体微元。

（2）运用相关物理规律，结合柱体微元和整体对象的关联性进行分析计算。

（3）常用的公式。

①导体内的总电荷量：Q= .

②电荷通过横截面D的时间： .

③电流表达式： .

例题：来自质子源的质子（初速度为零），经一加速电压为800kV的直线加速器加速，形成电流强度为1mA的细柱形质子流。已知质子电荷量e=1.60×10^–19C。这束质子流每秒打到靶上的个数为多少？假定分布在质子源到靶之间的加速电场是均匀的，在质子束中与质子源相距L和4L的两处，各取一段极短的相等长度的质子流，其中的质子数分别为N₁和N₂，则N₁：N₂等于多少？

解析：质子流每秒打到靶上的质子数由 可知 （个）.

建立“柱体微元”模型，设质子经过距质子源L和4L处时的速度分别为v₁、v₂，在L和4L处作两个长为△L（极短）的柱体微元。因△L极短，故L和4L处的两个柱体微元中的质子的速度可分别视为v₁、v₂.

对于这两个柱体微元，设单位体积内质子数分别为n₁和n₂.

由 可知，

，

作为串联电路，各处的电流相等，

所以 。

根据动能定理，分别有

，

可得 。

所以有 ，

因此，两柱体微元中的质子数之比

。

答案：6.25×10¹⁵个  2：1