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鸽巢问题例

沙头镇渠口小学 南静

执教时间：5月3日

【教材分析】

鸽巢问题又称为抽屉原理或者鞋盒原理，这个原理最早是由Dirichlet提出的。在数学问题中，有一类和“存在性”有关的问题，这类问题中，只需要确定某个物体的存在就可以了，不需要指出是哪个物体，也不需要说明通过什么方式把这个物体找出来。这类问题以及的理论就是“鸽巢原理”。它是组合数学中最简单也是最基本的原理之一。

教材中通过几个直观的例子，借助实际操作，向学生介绍了“鸽巢问题”。学生在理解“鸽巢问题”这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题“模型化”，会用“鸽巢问题”解决问题。其中，例3是“鸽巢问题”的具体应用，也是应用“鸽巢问题”进行逆向思维的一个典型例子。

 

【学情分析】

“鸽巢问题”的理论本身并不复杂，对于学生而言是很容易的，学生已经学习了例1和例2，对“鸽巢问题”的原理已经有所了解和运用，但它的应用却是千变万化，尤其是例3，“鸽巢问题”的逆向应用，学生对进行逆向思维的思考可能会感到困难，也缺乏思考的方向，很难找到知识的生长点。

 

【教学目标】

一、知识与技能

通过操作、观察、比较、推理等活动，了解抽屉原理的逆向思考，运用抽屉原理解决问题。

二、过程与能力

经历“鸽巢问题”探究过程，通过操作发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。

三、情感、态度和价值观

通过对抽屉原理的灵活运用，感受数学的魅力，体会数学的价值，提高学生解决问题的能力和兴趣。

 

【重点、难点】

重点：经历抽屉原理的探究过程，了解运用抽屉原理。

难点：理解抽屉原理，利用鸽巢问题进行反向推理。

 

【教学准备】课件、学具（红、蓝小球个4个），纸杯

 

【教学过程】

 

一、复习引入

1、回顾抽屉原理

师：同学们，谁来说说，我们之前学习的抽屉原理是什么？

生：物体个数÷抽屉个数，有余数，总有一个抽屉至少有商+1个物体；没有余数，总有一个抽屉至少有商个物体。

2、 回顾方法

师：上节课，我们用了什么方法来把7本书分进3个抽屉的？

生：枚举法，分解法，假设平均分法。

师：之前我们学习的是求不管怎么放，总有一个抽屉至少有几个物体，今天反过来了，我们来逆向思考一下，今天我们继续利用抽屉原理解决问题，看看例3。

 

二、 新知探索

1、教学例3

   盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个，要想摸出的球一定有2个同色的，最少要摸出几个球？（出示装有红、蓝球各4个的不透明纸杯）

（1）摸球演示

师：谁想上来摸个球？

（请一位同学上台摸球，摸出一个球）

师：如果再摸一次，你们认为他摸出的球会是什么颜色？

生：红色或者蓝色

师：会和之前一样颜色吗？要想这位同学摸出的球，一定有2个同色的，最少要摸出几个球？猜猜看。

（2）学生汇报猜想

生：3个/5个。

师：屏幕上这三位同学也有各自的猜想，他们还有人认为要摸2个球就行了，那这三种猜测那种猜测会是正确的呢？我们动手摸摸球，试试看。

（3）摸球实践、验证猜想

活动：同桌两人一组，摸一摸球，并且选择喜欢的方式记录摸2个，5个，3个的球的颜色情况。

要求：

1、摇晃杯子后，闭眼随机一次性摸出2个/3个/5个小球

2、选择你喜欢的方法记录每次摸出的小球的颜色

3、思考：至少摸几个小球才能保证摸出的球一定有2个同色？

（4）学生作品展示，并且说一说你的想法。

个数	颜色情况	结果
2个球		不能保证一定有2个球同色
3个球		能保证一定有2个球同色
5个球		能保证一定有2个球同色

 

（5）你发现了什么？

小结1：只要摸出的球数比它们的颜色种数多1，就能保证有两个球同色。

师：万事怕有如果，那我们如果一下。说一说，要摸几个球？

 

如果：

1、同样大小的红、蓝、黄球各4个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸几个球？

2、同样大小的红、蓝、黄、白球各4个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸几个球？

3、同样大小的红、橙、黄、绿、青、蓝、紫球各4个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸几个球？

生：三种颜色，至少摸出4个球

 板书： 颜色    保证同色   至少摸几个球（强调至少）

         2种      2             3个  

         3种      2             4个

         4种      2             5个

         7种      2             8个

小结：只要摸出的球数比它们的颜色种数多1，就能保证有两个球同色。

2、探究推理

师：刚才的问题，我们可以摸小球，但生活中不只有摸小球，在这些情况下，我们总不能动手实践，猜测。身边没有小球让你分，你们怎样才能又快又准确的确定要拿多少个呢？

（1）出示：各种情境图。结合鸽巢问题和摸球问题选择一个情境思考

（2）思考：

1、这些信息里面，该把谁看做抽屉？几个抽屉？

2、要分放的物体是什么？几个物体？

3、怎样用抽屉原理描述摸球问题？

（3）学生汇报

答1：有红、蓝两种球，把两种颜色看成两个抽屉，同色意味着同一个抽屉。

答2：（引导学生说出）假设最坏的情况考虑：两种颜色的球各拿一个，即在两个抽屉里各拿一个球。再拿一个球时，不管在哪个抽屉拿，都有2个球同色。所以至少拿3个球。

板书：2×1+1

（3）同上说说之前三个如果的情况下，如何用抽屉原理描述？

最坏考虑：3种球都拿一个，再拿一个，必定有两个球同色。所以至少拿4个球。

最坏考虑：4种球都拿一个，再拿一个，必定有两个球同色。所以至少拿5个球。

最坏考虑：7种球都拿一个，再拿一个，必定有两个球同色。所以至少拿8个球。

板书：3×1+1，4×1+1，7×1+1  假设法

 

三、练习

1、P70做一做2

把红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个放到一个袋子里。至少取多少个球，可以保证取到两个颜色相同的球？

（师生共同解决问题）

我们从最不利的原则去考虑：

假设我们每种颜色的都拿一个，需要拿4个，但是没有同色的，要想有同色的需要再拿1个球，不论是哪一种颜色的，都一定有2个同色的。

 

2、小李掷骰子，至少掷骰子几次，骰子数至少有两次相同？

（学生独立完成，指名讲解分析）

我们从最不利的原则去考虑：

假设我们每个数字都掷一个，需要掷6次，但是没有相同的，要想有相同的需要再掷1次，不论是哪一个数字，都一定有2个相同的。

 

四、课堂小结

这节课，你对鸽巢问题有了什么新的认识？

 

【板书设计】

 

颜色    保证同色   至少摸几个球    2种      2             3个      3种      2             4个    4种      2             5个    7种      2             8个

2×1+1 3×1+1 4×1+1       假设法 7×1+1

 

【教学反思】

学生对抽屉问题有了一定的了解，但是，在真正运用抽屉原理上还有所欠缺，没能很好地用数学的方法解决问题。六年级的学生有一定的动手操作能力，并且在鸽巢问题例1、例2的教学中，学生对实际操作、画图等方法了解抽屉原理有一定的经验。所以，我在教学中借助实物操作和画草图等方法指导学生学习。

回顾整节课，我觉得主要存在这几个问题：

1、学生实物操作的环节设计没有设计好，对学生的操作要求没有很明确，导致了学生实物操作时没有达到我理想的方式和想要的结果。

2、在结论的得出部分，没有充分地让学生进行探索了解，过快地得出结论去用，反而从让学生理解并应用变成了公式应用了。

3、枚举法、假设法等鸽巢问题中有效合理的方法的作用在这节课没有很好地体现。虽然最后练习环节作出补救，但仍有部分学生对鸽巢问题例3类型的知识没有很好的理解。