第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛

初赛试卷（小学高年级组）

（  时间: 2014 年 3 月15 日  10:00～11:00）

一、选择题  (每小题  10  分,  满分60 分.  以下每题的四个选项中,  仅有一个是正确的,  请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)

 

1.  平面上的四条直线将平面分割成八个部分,  则这四条直线中至多有（     ）条直线互相平行．

（A）0             （B）2            （C）3              （D）4

【答案】C

【解析】简单的最值问题。最多四条线都平行，但值可将平面分为 5个部分，不合题意则最多为3条平行。若有3条直线平行，另外一条与这三条都相交可分为 8个部分。故选C

【曹老师点评】此题为公开题，难度不大，逐个选项检验也可以很快做对。

 

2.  某次考试有 50 道试题,  答对一道题得 3 分,  答错一道题扣 1 分,  不答题不得分．小龙得分 120 分,  那么小龙最多答对了（     ）道试题．

（A）40            （B）42            （C）48            （D）50

【答案】B

【解析】假设法，假设小龙 50道题目都答对，可得 150分，150-120=30，错一道题比对一道题得分少3+1=4分。 30÷4=7……2，说明小龙如果对50-7=43题，即使错7题总分也比120分高2分，则最多对42题，42×3=126分，只要错6题即可，那么将有 2 道没做。

【曹老师点评】典型的假设法问题和最值的结合。此外从最大课程慢慢尝试也可以很快解决。

 

3.  用左下图的四张含有 4 个方格的纸板拼成了右下图所示的图形.  若在右下图的16 个方格分别填入1, 3, 5, 7（每个方格填一个数）,  使得每行、每列的四个数都不重复,  且每个纸板内四个格子里的数也不重复,  那么A, B, C, D 四个方格中数的平均数是（     ） ．  

（A）4            （B）5             （C）6              （D）7

【答案】A

【解析】已知每个纸板内四个格子里的数不重复，且同行的四个数也不能相同，则正方形第四行的四个数和一定为1+3+5+7=16，因为包含ABCD的两张纸片上的数字总和为16×2=32则ABCD四个数字的和为32-16=16，那这四个数的平均数为16÷4=4。

【曹老师点评】数独题目的变式，由于不用填写出每个数只要用整体发思考即可得到最后答案。

 

4.  小明所在班级的人数不足40 人,  但比30 人多,  那么这个班男、女生人数的比不可能是（     ）

（A）2:3                  （B）3:4               （C）4:5             （D）3:7  

【答案】D

【解析】班级的人数一定是总份数的倍数，ABCD四个选项中班级人数的总份数分别是2+3=5,3+4=7,4+5=9,3+7=10，其中大于30而小于40的数中没有10的倍数，因此选D。

【曹老师点评】分数、比例应用题中的隐含条件问题。

 

5.  某学校组织一次远足活动,  计划10点10分从甲地出发, 13点10分到达乙地, 但出发晚了5分钟,  却早到达了4分钟.  甲乙两地之间的丙地恰好是按照计划时间到达的,  那么到达丙地的时间是（     ）．

     （A）11 点 40 分    （B）11 点 50 分    （C）12 点         （D）12 点10 分

【答案】B

【解析】因为在丙地是准时的，因此甲地到丙地共提前了5分钟，丙地到甲地共提前了4分钟，两端的路程之比是5:4，全程原计划用时3×60=180分钟，180÷（5+4）×5=100分钟，也就是按原计划走到丙地的时间是准点出发后100分钟，10点10分之后的100分钟是11点50分。

【曹老师点评】比例法是解决行程问题的两大方法之一，抓住题目中的一些基本量的关系，可以更高效的解决题目。

 

6.  如右图所示, AF=7cm, DH=4 cm, BG=5 cm, AE=1 cm.若正方形ABCD内的四边形EFGH的面积为78 cm²,  则正方形的边长为（     ）cm.

 

（A）10          （B）11               （C）12                （D）13

【答案】C

【解析】过E、F、G、H四点与边平行的构造长方形如图。可知阴影面积比长方形面积大

（7-4）×（5-1）=12 cm2，因此正方形的面积是78+78-12=144 cm2，正方形边长为12cm。

 

【曹老师点评】实际上是求正方形的面积，已知了阴影的面积，只要找到它和空白部分无论是和差倍分的任何另外一种关系即可求出空白面积从而求出正方型面积，通过构造长方形求面积差是显而易见的方法。

二、填空题  (每小题  10  分,  满分40 分)

7.  五名选手 A, B, C, D,  E参加“好声音”比赛,  五个人站成一排集体亮相.  他们胸前有每人的选手编号牌, 5 个编号之和等于 35．已知站在 E 右边的选手的编号和为 13；站在 D 右边的选手的编号和为 31；站在 A 右边的选手的编号和为 21；站在 C 右边的选手的编号和为 7．那么最左侧与最右侧的选手编号之和是________．

【答案】11

【解析】根据题意可知A、B 、C、D、E的顺序从左到右依次是DAECB，则B的号码是7，D的号码是35-31=4,7+4=11.

【曹老师点评】简单的推理问题。

 

8.  甲乙同时出发,  他们的速度如下图所示,  30 分钟后,  乙比甲一共多行走了________米．

 

【答案】300

【解析】图中面积是速度和时间的乘积，也就是路程。比较甲乙两图很容易发现乙比甲多3个小格，路程差是3×20×5=300米。

 

【曹老师点评】识图题，需要学生们能够在图中理解速度和时间的对应关系，如果能够理解路程就是面积那问题解决起来就更简单了。

 

9.  四个黑色 1×1×1 的正方体和四个白色 1×1×1 的正方体可以组成________种不同的2×2×2 的正方体（经过旋转得到相同的正方体视为同一种情况） ．

【答案】7

【解析】分类枚举即可：

黑色正方体最多的面有4个黑色正方体，两层分别为：

只有1种；

黑色正方体最多的面有3个黑色正方体，两层分别为：

 

共有4种，

黑色正方体最多的面有2个黑色正方体，两层分别为：

 

其中a)、c)是同一种，因此共有2种。

       因此一共有7种。

7种的立体图形如图所示：

   

【曹老师点评】立即几何的计数问题，切片法可以帮我们把空间想象的问题简化。

 

10. 在一个圆周上有 70 个点,  任选其中一个点标上 1,  按顺时针方向隔一个点的点上标2,  隔两个点的点上标3,  再隔三个点的点上标4,  继续这个操作,  直到1,  2,  3,  …, 2014 都被标记在点上．每个点可能不只标有一个数,  那么标记了2014 的点上标记的最小整数是________．

【答案】5

【解析】从最简单情况分析：

1 标在第 1 个点；

2 标在第 1+2 个点；

3 标在第 1+2+3 个点；

……

2014应标在第1+2+3+4+…+2014=2029105个点上。每70个点是一周，2029105÷70……15，即2014标在了一圈中的第 15个点， 15=1+2+3+4+5。因此，标2014的点上标的最小是 5。

【曹老师点评】从最简单情况分析，找到问题的本质即可。实际上只是一个简单地余数问题。