定义[编辑]

假设V是在域K上的向量空间。如果v₁, v₂, ..., v_n 是V的向量，称它们为线性相关，如果从域K 中有非全零的元素a₁, a₂, ..., a_n，适合

http://upload.wikimedia.org/math/9/d/e/9dee62d4b2ed7993ec47016704a26029.png；

或更简略地表示成，

http://upload.wikimedia.org/math/1/3/3/133123efa3903154765deb460ebbec18.png。

(注意右边的零是V的零向量，不是K的零元素。)

如果K中不存在这样的元素，那么v₁, v₂, ..., v_n是线性无关。

对线性无关可以给出更直接的定义。向量v₁, v₂, ..., v_n线性无关，当且仅当它们满足以下条件：如果a₁, a₂, ..., a_n是K的元素，适合：

a₁v₁ + a₂v₂ + ... + a_nv_n = 0，

那么对所有i = 1, 2, ..., n都有a_i = 0。

在V中的一个无限集，如果它任何一个有限子集都是线性无关，那么原来的无限集也是线性无关。

线性相关性是线性代数的重要概念，因为线性无关的一组向量可以生成一个向量空间，而这组向量则是这向量空间的基。

相关性[编辑]

• 含有零向量的向量组，必定线性相关。

若有向量组http://upload.wikimedia.org/math/5/6/2/56257c7fea16e4f57168187aff067a5e.png。

• 含有两个相等向量的向量组，必定线性相关。

若有向量组http://upload.wikimedia.org/math/c/e/8/ce896abcb8f34f83d911b287bcf3a5db.png。

• 若一向量组相关，则加上任意个向量后，仍然线性相关；即局部线性相关，整体必线性相关。
• 整体线性无关，局部必线性无关。
• 向量个数大于向量维数，则此向量组线性相关。
• 若一向量组线性无关，即使每一向量都在同一位置处增加一分量，仍然线性无关。
• 若一向量组线性相关，即使每一向量都在同一位置处减去一分量，仍然线性相关。
• 若http://upload.wikimedia.org/math/0/2/7/02770fd49d206368ded72d70f04e25fc.png线性表示，且表示系数唯一。
• 有向量组http://upload.wikimedia.org/math/f/7/b/f7bb1ddf0194fdfcf86082a0962de710.png必线性相关。即向量个数多的向量组，若可被向量个数少的向量组线性表示，则向量个数多的向量组必线性相关。
• 若一向量组http://upload.wikimedia.org/math/2/5/e/25ea521ea4ae1a7c54c1ed9215600e7b.png。即线性无关的向量组，无法以向量个数较少的向量组线性表示。