线性空间中的有关线性相关线性无关以及线性表示等概念与 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn77.gif 维向量中的相应概念是一致的, 并且它们也具有相似的性质, 所以这里我们就不再重复了.

定义 2

设 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn79.gif 上的线性空间. 如果 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn81.gif, 且满足
    (1) http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn82.gif 线性无关;
    (2) http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn85.gif 线性表示.
则称 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn93.gif 维线性空间.

例 4 设 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn189.gif 的一个基. 故 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn102.gif 维向量的原因.)

例 5 设 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn116.gif 是实2阶方阵组成的实线性空间. 取向量组

http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn117.gif

则 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn191.gif 的一个基, 故 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn120.gif.

    一般地, 设 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn192.gif 上的线性空间(见例2), 取向量组

                 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn122.gif                    (I)

其中 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn124.gif 矩阵, 它 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn125.gif 位置的取值为1, 其他位置的取值为0. 则可知向量组(I)线性无关, 且任给 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn126.gif, 有

http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn127.gif

因此(I)是 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn193.gif 的一个基, 于是 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn129.gif.

例 6 设 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn131.gif,

http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn132.gif

线性无关. 所以 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn194.gif 不存在有限多个元素组成的基, 即 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn195.gif 不是有限维线性空间. 这样的空间称为无限维线性空间.(提示4.2)

例 7 复数域 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn138.gif 的特例). 该空间的维数为1, 任何非零复数都可作为 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn197.gif 的基.
    我们也知道 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn141.gif 上的线性空间, 数1, http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn142.gif 是该空间的基, 所以 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn199.gif 作为实线性空间的维数为2, 即 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn144.gif, 而 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn145.gif.

    如果 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn201.gif 的基, 则 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn151.gif 线性表示, 即存在数 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn152.gif, 使得

http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn153.gif

由于 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn154.gif 线性无关, 上述表示是唯一的. 我们称系数 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn158.gif.

    易知若 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn167.gif 的坐标.

例 8 将 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn203.gif 看成实线性空间(见例6), 试求 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn171.gif 下的坐标.

解 据坐标的定义, 只要把 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn174.gif 线性表示出来, 则其系数就是所求的坐标. 设所求坐标为 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn175.gif, 那么

http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn176.gif

即

http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn177.gif

由于 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn178.gif 是实数, 所以

http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn179.gif

解方程组得 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn181.gif. 故 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx054/zsx05401/images/zsx054011_htm_eqn182.gif 在所给基下坐标为 (4,-1).